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2020版新一线高考物理（人教版）一轮复习教学案：第4章第3节 圆周运动
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第3节 圆周运动
知识点一| 圆周运动的运动学分析
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
物理量
意义、方向
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期(T)和转速(n)或频率(f)
①周期是物体沿圆周运动一周的时间
②转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频率
①T＝单位：s
②n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz
向心加速度(a)
①描述速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①a＝＝rω2
②单位：m/s2
(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 (×)
(2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 (×)
(3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 (√)
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
2．对公式a＝＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
3．常见的三种传动方式及特点
类型
图示
特点
同轴传动
绕同一转轴运转的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
皮带传动
皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦或齿轮传动
两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
考法1 匀速圆周运动的理解
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
BC [匀速圆周运动是变速运动，位移、平均速度是矢量，故相同时间内位移和平均速度不相同，而通过的路程和转过的角度相同，故选项B、C正确，A、D错误。]
考法2 描述圆周运动物理量的关系
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr知，ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A错误；同样，r＝，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B错误；由T＝可知，ω越大，T越小，D正确。]
3．(2019·合肥调研)如图所示，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是3∶2，运动方向改变的角度之比是2∶1，则( )
A．A、B两艘快艇的线速度大小之比为2∶3
B．A、B两艘快艇的角速度大小之比为1∶2
C．A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为1∶3
D．A、B两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1
D [线速度v＝，A、B通过的路程之比为3∶2，时间相等，则A、B两艘快艇的线速度大小之比为3∶2，选项A错误；角速度ω＝，运动方向改变的角度等于做圆周运动转过的角度，A、B转过的角度之比为2∶1，时间相等，则A、B两艘快艇的角速度大小之比为2∶1，选项B错误；根据v＝ωr得，圆周运动的半径r＝，由线速度大小之比为3∶2，角速度大小之比为2∶1，可知A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为3∶4，选项C错误；根据a＝vω，可知A、B两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1，选项D正确。]
[考法指导] 判断匀速圆周运动中a、v、ω、r、n、T之间是否成正比或反比关系时，首先要明确不变量，再结合关系式进行判断，用到了控制变量法。
考法3 同轴转动问题分析
4．如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( )
A．角速度之比ωA∶ωB＝∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
D [板上A、B两点的角速度相等，即ωA∶ωB＝1∶1；由于线速度v＝ωR，且OA＝，则A、B两点线速度之比vA∶vB＝1∶。]
5．(2019·武汉模拟)如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
A [P、Q两点都是绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ωP＝ωQ，选项A对；根据圆周运动线速度v＝ωR，P、Q两点到地轴的距离不等，即P、Q两点圆周运动线速度大小不等，选项B错；Q点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度大，选项C错；P、Q两物体均受到万有引力和支持力作用，二者的合力是圆周运动的向心力，我们把与支持力等大反向的平衡力即万有引力的一个分力称为重力，选项D错。]
考法4 皮带传动问题分析
6．如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮边缘线速度大小为n1
D．从动轮的转速为n1
B [主动轮沿顺时针方向转动时，传送带沿M→N方向运动，故从动轮沿逆时针方向转动，且两轮边缘线速度大小相等，故A错误，B正确；由ω＝2πn、v＝ωr可知，2πn1r1＝2πn2r2，解得v＝2πn1r1，n2＝n1，故C、D错误。]
7.(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则( )
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
BD [处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确。根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误。根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误。根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
考法5 摩擦或齿轮传动问题分析
8．(多选)(2019·丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点( )
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
AC [题图中三个齿轮边缘线速度相等，即A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，选项B、D错误。]
9.如图所示， 自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA。当自行车正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
