2019年高考物理一轮复习讲义：第10章 第3讲《电磁感应规律的综合应用（一）——电路和图象》(含解析)

第3讲　电磁感应规律的综合应用(一)——电路和图象

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　电磁感应和电路的综合　Ⅱ

1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。如：切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。

2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路，外电路由电阻、电容等电学元件组成。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处；在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。

3．与电路相联系的几个公式

(1)电源电动势：E＝n或E＝Blv。

(2)闭合电路欧姆定律：I＝。

电源的内电压：U内＝Ir。

电源的路端电压：U外＝IR＝E－Ir。

(3)消耗功率：P外＝IU，P总＝EI。

(4)电热：Q＝I2Rt。

【知识点2】　电磁感应中的图象问题　Ⅱ

板块二　考点细研·悟法培优

考点1电磁感应中的电路问题[解题技巧]

1. 问题归类

(1)以部分电路欧姆定律为中心，对六个基本物理量(电压、电流、电阻、电功、电功率、电热)、三条定律(部分电路欧姆定律、电阻定律和焦耳定律)以及若干基本规律(串、并联电路特点等)进行考查；

(2)以闭合电路欧姆定律为中心，对电动势概念，闭合电路中的电流、路端电压以及闭合电路中能量的转化进行考查。

2．基本方法

(1)确定电源：先判断产生电磁感应的是哪一部分导体，该部分导体可视为电源。

(2)分析电路结构，画等效电路图。

(3)利用电路规律求解，主要有欧姆定律、串并联规律等。

3．误区分析

(1)不能正确根据感应电动势及感应电流的方向分析外电路中电势的高低。因产生感应电动势的那部分电路相当于电源部分，故该部分电路中的电流相当于电源内部的电流，而外电路中电流的方向仍是从高电势到低电势。

(2)应用欧姆定律分析求解电路时，没有考虑到电源的内阻对电路的影响。

(3)对连接在电路中电表的读数不能正确进行分析，例如并联在等效电源两端的电压表，其示数是路端电压，而不是等效电源的电动势。

例1　如图，在水平面内有两条电阻不计的平行金属导轨AB、CD，导轨间距为L；一根电阻为R的金属棒ab可在导轨上无摩擦地滑动，棒与导轨垂直，并接触良好，导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，导轨右端与电路连接，电路中的两个定值电阻阻值分别为2R和R，现用力拉ab以速度v0匀速向左运动。求：

(1)感应电动势的大小；

(2)棒ab中感应电流的大小和方向；

(3)ab两端的电势差Uab；

(4)电阻R上的电功率。

(1)哪部分相当于电源？哪端电势高？

提示：ab棒切割磁感线，ab棒相当于电源，a端电势高。

(2)ab两端的电压与电动势的关系？

提示：Uab＝E。

尝试解答　(1)BLv0　(2)　b→a　(3)

(4)。

(1)ab棒产生的感应电动势E＝BLv0。

(2)棒匀速向左运动，根据右手定则判断可知，感应电流方向为b→a，感应电流的大小为I＝＝。

(3)ab两端的电势差Uab＝I·3R＝。

(4)PR＝I2·R＝2·R＝。

总结升华

解决电磁感应中电路问题的三部曲

(1)确定电源

切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E＝n或E＝Blv求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断感应电流方向。如果在一个电路中切割磁感线的有几个部分但又相互联系，可视为等效电源的串、并联。

(2)识别电路结构、画出等效电路

分析电路结构，即分清等效电源和外电路及外电路的串并联关系、判断等效电源的正负极或电势的高低等。

(3)利用电路规律求解

一般是综合应用欧姆定律、串并联电路规律、电容器充电及放电特点、电功和电功率的知识、法拉第电磁感应定律等列方程求解。

　[2017·唐山模拟]在同一水平面上的光滑平行导轨P、Q相距l＝1 m，导轨左端接有如图所示的电路。其中水平放置的平行板电容器两极板M、N相距d＝10 mm，定值电阻R1＝R2＝12 Ω，R3＝2 Ω，金属棒ab的电阻r＝2 Ω，其他电阻不计。磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间的质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝－1×10－14 C的微粒恰好静止不动。取g＝10 m/s2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定。试求：

(1)匀强磁场的方向；

(2)ab两端的路端电压；

(3)金属棒ab运动的速度。

答案　(1)竖直向下　(2)0.4 V　(3)1 m/s

解析　(1)带负电电荷微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电场力竖直向上，故M板带正电。ab棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab棒等效于电源，感应电流方向由b→a，其a端相当于电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下。

(2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有mg＝Eq

又E＝，所以UMN＝＝0.1 V

R3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过R3的电流为I＝＝0.05 A

则ab棒两端的电压为Uab＝UMN＋I＝0.4 V。

(3)由法拉第电磁感应定律得感应电动势E＝Blv

由闭合电路欧姆定律得E＝Uab＋Ir＝0.5 V

联立解得v＝1 m/s。

考点2电磁感应中的图象问题[拓展延伸]

