（数学）四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理科）试题

2019-2020学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．若复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z＝（　　）
A．﹣i B．i C．2+i D．2﹣i
2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（　　）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∉R，x2+x+1≤0
C．∃x0∉R，x02+x0+1＞0 D．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
3．类比推理是一种重要的推理方法．已知l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于l1，l2，l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（　　）
①若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2；
②若l1⊥l3，l2⊥l3，则l1∥l2；
③若l1与l2相交，则l3必与其中一条相交；
④若l1∥l2，则l3与l1，l2相交所成的同位角相等
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
4．在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），＝（3，0，1），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣5，1，﹣2） B．（7，1，﹣2） C．（3，0，1） D．（7，1，2）
5．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，则f′（2）＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．设（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a3+a5＝（　　）
A．61 B．121 C．122 D．224
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥2）的值为（　　）
A． B． C． D．
8．人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙3所学校的学生进行体检．若每天最多只安排一所学校，甲学校体检需要连续两天，其余两所学校均只需一天，则不同的安排方法有（　　）
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
9．现订制一个容积为V的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作．已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（　　）
A． B． C．2 D．
10．“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（　　）
A．a＜﹣1 B．a≤1 C．a＞1 D．a∈R
11．在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，∠PAC＝∠ABC＝90°，PA＝BC，PB＝AC，E是AB的中点．设，若λ∈[2，3]，则二面角B﹣PC﹣E的余弦值的范围为（　　）
A． B． C． D．
12．偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），且f（2019）＝2，则不等式f（x）＜2ex﹣1的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．已知质点运动方程为S＝t2﹣2t+1（S的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝2s时刻的瞬时速度为　 　
m/s．
14．在（x+）6的展开式中，常数项为　 　（用数字作答）
15．某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．已知从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率为　 　．
16．已知函数f（x）＝x2+mlnx（m∈R），若x1＞x2＞0，都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，则m的取值范围是　 　．
三、解答题：共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19题为必考题，每个试题考生都必须作答．第20、21题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共30分．
17．2020年新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．
（1）求小王能通过面试的概率；
（2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望．
18．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥C1D；
（2）求平面ADC1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

19．已知函数f（x）＝ex﹣ax（x＞0），其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第20、21题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程].
20．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ．
（1）求曲线C的平面直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．
（1）若m＝3，解关于x的不等式f（x）≥x+6；
（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．


参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z＝（　　）
A．﹣i B．i C．2+i D．2﹣i
解：由（1﹣i）z＝1+i，得z＝．
故选：B．
2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（　　）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∉R，x2+x+1≤0
C．∃x0∉R，x02+x0+1＞0 D．∃x0∈R，x02+x0+1≤0
解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，
故选：D．
3．类比推理是一种重要的推理方法．已知l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于l1，l2，l3正确的结论类比到空间中仍然正确的是（　　）
①若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2；
②若l1⊥l3，l2⊥l3，则l1∥l2；
③若l1与l2相交，则l3必与其中一条相交；
④若l1∥l2，则l3与l1，l2相交所成的同位角相等
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
解：由平行线的传递性可知，①正确；
如图所示，在正方体的顶点A处，AA1⊥AB、AA1⊥AD，且AB⊥AD，所以②错误；

