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2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第九章平面解析几何第5节第2课时
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第2课时 椭圆的简单几何性质
考点一 椭圆的性质
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即＝.
∴e＝＝＝＝＝.
(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈.
答案 (1)A (2)A
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
【训练1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
解析 (1)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，
则D，又B，D，M三点共线，
所以＝，
所以a＝3c，所以e＝.
(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝且0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
答案 (1)A (2)
考点二 椭圆性质的应用
【例2】 (1)(2018·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.2
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.
(2)椭圆的标准方程为＋y2＝1，因为原点O是线段F1F2的中点，所以＋＝2，即|＋|＝|2|＝2|PO|，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO|的最小值为b＝1，所以|＋|的最小值为2.
答案 (1)A (2)C
规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.
(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
【训练2】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 (1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
(2)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 (1)D (2)A
考点三 直线与椭圆(多维探究)
命题角度1 弦及中点弦问题
【例3－1】 已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y).
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝
－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
命题角度2 直线与椭圆的位置关系(易错警示)
【例3－2】 (2018·沈阳质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得
规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
【训练3】 (2016·全国Ⅱ卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.
解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).
由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)，
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t>3等价于＝<0，
即<0.
由此得或解得
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
解析 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.
答案 B
2.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.
答案 D
3.(2018·石家庄质检)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，可知椭圆焦点在x轴上，且椭圆的半焦距c＝2，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，b2＝a2－c2＝12，即椭圆的方程为＋＝1.
答案 B
4.(2018·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，
得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，
又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.
答案 B
5.(2018·许昌模拟)设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 如图，由题意可知，|PF1|>|PF2|且|PF1|>|F1F2|，所以要使△PF1F2为等腰三角形，则只能是|F1F2|＝|PF2|，设P点坐标为，则直线x＝与x轴的交点为D，
则|PF2|＝|F1F2|＝2c≥－c，
即3c2－a2≥0，即e2≥.
解得≤e<1.
答案 D
二、填空题
6.(选修2－1P49A5(3)改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________.
解析 设过M(1，1)点的方程为y＝kx＋b，
则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，
联立方程组
则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，
所以＝·＝1，
解得k＝－，故b＝，
所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
8.若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，
解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
答案 x2＋＝1
三、解答题
9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m).
直线BN的方程为y＝(x－2).
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
10.(2018·山西晋城一中、忻州一中等五校联考)已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求k的值.
解 (1)由|AB|＝＝，＝，a>b>0，
计算得出a＝2，b＝，则椭圆C的离心率为e＝＝.
(2)由(1)知椭圆方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
又直线l与圆x2＋y2＝2相切，
则＝，即m2＝2(k2＋1).
而|MN|＝·
＝
＝＝，
又|MN|＝，所以＝，
即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 由椭圆C：＋＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝＝1，可得F1(－1，0)，F2(1，0)，
由AF2⊥F1F2，令x＝1，得y＝±·＝±，
不妨设A点坐标为，
设P(m，n)，则点P坐标满足＋＝1，
又－≤n≤，
则·＝(m＋1，n)·＝n≤，
可得·的最大值为.
答案 B
12.已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.
答案
13.(2018·东北三省四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值.
解 (1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设方程为y＝k(x－1).
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.
∵∴x1＋x2＝＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
λ＝，又λ＞1，∴λ＝.
考点一 椭圆的性质
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即＝.
∴e＝＝＝＝＝.
(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝＝∈.
答案 (1)A (2)A
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
【训练1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
解析 (1)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，
则D，又B，D，M三点共线，
所以＝，
所以a＝3c，所以e＝.
(2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝且0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
答案 (1)A (2)
考点二 椭圆性质的应用
【例2】 (1)(2018·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.2
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.
(2)椭圆的标准方程为＋y2＝1，因为原点O是线段F1F2的中点，所以＋＝2，即|＋|＝|2|＝2|PO|，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO|的最小值为b＝1，所以|＋|的最小值为2.
答案 (1)A (2)C
规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.
(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
【训练2】 (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
解析 (1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，
所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2
(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
(2)①当焦点在x轴上，依题意得
0
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
答案 (1)D (2)A
考点三 直线与椭圆(多维探究)
命题角度1 弦及中点弦问题
【例3－1】 已知椭圆＋y2＝1，
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y).
①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝
－，化简得2x＋4y－3＝0.
规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
命题角度2 直线与椭圆的位置关系(易错警示)
【例3－2】 (2018·沈阳质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得
规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率).
易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
【训练3】 (2016·全国Ⅱ卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.
解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.
当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).
由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)，
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t>3等价于＝<0，
即<0.
由此得或解得
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
解析 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.
答案 B
2.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.
答案 D
3.(2018·石家庄质检)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，可知椭圆焦点在x轴上，且椭圆的半焦距c＝2，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，b2＝a2－c2＝12，即椭圆的方程为＋＝1.
答案 B
4.(2018·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，
由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，
得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，
又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.
答案 B
5.(2018·许昌模拟)设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 如图，由题意可知，|PF1|>|PF2|且|PF1|>|F1F2|，所以要使△PF1F2为等腰三角形，则只能是|F1F2|＝|PF2|，设P点坐标为，则直线x＝与x轴的交点为D，
则|PF2|＝|F1F2|＝2c≥－c，
即3c2－a2≥0，即e2≥.
解得≤e<1.
答案 D
二、填空题
6.(选修2－1P49A5(3)改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________.
解析 设过M(1，1)点的方程为y＝kx＋b，
则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，
联立方程组
则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，
所以＝·＝1，
解得k＝－，故b＝，
所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
8.若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，
解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
答案 x2＋＝1
三、解答题
9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m).
直线BN的方程为y＝(x－2).
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
10.(2018·山西晋城一中、忻州一中等五校联考)已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求k的值.
解 (1)由|AB|＝＝，＝，a>b>0，
计算得出a＝2，b＝，则椭圆C的离心率为e＝＝.
(2)由(1)知椭圆方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直线l与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
又直线l与圆x2＋y2＝2相切，
则＝，即m2＝2(k2＋1).
而|MN|＝·
＝
＝＝，
又|MN|＝，所以＝，
即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A. B. C. D.
解析 由椭圆C：＋＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝＝1，可得F1(－1，0)，F2(1，0)，
由AF2⊥F1F2，令x＝1，得y＝±·＝±，
不妨设A点坐标为，
设P(m，n)，则点P坐标满足＋＝1，
又－≤n≤，
则·＝(m＋1，n)·＝n≤，
可得·的最大值为.
答案 B
12.已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是________.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.
答案
13.(2018·东北三省四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值.
解 (1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设方程为y＝k(x－1).
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.
∵∴x1＋x2＝＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
λ＝，又λ＞1，∴λ＝.
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