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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第2章8第8讲 函数与方程
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第8讲 函数与方程
1．函数的零点
函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点
函数零点的存在定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.二分法
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；
(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)＜0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
函数f(x)＝x－的零点有________个．
解析：函数f(x)＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，即方程x＝的解的个数，也就是函数y＝x与y＝的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
答案：1
已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断
[典例引领]
函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
【解析】 因为f′(x)＝＋>0(x>0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln 3－>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以f(2)·f(3)<0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
[通关练习]
1．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
解析：选D.因为f(0)＝1，f(1)＝2，所以f(0)f(1)＞0，
因为f(2)＝5，f(1)＝2，
所以f(2)f(1)＞0，
因为f(－2)＝－4＝－，f(－1)＝－1＝－，
所以f(－2)f(－1)＞0，
因为f(0)＝1，f(－1)＝－1＝－，
所以f(0)f(－1)＜0，
易知[－1，0]符合条件，故选D.
2．若x0是方程＝x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
解析：选C.令g(x)＝，f(x)＝x，
则g(0)＝1>f(0)＝0，g＝
所以由图象关系可得
函数零点个数的判断
[典例引领]
(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2，0
C． D．0
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝，
又因为x＞1，
所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
【答案】 (1)D (2)C
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
[通关练习]
1．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选B.法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
2．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.
函数零点的应用[学生用书P33]
[典例引领]
(1)(分离参数法)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
(2)(数形结合思想)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 (1)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－)2－，
因为x∈[－1，1]，
所以2x∈，
所以－∈.
所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)．
【答案】 (1) (2)(0，1)
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法
[通关练习]
1．(2018·河南新乡模拟)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为( )
A．4或－ B．4或－2
C．5或－2 D．6或－
解析：选C.g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.
2．(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得0
解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－
明确三个等价关系(三者相互转化)
函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是相应函数的零点的个数，亦即该函数的图象与x轴交点的个数．
如：二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件．
函数的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点．
(1)若函数f(x)为奇函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故奇函数的所有零点之和为0.
(2)若函数f(x)为偶函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故偶函数的所有零点之和为0.
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝b对称，则2b－x0也为函数f(x)的零点，若该函数有2n个零点，则该函数所有零点之和为2nb.
易误防范
(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．
1．(2018·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点．
2．已知实数a>1，0
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B.因为a>1，00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
3．(2018·辽宁大连模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.
4．(2018·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D.
f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
5．(2018·河北承德模拟)若函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
解析：选B.由题意知，当x≤0时，函数f(x)有1个零点，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得00时函数f(x)有2个零点，只需解得a>，综上可得实数a的取值范围是
解析：依题意有f(－2)＝m＋＝0，解得m＝－9.
答案：－9
7．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
解析：设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝
的图象如图所示．
因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2)．
答案：(1，2)
8．已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<1时，显然函数f(x)存在唯一零点x＝0，所以当x≥1时，函数f(x)存在唯一零点，又因为y＝2x在[1，＋∞)上单调递增且值域为[2，＋∞)，所以a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0
解：(1)如图所示．
(2)因为f(x)＝
＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0
1．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C.在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜logx0，即f(x0)＜0.
2．(2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(2－x)－b，其中b∈R.若函数y＝f(x)＋g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A．(7，8) B．(8，＋∞)
C．(－7，0) D．(－∞，8)
解析：选A.由已知可得f(x)＝＝将f(x)＋g(x)＝0转化为f(x)＋f(2－x)＝b，令函数F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则F(x)＝，作出函数F(x)的图象，如图，要使F(x)的图象与直线y＝b有四个交点，则有
3．(2018·江苏镇江模拟)函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
解析：当x≤0时，令|x2＋2x－1|＝0，解得x＝－1－(x＝－1＋舍去)，所以函数f(x)在(－∞，0]上有一个零点，因此f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又因为y＝2x－1＋a在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以只需2－1＋a<0，解得a<－.
