2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第10章5第5讲　几何概型

第5讲　几何概型

1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
(2017·高考全国卷Ⅰ) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为，故此点取自黑色部分的概率为＝，故选B.
(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30 s的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度．根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝＝.
(2017·高考江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.
答案：
(教材习题改编) 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．
解析：设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为R，
则所求事件的概率为P＝＝＝.
答案：

与长度(角度)有关的几何概型
[典例引领]
(1)(2018·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为________．
(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．

【解析】　(1)因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以，解得0 (2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，
所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，
AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式得
P(N)＝＝.
【答案】　(1)　(2)

本例(2)中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．
解：依题意知BC＝BD＋DC＝1＋，
P(BM<1)＝＝.

与长度、角度有关的几何概型的求法
解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．　
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.由题意得图：

由图得等车时间不超过10分钟的概率为.
2．(2018·合肥市第一次教学质量检测)从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.令t＝2x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得⇒a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1，2]，故P＝，选A.
与面积有关的几何概型(高频考点)
与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度较小，多为容易题或中档题．高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：
(1)与平面图形面积有关的几何概型；
(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型；
(3)与定积分交汇命题的几何概型；
(4)与随机模拟相关的几何概型．
[典例引领]
角度一　与平面图形面积有关的几何概型
(2018·新疆第二次适应性检测)△ABC中，AB＝2，AC＝5，cos A＝，在△ABC内任意取一点P，则△PAB的面积大于1且小于等于2的概率为________．
【解析】　

如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则CD＝AC·sin A＝3，在线段CD上取点E，F，使得DE＝EF＝FC＝1，分别过点E，F作AB的平行线M1N1，M2N2，其中M1，M2位于边BC上，N1，N2位于边AC上，此时当点P位于直线M1N1上时，S△PAB＝1，当点P位于直线M2N2上时，S△PAB＝2.因此，要使△PAB的面积大于1且小于等于2，此时点P位于梯形M1M2N2N1内，所求的概率等于＝.
【答案】　
角度二　与线性规划知识交汇命题的几何概型
(2018·河南洛阳模拟)已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C，动点P(x，y)满足0≤·≤2且0≤·≤2，则点P到点C的距离大于的概率为________．
【解析】　因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C，
动点P(x，y)满足0≤·≤2且0≤·≤2，
所以如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>对应的平面区域为阴影部分．

由解得
即E，所以|OE|＝＝，
所以正方形OEFG的面积为，
则阴影部分的面积为－π，
所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.
【答案】　1－
角度三　与定积分交汇命题的几何概型
在区间[－1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2－1的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　如图满足y≥x2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，
因为[1－(x2－1)]dx＝(2－x2)dx＝|＝，
所以P＝＝＝.
【答案】　D
角度四　与随机模拟相关的几何概型
(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　设由构成的正方形的面积为S，x＋y＜1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝，故选C.
【答案】　C

与面积有关的几何概型的求法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的区域以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验的全部结果构成的平面图形，以便求解．　
[通关练习]
1．已知点P，Q为圆O：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.PQ的中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在圆O内部任取一点落在M内的概率为＝.
2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意，得
即
表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为.
与体积有关的几何概型
[典例引领]
一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为(　　)
　
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　因为VF­AMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADF­BCE＝a3，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为＝.
【答案】　D

与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．　
[通关练习]
1．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC 故使得VP­ABC P＝
＝.
2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．1－
C. D．1－
解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．
记“点P到点O的距离大于1”为事件M，
则P(M)＝＝1－.

判断几何概型中的几何度量形式的方法
(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．
易错防范
(1)准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关．
(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．

1．(2018·贵阳市监测考试)在[－3，4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x2＋mx＋1在R上有零点的概率为　(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.由题意，得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2，所以所求概率为＝，故选B.
2．(2018·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)

A．1－ B.
C. D．1－
解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.
3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为
所以即≤x≤.
根据几何概型的概率计算公式得P＝＝.
4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π.
所有事件是{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，
所以S＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，
所以S1＝4π2－π2＝3π2，则概率P＝＝.
5．(2018·湖北襄阳优质高中联考)已知λ＝3x2dx，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P，使得·≥λ的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由已知得λ＝3x2dx＝3×x3|＝1.建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0，0)，C(2，1)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，1)，故·＝2x＋y，则满足条件的点P(x，y)使得2x＋y≥1，由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S＝2×1－×1×＝2－＝，故所求概率为＝，故选D.
6．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为________．
解析：由题知1 答案：
7. 如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．
解析：设球的半径为R，
则所求的概率为P＝＝＝.
答案：
8．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．

解析：设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.
答案：
9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.
(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；
(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．
解：(1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.
(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为
所表示的区域，B＝，
则由图可知，P(B)＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.

1．(2018·长春市普通高中质量检测(二))如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.
2．(2018·成都市第二次诊断性检测)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝＝.
3．(2018·云南省昆明三中、玉溪一中统考)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是　　(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2 ＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.
4．(2018·云南省第一次统一检测)在平面区域内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a>0且x＝≤1，即，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为＝，故选B.

5．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.
6．(2018·湖北省七市(州)联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.

(1)求进入决赛的人数；
(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为＝50.
由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.
(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足
，
设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．
所以由几何概型得P(A)＝＝，即甲比乙跳得远的概率为.