C [小齿轮A和大齿轮B通过链条传动，齿轮边缘线速度相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动角速度相等，有ωA＝ωC。由a＝可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1，同时由a＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以有aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，C正确。]
知识点二| 圆周运动的动力学分析
1．向心力的理解
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
2．离心现象
(1)现象
做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点
①当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出。
③当Fn＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。
④当Fn＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。
(1)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。(√)
(2)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。(×)
(3)做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。(×)
(4)赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。(√)
考法1 对向心力的理解
1．关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用
B．向心力是一个恒力
C．物体所受的合外力提供向心力
D．向心力是根据性质命名的一种力
C [物体做匀速圆运动需要受到一个指向圆心的合外力，并不是还要受到一个向心力作用，故A错误；物体做匀速圆周运动的向心力始终指向圆心，因此向心力方向不断改变，向心力不是恒力，故B错误；物体做匀速圆周运动需要向心力，而物体所受的合外力正好提供向心力，让物体能够做匀速圆周运动，故C正确；向心力是指向圆心的合外力，不是性质力，是根据效果命名的，故D错误。]
考法2 离心现象的分析
2．(多选)如图所示，洗衣机的脱水筒采用电机带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，大部分衣物紧贴筒壁
B．水会从筒中甩出是由于水滴受到的离心力很大
C．加快脱水筒的转动速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
ACD [水滴随衣物一起做圆周运动时，水滴与衣物间的附着力提供水滴所需的向心力。当脱水筒转得比较慢时，水滴与衣物间的附着力足以提供所需的向心力，使水滴做圆周运动；脱水筒转动速度加快时，所需的向心力将增大，当水滴与物体间的附着力不足以提供水滴所需的向心力时，水滴做离心运动，穿过网孔，飞到脱水筒外面；靠近中心的衣物上的水滴所需的向心力较小，故选项A、C、D正确。]
考法3 “圆锥摆”向心力来源分析及计算
3．(多选)(2019·宝鸡检测)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中( )
A．小球的向心加速度逐渐减小
B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小
D．小球运动的周期逐渐减小
CD [以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。
由牛顿第二定律得：
＝ma＝＝mrω2，可知在A、B轨道的向心力大小相等，a＝，向心加速度不变，故A错误。角速度ω＝，由于半径减小，则角速度变大，故B错误。线速度v＝，由于半径减小，线速度减小，故C正确。周期T＝，角速度增大，则周期减小，故D正确。]
4．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
D [设A、B质量分别为m、M，A做匀速圆周运动的向心加速度为a，细线与竖直方向的夹角为θ，对B研究，B受到的静摩擦力f＝Tsin θ，对A，有：Tsin θ＝ma，Tcos θ＝mg，解得a＝gtan θ，θ变小，a减小，则静摩擦力大小变小，故A错误；以整体为研究对象知，B受到桌面的支持力大小不变，应等于(M＋m)g，故B错误；细线的拉力T＝，θ变小，T变小，故C错误；设细线长为l，则a＝gtan θ＝ω2lsin θ，ω＝，θ变小，ω变小，故D正确。]
考法4 水平面内圆周运动的临界问题
5．(多选)(2014·全国卷Ⅰ)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC [小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa
A．当A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为12 N
B．当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度约为4 rad/s
C．当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为 rad/s
D．在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将做向心运动，B将做离心运动
AC [增大圆盘的角速度，B先达到最大静摩擦力，所以A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为FB＝kmBg＝12 N，A正确；设小物体A达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为ω1，此时细线的拉力为T，则对A：kmAg－T＝mAωrA，对B：T＋kmBg＝mBωrB，得ω1＝10 rad/s≈4 rad/s，B正确；当细线上开始有弹力时，对B：kmBg＝mBωrB，解得ω2＝ rad/s，C正确；剪断细线，A随圆盘做圆周运动，B将做离心运动，D错误。]
[考法指导] 处理临界问题的解题步骤
(1)判断临界状态
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点也往往是临界状态。
(2)确定临界条件
判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
(多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B、C与转台间的动摩擦因数均为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
BC [要使A能够与B一起以角速度ω转动，根据牛顿第二定律可知，B对A的摩擦力一定等于A物体所需向心力的值，即Ff＝3mω2r，B项正确。要使A、B两物体同时能随转台一起以角速度ω匀速转动，则对于A，有3μmg≥3mrω2，对A、B整体，有5μmg≥5mrω2，对于C，有μmg≥mrω2，综合以上，可得ω≤，C项正确。]
知识点三| 竖直平面内的圆周运动
考法1 竖直平面内的轻“绳”模型
1．如图所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )
A. B. C. D.
B [杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点重力提供向心力，则有mg＝，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。]
2．如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
D [设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点：N1－mg＝m，
在最高点：N2＋mg＝m
同时从最高点到最低点，根据机械能守恒定律得
mg·2R＝mv－mv
联立以上三式可得N1－N2＝6mg，故选项D正确。]
考法2 竖直平面内的轻“杆”模型
3.(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
A [轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误。]
考法3 竖直平面内“管状”模型
4．(多选)如图所示，内壁光滑的大圆管，用一细轻杆固定在竖直平面内；在管内有一小球(可视为质点)做圆周运动。下列说法正确的是( )
A．小球通过最低点时，小球对圆管的压力向下
B．小球通过最高点时，小球对圆管可能无压力
C．细杆对圆管的作用力一定大于圆管的重力大小
D．细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小
ABD [小球通过最低点时，小球受到重力、圆管向上的支持力，合力指向圆心，根据牛顿第三定律，小球对圆管的压力向下，选项A正确；当小球通过最高点时，若速度为，圆管对小球的弹力为零，小球对圆管无压力，选项B正确；对圆管和球组成的整体为研究对象，当小球的向心加速度向上(或分量向上)时，细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小；当小球的向心加速度向下(或分量向下)时，细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小，选项C错误，D正确。]
[考法指导] 两类典型模型的比较
轻“绳”模型
轻“杆”模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
v＝的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界点
学法指导
基本思路在解答竖直平面内物体的圆周运动问题时，首先要确定是属于轻“绳”模型，还是轻“杆”模型，然后注意区分两者在最高点的最小速度要求，区分绳与杆的施力特点，必要时还要根据牛顿运动定律列式求解
第3节 圆周运动
知识点一| 圆周运动的运动学分析
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
物理量
意义、方向
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期(T)和转速(n)或频率(f)
①周期是物体沿圆周运动一周的时间
②转速是物体单位时间转过的圈数，也叫频率
①T＝单位：s
②n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz
向心加速度(a)
①描述速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①a＝＝rω2
②单位：m/s2
(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 (×)
(2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 (×)
(3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 (√)
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
2．对公式a＝＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
3．常见的三种传动方式及特点
类型
图示
特点
同轴传动
绕同一转轴运转的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
皮带传动
皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦或齿轮传动
两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
考法1 匀速圆周运动的理解
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
BC [匀速圆周运动是变速运动，位移、平均速度是矢量，故相同时间内位移和平均速度不相同，而通过的路程和转过的角度相同，故选项B、C正确，A、D错误。]
考法2 描述圆周运动物理量的关系
2．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
D [由v＝ωr知，ω＝，角速度与线速度、半径两个因素有关，线速度大的角速度不一定大，A错误；同样，r＝，半径与线速度、角速度两个因素有关，角速度大的半径不一定小，C错误；由T＝知，周期与半径、线速度两个因素有关，线速度大的周期不一定小，B错误；由T＝可知，ω越大，T越小，D正确。]
3．(2019·合肥调研)如图所示，A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是3∶2，运动方向改变的角度之比是2∶1，则( )
A．A、B两艘快艇的线速度大小之比为2∶3
B．A、B两艘快艇的角速度大小之比为1∶2
C．A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为1∶3
D．A、B两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1
D [线速度v＝，A、B通过的路程之比为3∶2，时间相等，则A、B两艘快艇的线速度大小之比为3∶2，选项A错误；角速度ω＝，运动方向改变的角度等于做圆周运动转过的角度，A、B转过的角度之比为2∶1，时间相等，则A、B两艘快艇的角速度大小之比为2∶1，选项B错误；根据v＝ωr得，圆周运动的半径r＝，由线速度大小之比为3∶2，角速度大小之比为2∶1，可知A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为3∶4，选项C错误；根据a＝vω，可知A、B两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1，选项D正确。]
[考法指导] 判断匀速圆周运动中a、v、ω、r、n、T之间是否成正比或反比关系时，首先要明确不变量，再结合关系式进行判断，用到了控制变量法。
考法3 同轴转动问题分析
4．如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点( )
A．角速度之比ωA∶ωB＝∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
D [板上A、B两点的角速度相等，即ωA∶ωB＝1∶1；由于线速度v＝ωR，且OA＝，则A、B两点线速度之比vA∶vB＝1∶。]
5．(2019·武汉模拟)如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、Q两物体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、Q两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点的线速度大小相等
C．P点的线速度比Q点的线速度大
D．P、Q两物体均受重力和支持力两个力作用
A [P、Q两点都是绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ωP＝ωQ，选项A对；根据圆周运动线速度v＝ωR，P、Q两点到地轴的距离不等，即P、Q两点圆周运动线速度大小不等，选项B错；Q点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度大，选项C错；P、Q两物体均受到万有引力和支持力作用，二者的合力是圆周运动的向心力，我们把与支持力等大反向的平衡力即万有引力的一个分力称为重力，选项D错。]
考法4 皮带传动问题分析
6．如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮边缘线速度大小为n1