答案：
4．函数f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：原问题可转化为求y＝与y＝－2cos πx的图象在[－4，6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在[－4，6]上的图象(图略)，可知在x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.
答案：10
5．已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
6．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
所以g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
当0
故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．
第9讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
(4)不存在x0，使ax0
(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
答案：B
生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：选B.设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y＝
答案：y＝
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得，
即解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
一次函数与二次函数模型(高频考点)
高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
[典例引领]
角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的
建立及最值问题
某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
【解析】 该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，
所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，
所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C.
【答案】 C
角度二 以分段函数的形式考查一次函数和二
次函数
(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解】 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x≥2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6
所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
一次函数、二次函数及分段函数
模型的选取与应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：
①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．
[通关练习]
1．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
解析：选C.当x∈[0，4]时，设y＝k1x，
把(4，320)代入，得k1＝80，所以y＝80x.
当x∈[4，20]时，设y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)分别代入
可得所以y＝400－20x.
所以y＝f(x)＝由y≥240，
得或
解得3≤x≤4或4
2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距离h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h，4)，h≥1，故设抛物线的方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3，4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.
将A(2，3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.所以当h＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y＝－(x－3)2＋4.
(2)将A(2，3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，整理得ah2＝－1.①
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解．
由①得，y＝f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则解得1≤h≤.故达到较好的训练效果时h的取值范围是[1，]．
函数y＝x＋(a>0)模型
[典例引领]
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，
此时，当且仅当x＝，
即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
应用函数y＝x＋(a>0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋的形式．
[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，
所以蔬菜种植面积y＝(x－4)＝808－2(4
当且仅当x＝，即x＝40时取等号，此时＝20，ymax＝648 m2.
即当矩形温室的边长各为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.
指数、对数函数模型
[典例引领]
(1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【解析】 (1)设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
【答案】 (1)B (2)6 10 000
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．
(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
解决实际应用问题的四大步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
“对勾”函数的性质
函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
易错防范
(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
解析：选B.依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2－30＝10，
当且仅当＝， 即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为，由<得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
6.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：联通130
12元
0.36元/分
0.06元/秒
乙：移动“神州行”
无
0.60元/分
0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．
解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥(分钟)＝400(秒)．
答案：400
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，
故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得0
因为00，所以P＝－[(150－x)＋]＋120，
又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．120万元 D．140万元
解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1排除D，故选C.
3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，
所以b＝ln 192.
又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
所以e11k＝()＝()＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×()3＝24.
答案：24
4．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________．
(2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)min＝________．
解析：(1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f(x)＝x2＋px＋q模拟函数．
(2)因为f(1)＝10，f(3)＝2，
所以
解得，p＝－8，q＝17，
所以f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以f(x)min＝f(4)＝1.
答案：(1)③ (2)1
5．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg
得10lg＝0.
所以＝1，即I＝10－12W/m2，
则最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立．
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，
所以≤≤，
所以h′(x)<－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．
关于函数y＝ax＋(a≠0，b≠0)性质的推广[学生用书P37]
关于函数y＝ax＋(a≠0且b≠0)性质的讨论．
当a>0，b>0时
当a＝b＝1时，函数化为f(x)＝x＋.
①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，函数为奇函数．之后只需讨论x>0时的情况.，③单调性：Δy＝(x1x2－1)，令x1＝x2＝x，x1x2－1＝0，解得x＝1，当0
此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f(x)＝－ax－(此时a>0，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2－b)，同情况1，x＝，得f(x)在上为增函数，在上为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域：当x＝时，f(x)＝－a－＝－2，即为最大值－2，值域为.
当a>0，b<0时
当a＝1，b＝－1时，函数化为f(x)＝x－.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(x1x2＋1)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时y→x＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．
改函数为f(x)＝ax－(此时b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2＋b)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．
当a<0，b>0时
此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为
f(x)＝－ax＋(此时a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数．③单调性：Δy＝·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域为.
