2020高考数学文科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.6





知识点一 双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

1．判断正误
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　B　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
解析：由题意知|PF1|＝9 知识点二 双曲线的标准方程与几何性质
1．双曲线的标准方程和几何性质


2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

3．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是(　D　)
A．k>5 B．2 C．－25
解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－25.
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　D　)
A. B．2
C. D．2
解析：解法1：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
解法2：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于.
解析：不妨取双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝，又d＝＝，∴＝，化简得a2＝2b2，∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝.

1．双曲线定义的四点辨析
(1)当0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．
(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．方程－＝1(mn>0)表示的曲线
(1)当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线．
(2)当m<0，n<0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．
3．方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
　　　　　　　　　　　　　　


考向一 双曲线的定义及应用
【例1】　(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．
【解析】　(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
(2)设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
【答案】　(1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)



双曲线定义的主要应用方面
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．



(2019·沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝(　A　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：如图，设MN的中点为P.

∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3.故选A.
考向二 双曲线的标准方程
【例2】　(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】　解法1：因为直线AB经过双曲线的右焦点，所以不妨取A(c，)，B(c，－)，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
解法2：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
【答案】　C



求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．



(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为(　C　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为－y2＝1.
解析：(1)由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.
(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法2：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
考向三 双曲线的几何性质
方向1　渐近线问题
【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
【解析】　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得
所以M(，)，所以|OM|＝＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
【答案】　B
方向2　离心率问题
【例4】　(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
【解析】　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
【答案】　C
方向3　最值与范围问题
【例5】　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－ 【答案】　A



1.与双曲线有关的范围问题的解题思路\
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决.
2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.
(2)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(3)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0).



1．(方向1)(2019·福州四校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　A　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.
2．(方向2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝1相切，则双曲线的离心率为(　D　)
A．2 B.
C．3 D．4
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0.依题意，直线bx±ay＝0与圆x2＋(y－4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx±ay＝0的距离d＝＝1，所以＝1，所以双曲线离心率e＝＝4.
3．(方向3)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c,0)，F2(c,0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是(　C　)
A. B.
C. D．(2,3)
解析：设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，由题意有：|PF2|＝3＝2a－|PF1|＝2a－2c，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，同理可得2m＝|PF1|－|PF2|＝2c－(2a－2c)＝4c－2a，所以m＝2c－a，又e2＝＝＝，因为e1∈，所以∈，所以e2∈.

　　　　　　　　　　　　　　

经久不衰的高考热点——离心率问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．
一、利用定义求离心率
典例1　(2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．1＋ D．2＋
【解题思路】　设F′为双曲线的左焦点，利用△OPF为正三角形求出|PO|＝|PF|＝c，∠POF′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF′|＝2a＋c，最后在△PF′O中由余弦定理可得的值．
【解析】　设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－
|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即()2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋，故选C.
【答案】　C
二、利用平面几何性质求离心率
典例2　(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．

【解析】　如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A(，)，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1，∵双曲线的渐近线过点A(，)，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
【答案】　－1　2
三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)
典例3　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　设P(x，y)，则＋＝1(a>b>0)，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以≤≤.故选B.
【答案】　B

(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　A　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　B　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：(1)由题意，不妨设直线l的方程为y＝k(x＋a)，k>0，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka.设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理，得＝，故椭圆的离心率e＝.故选A.
(2)由题意，可设P.因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝＝.因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－.又e∈(0,1)，所以e＝.故选B.