2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第8章第6节　双曲线

第六节　双曲线
[最新考纲]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．


1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. (　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改编
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　B．5　　　　C.　　　　D．2
A　[由题意可知b＝2a，
∴e＝＝＝，故选A.]
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 (　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
A　[设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.]
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是 ．
(－∞，－2)∪(－1，＋∞)　[因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]
4．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于 ．
6　[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.]

考点1　双曲线的定义及其应用
　双曲线定义的主要应用
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ．
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ．
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ .
(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)9　(3)[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.

因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.]
[母题探究]
1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
2．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)
A．3 　　　　　　　　　 B．16＋
C．12＋ D．24
B　[由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，
∴9a2＝a2＋1，∴a＝.
由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝， ①
|BF2|－|BF1|＝， ②
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，
则△ABF2的周长为16＋，故选B.]
2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是 ．
8　[设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.]
考点2　双曲线的标准方程
　求双曲线标准方程的方法
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”．
①焦点位置不确定时，设Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与－＝1共渐近线的设为－＝λ(λ≠0)；
③与－＝1共焦点的设为－＝1(－b2 (1)(2019·大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①虚轴长为12，离心率为；
②渐近线方程为y＝±x，焦距为10；
③经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)；
(1)D　[(1)由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D.]
(2)[解]　① 设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
②设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.∴＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为－＝1，
∴c＝.
∴＝5，λ＝－5.
∴所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
③设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn>0)
∴解之得
∴双曲线方程为－＝1.
(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．
　1.(2019·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
C　[由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得解得∴双曲线C的标准方程是x2－＝1，故选C.]
2．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，焦点坐标为(±5,0)，则双曲线的方程为 ．
－＝1　[将3x±4y＝0化为±＝0，设以±＝0为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为－＝1.]
考点3　双曲线的几何性质
　双曲线的渐近线
　求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
　1.[一题多解](2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.]
2．(2019·揭阳一模)已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则m的值为(　　)
A．－ B．－1
C．－2 D．－4
D　[因为m＜0，则双曲线为：y2－＝1，渐近线方程为：±x＋y＝0，
所以＝2，解得m＝－4，故选D.]
3．(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
B　[假设点P在双曲线的右支上，
则∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，
∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，
∴c2－2ac＋3a2＝0，
∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，
∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.]
4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．
y＝±x　[∵双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，∴32－＝1，
解得b2＝2，即b＝.
又a＝1，
∴该双曲线的渐近线方程是y＝±x.]
　双曲线的离心率
　求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为 ．
(1)B　(2)2　　[(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)如图，由＝，得F1A＝AB.

又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，
即BF2//OA，
BF2＝2OA.
由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，
则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，
又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，
得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，
又渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，
所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.]
　双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
　1.(2019·衡水模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
A　[由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以
c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.]
2．(2019·济南模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是 ．
2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，
又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，
解得e＝2，或e＝－(舍去)．]