1．函数的零点
函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点
函数零点的存在定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3.二分法
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；
(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)＜0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
函数f(x)＝x－的零点有________个．
解析：函数f(x)＝x－的零点个数是方程x－＝0的解的个数，即方程x＝的解的个数，也就是函数y＝x与y＝的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.
答案：1
已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断
[典例引领]
函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
【解析】 因为f′(x)＝＋>0(x>0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln 3－>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以f(2)·f(3)<0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
[通关练习]
1．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
解析：选D.因为f(0)＝1，f(1)＝2，所以f(0)f(1)＞0，
因为f(2)＝5，f(1)＝2，
所以f(2)f(1)＞0，
因为f(－2)＝－4＝－，f(－1)＝－1＝－，
所以f(－2)f(－1)＞0，
因为f(0)＝1，f(－1)＝－1＝－，
所以f(0)f(－1)＜0，
易知[－1，0]符合条件，故选D.
2．若x0是方程＝x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
解析：选C.令g(x)＝，f(x)＝x，
则g(0)＝1>f(0)＝0，g＝
所以由图象关系可得
函数零点个数的判断
[典例引领]
(1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2，0
C． D．0
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，
解得x＝，
又因为x＞1，
所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
【答案】 (1)D (2)C
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
[通关练习]
1．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选B.法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
2．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.
函数零点的应用[学生用书P33]
[典例引领]
(1)(分离参数法)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
(2)(数形结合思想)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 (1)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝(2x－)2－，
因为x∈[－1，1]，
所以2x∈，
所以－∈.
所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)．
【答案】 (1) (2)(0，1)
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法
[通关练习]
1．(2018·河南新乡模拟)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为( )
A．4或－ B．4或－2
C．5或－2 D．6或－
解析：选C.g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.
2．(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得0
解析：令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：
当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－
明确三个等价关系(三者相互转化)
函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是相应函数的零点的个数，亦即该函数的图象与x轴交点的个数．
如：二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图象从根的判别式、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件．
函数的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点．
(1)若函数f(x)为奇函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故奇函数的所有零点之和为0.
(2)若函数f(x)为偶函数，则－x0也为函数f(x)的零点，故偶函数的所有零点之和为0.
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝b对称，则2b－x0也为函数f(x)的零点，若该函数有2n个零点，则该函数所有零点之和为2nb.
易误防范
(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．
1．(2018·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点．
2．已知实数a>1，0
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B.因为a>1，0
3．(2018·辽宁大连模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.
4．(2018·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D.
f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
5．(2018·河北承德模拟)若函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
解析：选B.由题意知，当x≤0时，函数f(x)有1个零点，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得0
解析：依题意有f(－2)＝m＋＝0，解得m＝－9.
答案：－9
7．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
解析：设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝
的图象如图所示．
因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2)．
答案：(1，2)
8．已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<1时，显然函数f(x)存在唯一零点x＝0，所以当x≥1时，函数f(x)存在唯一零点，又因为y＝2x在[1，＋∞)上单调递增且值域为[2，＋∞)，所以a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0
解：(1)如图所示．
(2)因为f(x)＝
＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0
1．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定
解析：选C.在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜logx0，即f(x0)＜0.
2．(2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(2－x)－b，其中b∈R.若函数y＝f(x)＋g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A．(7，8) B．(8，＋∞)
C．(－7，0) D．(－∞，8)
解析：选A.由已知可得f(x)＝＝将f(x)＋g(x)＝0转化为f(x)＋f(2－x)＝b，令函数F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则F(x)＝，作出函数F(x)的图象，如图，要使F(x)的图象与直线y＝b有四个交点，则有
3．(2018·江苏镇江模拟)函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
解析：当x≤0时，令|x2＋2x－1|＝0，解得x＝－1－(x＝－1＋舍去)，所以函数f(x)在(－∞，0]上有一个零点，因此f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又因为y＝2x－1＋a在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以只需2－1＋a<0，解得a<－.