1．图象类型

2．分析方法

对图象的分析，应做到“四明确一理解”

(1)明确图象所描述的物理意义；明确各种正、负号的含义；明确斜率的含义；明确图象和电磁感应过程之间的对应关系。

(2)理解三个相似关系及其各自的物理意义

v－Δv－，B－ΔB－，Φ－ΔΦ－。

(一)由给定的电磁感应过程选出正确的图象

例2　如图甲，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合。若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则图乙中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是(　　)

(1)请画出条形磁铁周围的磁感线分布。

提示：

(2)铜环下落过程做什么运动？

提示：铜环下落过程做变加速运动。

尝试解答　选B。

闭合铜环下落过程的侧视图如图所示，据右手定则或楞次定律可知闭合铜环在原点O上方和下方时电流方向相反，D错误。闭合铜环从Ⅰ位置到Ⅱ位置过程电动势E变大，Ⅲ位置速度与磁感线平行，E＝0，闭合铜环下落过程加速运动，在原点O下方速度较大，由于磁感应强度大小的对称性，在原点O下方电动势的最大值比上方的最大值大，A、C错误，B正确。

总结升华

电磁感应中图象类选择题的两个常见解法

(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项。

(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法。

　[2017·南昌模拟]如图甲所示，在水平面上固定有平行长直金属导轨ab、cd，bd端接有电阻R。导体棒ef垂直轨道放置在光滑导轨上，导轨电阻不计。导轨右端区域存在垂直导轨面的匀强磁场，且磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。在t＝0时刻，导体棒以速度v0从导轨的左端开始向右运动，经过时间2t0开始进入磁场区域，取磁场方向垂直纸面向里为磁感应强度B的正方向，回路中顺时针方向为电流正方向，则回路中的电流随时间t的变化规律图象可能是(　　)

答案　A

解析　由题图乙可知，在0～2t0时间内，回路中磁通量变化率＝S＝S，恒定，根据法拉第电磁感应定律，回路产生的感应电动势E恒定，则回路产生的感应电流恒定，根据楞次定律可判断出回路中感应电流方向为逆时针方向，即感应电流为负值且恒定，故排除图B、D；在大于2t0时间内，导体棒切割磁感线产生感应电动势和感应电流，导体棒受到安培力作用，做加速度逐渐减小的减速运动，设l为两导轨间距，导体棒内阻为r，则i＝，故感应电流随时间变化为曲线，图A正确，图C错误。

(二)图象的分析与计算

例3　[2016·合肥质检]如图(a)所示，平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距L＝0.5 m，导轨左端M、P间接有一阻值R＝0.2 Ω的定值电阻，导体棒ab质量m＝0.1 kg，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端为d＝1.0 m处，导轨和导体棒始终接触良好，电阻均忽略不计。整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t＝0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度B随时间t的变化如图(b)所示，不计感应电流磁场的影响。取重力加速度g＝10 m/s2。

(1)求t＝0时棒所受到的安培力F0；

(2)分析前3 s时间内导体棒的运动情况并求前3 s内棒所受的摩擦力f随时间t变化的关系式；

(3)若t＝3 s时，突然使ab棒获得向右的速度v0＝8 m/s，同时垂直棒施加一方向水平、大小可变化的外力F，使ab棒的加速度大小恒为a＝4 m/s2、方向向左。求从t＝3 s到t＝4 s的时间内通过电阻的电荷量q。

前3 s ab棒上的电流方向，所受安培力的方向？

提示：a→b，水平向右。

尝试解答　(1)0.025_N__(2)f＝0.0125(2－t)_N(t<3_s)__(3)1.5_C。

(1)由图知＝ T/s＝0.1 T/s

t＝0时棒的速度为零，故只有感生电动势：

E＝＝＝0.1×0.5×1.0 V＝0.05 V

I＝＝ A＝0.25 A

所以当t＝0时棒所受到的安培力F0＝IB0L＝0.025 N。

(2)棒与轨道间的最大静摩擦力

fm＝μmg＝0.1×0.1×10 N＝0.1 N>F0＝0.025 N

所以t＝0时棒静止不动，加速度为零，这以后磁感应强度B都小于B0，棒所受到的安培力都小于最大静摩擦力，故前3 s时间内导体棒静止不动，电流恒为I＝0.25 A

在0～3 s的时间内，磁感应强度B＝B0－kt＝0.2－0.1t

因导体棒静止不动，故棒在水平方向受安培力和静摩擦力，合力为零，f＝BIL＝(0.2－0.1t)×0.25×0.5 N＝0.0125(2－t) N(t<3 s)。

(3)3.0～4.0 s时间内磁感应强度大小恒为B2＝0.1 T，ab棒做匀变速运动，Δt2＝4.0 s－3.0 s＝1.0 s

设t＝4.0 s时速度大小为v，位移为x，

则v＝v0－aΔt2＝4 m/s

x＝Δt2＝6 m

在这段时间内的平均电动势为＝

在这段时间内通过电阻的电荷量为

q＝Δt2＝Δt2＝＝＝1.5 C。

总结升华

图象分析的思路

　―→―→

　―→―→

　如图甲所示，平行金属导轨竖直放置，导轨间距为l＝1 m，上端接有电阻R1＝3 Ω，下端接有电阻R2＝6 Ω，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场。现将质量m＝0.1 kg、电阻不计的金属杆ab，从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，杆下落0.2 m过程中始终与导轨保持良好接触，加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示(g取10 m/s2)。求：

