2020高考数学文科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.6导学案





知识点一 对数与对数运算
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算
(1)对数的性质(a>0且a≠1)：
①loga1＝0；②logaa＝1；③a＝N.
(2)对数的换底公式：
logab＝(a，c均大于零且不等于1)．
(3)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN，
②loga＝logaM－logaN，
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　×　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　×　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a 解析：(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错．
(2)形如y＝logax(a>0，且a≠1)为对数函数，故(2)错．
(4)当x>1时，logax>logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错．
2．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是①②③④⑤.
解析：①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则x＝10；④底的对数等于1；⑤logmn＝，log3m＝，则＝2，即log3n＝2，故n＝9.
知识点二 对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象与性质

2.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

3．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　B　)

解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
4．函数y＝lg|x|(　B　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
5．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是(　C　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
解析：因为a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π－2＝>0，但c<1，所以b
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n为偶数)．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
　　　　　　　　　　　　　　

考向一 对数与对数的运算
【例1】　(1)计算：÷100＝________.
(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【解析】　(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
【答案】　(1)－20　(2)D

1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

(1)计算：＋log2＝－2.
(2)若正数a，b满足3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为72.
解析：(1)原式＝|log25－2|＋log25－1
＝log25－2－log25＝－2.
(2)根据题意设3＋log2a＝2＋log3b
＝log6(a＋b)＝k，
所以有a＝2k－3，b＝3k－2，a＋b＝6k，
＋＝＝＝72.
考向二 对数函数的图象及应用
【例2】　(1)(2019·福州模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)

(2)当0 A. B.
C．(1，) D．(，2)
【解析】　(1)因为y＝lg|x－1|＝
当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
(2)解法1：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.

解法2：因为04x>1，所以0 【答案】　(1)A　(2)B

1．若本例(2)变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解：由x2－logax<0得x21时，显然不成立；当0
要使x2 2．若本例(2)变为：当0 解：

若 由图象知
解得
　　应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．



(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　B　)

(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是a>1.
解析：(1)因为lga＋lgb＝0，所以lgab＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，

结合图象知，B正确．
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
考向三 对数函数的性质及应用
方向1　比较大小
【例3】　(2018·天津卷)已知a＝log3，b＝()，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】　log＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x为增函数，所以log35>log3>log33＝1，因为函数y＝()x为减函数，所以()<()0＝1，故c>a>b.故选D.
【答案】　D
方向2　解不等式
【例4】　(1)已知0 (2)设函数f(x)＝若f(a) 【解析】　(1)a <1，即a0，又∵0 (2)由f(a) 得或
即或
解得0 【答案】　(1)3 方向3　对数函数中的参数问题
【例5】　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　先保证对数有意义，即－x2＋4x＋5>0，解得－1 【答案】　C

(1)对数值大小比较的主要方法
①化同底数后利用函数的单调性；
②化同真数后利用图象比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较.
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.

1．(方向1)(2019·辽宁五校联考)设a＝2 017，b＝log2 017，c＝log2 018，则(　D　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：∵a＝2 017>2 0170＝1,0b>c.故选D.
2．(方向2)若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是∪(10，＋∞)．
解析：当g(lgx)>g(1)时，f(|lgx|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lgx|>1，从而lgx<－1或lgx>1，解得010.
3．(方向3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为.
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解之得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，所以a>4，又a<1，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是.



指数、对数比较大小策略
类型一　利用指数函数、对数函数的图象和性质，比较大小
比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用．
典例1　设a＝5－0.7，b＝log，c＝lg，则这三个数之间的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　　　　　 B．a>c>b
C．b>c>a D．b>a>c
【解析】　结合函数y＝5x，y＝logx，y＝lgx的图象易知0log＝1，c＝lga>c.故选D.
【答案】　D
【点评】　利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关系，以便比较大小．
典例2　若a＝()－0.3，b＝log52，c＝e，则(　　)
A．a C．b 【解析】　结合指数函数y＝()x的图象易知a＝()－0.3>1；结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52 【答案】　C
【点评】　本题易错点是不会借助中间桥梁，比较log52与e的大小．由于log52与e均在区间(0,1)内，故需要寻找一个新的中间桥梁“”，以便顺利获解．
类型二　利用特例法、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题
比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解．
典例3　设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则，，的大小关系不可能是(　　)
A.<< B.<<
C.＝＝ D.<<
【解析】　解法1：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正确．
取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确．
取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时选项D正确．
综上，利用排除法可知本题应选B.
解法2：设log2x＝log3y＝log5z＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.
又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论．
若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确．
若03k－1>5k－1，所以<<，所以选项D有可能正确．
若k>1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项A有可能正确．
综上，利用排除法可知选B.
【答案】　B
【点评】　解法1是在特例的基础上，结合排除法解答；解法2借助设元变形， 先将目标问题等价转化为考查2k－1,3k－1,5k－1的大小，再对幂函数f(x)＝xk－1的单调性加以讨论分析．特别提醒——幂函数y＝xa在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若a>0，则单调递增；②若a＝0，则为常数函数；③若a<0，则单调递减．
总之，结合例题解析，希望能够帮助同学们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能．如此，那么有关指数式、对数式的比较大小问题，我们真的可以说：So easy!