答案：
4．函数f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：原问题可转化为求y＝与y＝－2cos πx的图象在[－4，6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在[－4，6]上的图象(图略)，可知在x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.
答案：10
5．已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
6．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
所以g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
当0
故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．
第9讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
(4)不存在x0，使ax0
(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
答案：B
生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：选B.设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值．
某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y＝
答案：y＝
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得，
即解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
一次函数与二次函数模型(高频考点)
高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
[典例引领]
角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的
建立及最值问题
某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
【解析】 该公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，
所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，
所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C.
【答案】 C
角度二 以分段函数的形式考查一次函数和二
次函数
(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解】 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x≥2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6
所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
一次函数、二次函数及分段函数
模型的选取与应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：
①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．
[通关练习]
1．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
解析：选C.当x∈[0，4]时，设y＝k1x，
把(4，320)代入，得k1＝80，所以y＝80x.
当x∈[4，20]时，设y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)分别代入
可得所以y＝400－20x.
所以y＝f(x)＝由y≥240，
得或
解得3≤x≤4或4
2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距离h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．
解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h，4)，h≥1，故设抛物线的方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当h＝1时，最高点为(3，4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.
将A(2，3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.所以当h＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y＝－(x－3)2＋4.
(2)将A(2，3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，整理得ah2＝－1.①
由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解．
由①得，y＝f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则解得1≤h≤.故达到较好的训练效果时h的取值范围是[1，]．
函数y＝x＋(a>0)模型
[典例引领]
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，
此时，当且仅当x＝，
即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
应用函数y＝x＋(a>0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋的形式．
[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，
所以蔬菜种植面积y＝(x－4)＝808－2(4
当且仅当x＝，即x＝40时取等号，此时＝20，ymax＝648 m2.
即当矩形温室的边长各为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.
指数、对数函数模型
[典例引领]
(1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【解析】 (1)设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
【答案】 (1)B (2)6 10 000
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．
(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
解决实际应用问题的四大步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
“对勾”函数的性质
函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
易错防范
(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
解析：选B.依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2－30＝10，
当且仅当＝， 即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为，由<得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
6.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：联通130
12元
0.36元/分
0.06元/秒
乙：移动“神州行”
无
0.60元/分
0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．
解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥(分钟)＝400(秒)．
答案：400
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，
故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得0
因为0
又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．120万元 D．140万元
解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1排除D，故选C.
3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，
所以b＝ln 192.
又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
所以e11k＝()＝()＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×()3＝24.
答案：24
4．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________．
(2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)min＝________．
解析：(1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f(x)＝x2＋px＋q模拟函数．
(2)因为f(1)＝10，f(3)＝2，
所以
解得，p＝－8，q＝17，
所以f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以f(x)min＝f(4)＝1.
答案：(1)③ (2)1
5．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg
得10lg＝0.
所以＝1，即I＝10－12W/m2，
则最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立．
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，
所以≤≤，
所以h′(x)<－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．
关于函数y＝ax＋(a≠0，b≠0)性质的推广[学生用书P37]
关于函数y＝ax＋(a≠0且b≠0)性质的讨论．
当a>0，b>0时
当a＝b＝1时，函数化为f(x)＝x＋.
①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，函数为奇函数．之后只需讨论x>0时的情况.，③单调性：Δy＝(x1x2－1)，令x1＝x2＝x，x1x2－1＝0，解得x＝1，当0
此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f(x)＝－ax－(此时a>0，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2－b)，同情况1，x＝，得f(x)在上为增函数，在上为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域：当x＝时，f(x)＝－a－＝－2，即为最大值－2，值域为.
当a>0，b<0时
当a＝1，b＝－1时，函数化为f(x)＝x－.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(x1x2＋1)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时y→x＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．
改函数为f(x)＝ax－(此时b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2＋b)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．
当a<0，b>0时
此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为
f(x)＝－ax＋(此时a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数．③单调性：Δy＝·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域为.
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