(1)磁感应强度B；

(2)杆下落0.2 m过程中通过电阻R2的电荷量q。

答案　(1)2 T　(2)0.05 C

解析　(1)由图象知，杆自由下落距离是0.05 m，则杆进入磁场时的速度v＝＝1 m/s，

由图象知，杆进入磁场时的加速度a＝－g＝－10 m/s2

由牛顿第二定律得mg－F安＝ma

回路中的电动势E＝Blv

杆中的电流I＝，R并＝

F安＝BIl＝

得B＝＝2 T。

(2)杆在磁场中运动产生的平均感应电动势＝

杆中的平均电流＝

通过杆的电荷量Q＝·Δt

通过R2的电荷量q＝Q＝0.05 C。

(三)图象的描绘

例4　匀强磁场磁感应强度B＝0.2 T，磁场宽度L＝3 m，一正方形金属框边长ab＝l＝1 m，其每条边电阻r＝0.2 Ω，金属框以v＝10 m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图所示，求：

(1)画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的I­t图线；

(2)画出ab两端电压的U­t图线。

(1)进入磁场与穿出磁场时感应电流方向相同吗？

提示：进入磁场时，ab电流方向为a→b，穿出磁场时，ab电流方向为b→a。

(2)进入磁场与穿出磁场时ab两端的电压相同吗？

提示：进入磁场时，Uab＝·r＝

穿出磁场时，Uab＝·3r＝。

尝试解答　(1)如图甲所示__(2)如图乙所示。

(1)线框进入磁场区时，有：

E1＝Blv＝2 V，I1＝＝2.5 A。

方向沿逆时针，如图实线abcd所示，感应电流持续的时间

t1＝＝0.1 s。

线框在磁场中运动时，有：E2＝0，I2＝0。

无电流的持续时间，

t2＝＝0.2 s。

线框穿出磁场区时，有：E3＝Blv＝2 V。

I3＝＝2.5 A。

此电流的方向为顺时针，如上图虚线adcb所示。

规定电流方向逆时针为正，得I­t图线见尝试解答甲。

(2)线框进入磁场区ab两端电压为：

U1＝I1r＝2.5×0.2 V＝0.5 V。

线框在磁场中运动时，ab两端电压等于感应电动势，即

U2＝Blv＝2 V。

线框出磁场时ab两端电压为：

U3＝E3－I3r＝1.5 V。

由此得U­t图线如尝试解答图乙所示。

总结升华

图象描绘的方法

(1)分析电磁感应的具体过程。

(2)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律求出一系列具体数值或列出函数方程。

(3)由函数关系和具体数值描绘出图象。

　如图(a)所示，面积为0.01 m2、电阻为0.1 Ω的正方形导线框放在匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直。磁感应强度B随时间t的变化图线如图(b)。t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直于纸面向里。在1 s末线框中感应电流的大小为________A。若规定水平向左为正方向，请在图(c)中定性画出前4 s内ab边所受的安培力F随时间t的变化图线。

答案　0.2　图见解析

解析　线圈中的磁通量发生变化，磁通量的变化率不变，产生的感应电动势大小不变，根据法拉第电磁感应定律E＝n＝n，得E＝0.02 V，I＝0.2 A。线圈中产生感应电流，ab受到安培力的作用，但由于磁感应强度是变化的，所以ab边受的安培力是变化的。若规定向左为正方向，根据F＝BIL，安培力与B成正比，最大为0.04 N，0～1 s安培力为正向减小，1～2 s安培力为反向增大，2～3 s为正向减小，3～4 s为反向增大，如图所示。

[2015·上海高考](14分) 如图甲，两相距L＝0.5 m的平行金属导轨固定于水平面上，导轨左端与阻值R＝2 Ω的电阻连接，导轨间虚线右侧存在垂直导轨平面的匀强磁场。质量m＝0.2 kg的金属杆垂直置于导轨上，与导轨接触良好，导轨与金属杆的电阻可忽略。杆在水平向右的恒定拉力作用下由静止开始运动，并始终与导轨垂直，其v­t图象如图乙所示。在15 s时撤去拉力，同时使磁场随时间变化，从而保持杆中电流为0。求：

(1)金属杆所受拉力的大小F；

(2)0～15 s内匀强磁场的磁感应强度大小B0；

(3)15～20 s内磁感应强度随时间的变化规律。