由于l1与l2相交，所以l1与l2可以确定一个平面，若l3不在该平面内，则l3与这两条直线都可以不相交，即③错误；
由于l3与l1，l2相交，所以这三条直线在同一个平面内，又l1∥l2，根据平行线的性质可知④正确．
所以成立的有①④．
故选：A．
4．在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），＝（3，0，1），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣5，1，﹣2） B．（7，1，﹣2） C．（3，0，1） D．（7，1，2）
解：在空间直角坐标系中，A（1，1，0），＝（3，0，1），
设点B的坐标为B（x，y，z），
则＝（x﹣1，y﹣1，z﹣0）＝（3，0，1），
解得x＝7，y＝1，z＝2．
∴点B的坐标为（7，1，2）．
故选：D．
5．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，则f′（2）＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
解：由图象可得直线l与曲线y＝f（x）相切的切点为（2，3），
直线l经过点（0，1），
可得直线l的斜率为k＝＝1，
由导数的几何意义可得f′（2）＝k＝1．
故选：A．
6．设（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a3+a5＝（　　）
A．61 B．121 C．122 D．224
解：∵（1+2x）5＝a0+a1x+…+a4x4+a5x5，
∴令x＝1，得（1+2×1）5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝243；
令x＝﹣1，得[1+2×（﹣1）]5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣1．
∴a1+a3+a5＝（243﹣1）＝121．
故选：B．
7．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）＝，则P（η≥2）的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）＝，
∴P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣C20•（1﹣p）2＝，
∴p＝，
∴P（η≥2）＝1﹣P（η＝0）﹣P（η＝1）＝1﹣C30（ ）0（ ）3﹣••＝1﹣﹣＝，
故选：C．
8．人民医院承担高考体检任务，计划在一周内（周一至周日）安排甲乙丙3所学校的学生进行体检．若每天最多只安排一所学校，甲学校体检需要连续两天，其余两所学校均只需一天，则不同的安排方法有（　　）
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
解：根据题意，分两步分析：
①先安排甲学校体检，由于甲学校体检需要连续两天，从7天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有A61种方法．
②安排另两所学校，从剩下的5天中任选2天，有A52种方法．
则有A61A52＝120种不同的安排方法；
故选：C．
9．现订制一个容积为V的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作．已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（　　）
A． B． C．2 D．
解：设圆柱的底面半径r，则高h＝，
设单位面积铁皮的价格为a，
则总造价为y＝a（2πr+πr2）+3aπr2＝a（），
，
当0＜r＜时，y′＜0，函数单调递减，当r＞时，y′＞0，函数单调递增，
故当r＝时，函数取得最小值2．
故选：D．
10．“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是（　　）
A．a＜﹣1 B．a≤1 C．a＞1 D．a∈R
解：∵关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根，
∴或，
解得a＜0．
∴“关于x的方程的ax2﹣2x+1＝0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是a＜﹣1．
故选：A．
11．在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，∠PAC＝∠ABC＝90°，PA＝BC，PB＝AC，E是AB的中点．设，若λ∈[2，3]，则二面角B﹣PC﹣E的余弦值的范围为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，
由面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∠PAC＝90°，
得PA⊥平面ABC，又∠ABC＝90°，
以A为坐标原点，过A作平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝BC＝1，由，得AC＝λ，则PB＝λ．
∴C（1，，0），B（0，，0），P（0，0，1），E（0，，0）．
＝（0，，﹣1），＝（1，，﹣1），＝（0，，﹣1），
设平面PEC的一个法向量为，
由，取y1＝2，得，；
设平面PBC的一个法向量为，
由，取y2＝1，得．
由图可知，二面角B﹣PC﹣E的平面角为锐角，
则二面角B﹣PC﹣E的余弦值为|cos＜＞|
＝＝＝．
∵λ∈[2，3]，∴∈[]
则二面角B﹣PC﹣E的余弦值范围为[，]．
故选：D．

12．偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，导函数为f'（x），若f'（x）＜f（x），且f（2019）＝2，则不等式f（x）＜2ex﹣1的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，）
解：∵f'（x）＜f（x），
令g（x）＝，则＜0，
则g（x）单调递减，
偶函数f（x）的定义域为R，周期为4，
则f（2019）＝f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝2，
因为g（1）＝，
由f（x）＜2ex﹣1可得，即g（x）＜g（1），
解可得x＞1．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．已知质点运动方程为S＝t2﹣2t+1（S的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝2s时刻的瞬时速度为　2m/s　
m/s．
解：根据题意，v（t）＝S′＝2t﹣2，
∴t＝2s时刻的瞬时速度为v＝2×2﹣2＝2（m/s）．
故答案为：2m/s．
14．在（x+）6的展开式中，常数项为　15　（用数字作答）
解：（x+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•x6﹣3r，
令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝15，
故答案为：15．
15．某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．已知从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率为　　．
解：某学校甲、乙、丙、丁4位同学住在同一个小区．从学校到小区有A、B、C三条线路的公共汽车，
他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，
基本事件总数n＝34＝81，
这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车包含的基本事件个数m＝＝24，
则这4位同学中恰有2人乘坐A线路公共汽车的概率p＝＝＝．
故答案为：．
16．已知函数f（x）＝x2+mlnx（m∈R），若x1＞x2＞0，都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，则m的取值范围是　　．
解：对任意正数x1，x2，当x1＞x2时都有f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2成立，
即为f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2成立，
可得g（x）＝f（x）﹣x＝x2+mlnx﹣x在（0，+∞）为增函数，
于是当x＞0时，g′（x）＝2x+﹣1＞0，
即2x2﹣x＞﹣m恒成立，记h（x）＝2x2﹣x，x＞0，函数是二次函数，最小值为h（）＝﹣，
则﹣m＜，可得m＞，
则实数m的取值范围是（，+∞），
故答案为：（，+∞）．
三、解答题：共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19题为必考题，每个试题考生都必须作答．第20、21题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共30分．
17．2020年新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．
（1）求小王能通过面试的概率；
（2）求小王正确完成面试题数的分布列及数学期望．
解：（1）应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．
规定：至少正确完成其中2道题的便可通过，
基本事件总数n＝＝20，
应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成．
小王能通过面试包含的基本事件总数m＝＝16．
∴小王能通过面试的概率p＝＝＝．
（2）小王正确完成面试题数X的可能取值为1，2，3，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P



数学期望E（X）＝＝2．
18．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥C1D；
（2）求平面ADC1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，
以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），
＝（1，1，0），＝（1，﹣1，﹣4），
∵，∴，
即AD⊥C1D；
（2）解：由（1）知，＝（1，1，0），＝（0，2，4），
设平面ADC1的法向量为，
由，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，
∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），
平面ABA1的一个法向量＝（0，1，0），
设平面ADC1与ABB1A1所成二面角为θ，
∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，
∴sinθ＝．
∴平面ADC1与ABB1A1所成二面角的正弦值为．

19．已知函数f（x）＝ex﹣ax（x＞0），其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）≥x2lnx对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）f'（x）＝ex﹣a（x＞0）．
①若a≤1，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若a＞1，令f'（x）＝0，则x＝lna，
当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，
当a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（2）要使f（x）＝ex﹣ax≥x2lnx在（0，+∞）上恒成立，则在（0，+∞）上恒成立，
令，
则＝．
①当a＝2时，，
由ex＞x知，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
∴，
∴a＝2满足题意．
②当a＞2时，当2＜x＜a时，函数h（x）的取值情况，
∵2＜x＜a，∴x﹣2＞0，x﹣a＜0．
又ex＞x，∴（x﹣2）ex＞（x﹣a）x，即h'（x）＞0，
∴当a＞2时，h（x）在（2，a）上单调递增．
不妨取a＝3，则函数h（x）在（2，3）上单调递增，
∵2＜e＜3，且，
∴h（x）≥0不能恒成立．
综上所述，正整数a的最大值为2．
（二）选考题：共10分．请考生在第20、21题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程].
20．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ．
（1）求曲线C的平面直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|．
解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴x2+y2＝x+y，
即．
（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，
得到，
整理得，
解得t1＝0或．
∴．
[选修4-5：不等式选讲]
21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．
（1）若m＝3，解关于x的不等式f（x）≥x+6；
（2）证明：对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．
解：（1）当m＝3时，f（x）＝|2x﹣1|+|x+3|＝．
当x≤﹣3时，f（x）≥x+6化为﹣3x﹣2≥x+6，解得x≤﹣2，综合得x≤﹣3；
当时，f（x）≥x+6化为3x+2≥x+6，解得x≥2，综合得x≥2；
当﹣3＜x＜时，f（x）≥x+6化为﹣x+4≥x+6，解得x≤﹣1，综合得﹣3＜x≤﹣1．
综上所述，不等式f（x）≥x+6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；
（2）证明：∵f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|，
∴2f（x）＝2|2x﹣1|+2|x+m|
＝|2x﹣1|+|2x﹣1|+2|x+m|，
∵|2x﹣1|≥0，
∴2f（x）≥|2x﹣1|+|2x+2m|
≥|（2x﹣1）﹣（2x+2m）|＝|2m+1|＝|m+m+1|≥|m+1|﹣|m|，
∴对任意x∈一、选择题，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．