D．从动轮的转速为n1
B [主动轮沿顺时针方向转动时，传送带沿M→N方向运动，故从动轮沿逆时针方向转动，且两轮边缘线速度大小相等，故A错误，B正确；由ω＝2πn、v＝ωr可知，2πn1r1＝2πn2r2，解得v＝2πn1r1，n2＝n1，故C、D错误。]
7.(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则( )
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
BD [处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确。根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误。根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误。根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
考法5 摩擦或齿轮传动问题分析
8．(多选)(2019·丹东质检)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点( )
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
AC [题图中三个齿轮边缘线速度相等，即A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，选项B、D错误。]
9.如图所示， 自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA。当自行车正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于( )
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
C [小齿轮A和大齿轮B通过链条传动，齿轮边缘线速度相等，即vA＝vB，小齿轮A和后轮C同轴转动角速度相等，有ωA＝ωC。由a＝可得aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1，同时由a＝ω2R可得aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，所以有aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，C正确。]
知识点二| 圆周运动的动力学分析
1．向心力的理解
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
2．离心现象
(1)现象
做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点
①当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出。
③当Fn＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。
④当Fn＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。
(1)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。(√)
(2)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。(×)
(3)做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。(×)
(4)赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。(√)
考法1 对向心力的理解
1．关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用
B．向心力是一个恒力
C．物体所受的合外力提供向心力
D．向心力是根据性质命名的一种力
C [物体做匀速圆运动需要受到一个指向圆心的合外力，并不是还要受到一个向心力作用，故A错误；物体做匀速圆周运动的向心力始终指向圆心，因此向心力方向不断改变，向心力不是恒力，故B错误；物体做匀速圆周运动需要向心力，而物体所受的合外力正好提供向心力，让物体能够做匀速圆周运动，故C正确；向心力是指向圆心的合外力，不是性质力，是根据效果命名的，故D错误。]
考法2 离心现象的分析
2．(多选)如图所示，洗衣机的脱水筒采用电机带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，大部分衣物紧贴筒壁
B．水会从筒中甩出是由于水滴受到的离心力很大
C．加快脱水筒的转动速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
ACD [水滴随衣物一起做圆周运动时，水滴与衣物间的附着力提供水滴所需的向心力。当脱水筒转得比较慢时，水滴与衣物间的附着力足以提供所需的向心力，使水滴做圆周运动；脱水筒转动速度加快时，所需的向心力将增大，当水滴与物体间的附着力不足以提供水滴所需的向心力时，水滴做离心运动，穿过网孔，飞到脱水筒外面；靠近中心的衣物上的水滴所需的向心力较小，故选项A、C、D正确。]
考法3 “圆锥摆”向心力来源分析及计算
3．(多选)(2019·宝鸡检测)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中( )
A．小球的向心加速度逐渐减小
B．小球运动的角速度逐渐减小
C．小球运动的线速度逐渐减小
D．小球运动的周期逐渐减小
CD [以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。
由牛顿第二定律得：
＝ma＝＝mrω2，可知在A、B轨道的向心力大小相等，a＝，向心加速度不变，故A错误。角速度ω＝，由于半径减小，则角速度变大，故B错误。线速度v＝，由于半径减小，线速度减小，故C正确。周期T＝，角速度增大，则周期减小，故D正确。]
4．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
D [设A、B质量分别为m、M，A做匀速圆周运动的向心加速度为a，细线与竖直方向的夹角为θ，对B研究，B受到的静摩擦力f＝Tsin θ，对A，有：Tsin θ＝ma，Tcos θ＝mg，解得a＝gtan θ，θ变小，a减小，则静摩擦力大小变小，故A错误；以整体为研究对象知，B受到桌面的支持力大小不变，应等于(M＋m)g，故B错误；细线的拉力T＝，θ变小，T变小，故C错误；设细线长为l，则a＝gtan θ＝ω2lsin θ，ω＝，θ变小，ω变小，故D正确。]
考法4 水平面内圆周运动的临界问题
5．(多选)(2014·全国卷Ⅰ)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC [小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa
A．当A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为12 N
B．当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度约为4 rad/s
C．当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为 rad/s
D．在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将做向心运动，B将做离心运动
AC [增大圆盘的角速度，B先达到最大静摩擦力，所以A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为FB＝kmBg＝12 N，A正确；设小物体A达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为ω1，此时细线的拉力为T，则对A：kmAg－T＝mAωrA，对B：T＋kmBg＝mBωrB，得ω1＝10 rad/s≈4 rad/s，B正确；当细线上开始有弹力时，对B：kmBg＝mBωrB，解得ω2＝ rad/s，C正确；剪断细线，A随圆盘做圆周运动，B将做离心运动，D错误。]
[考法指导] 处理临界问题的解题步骤
(1)判断临界状态
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点也往往是临界状态。
(2)确定临界条件
判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
(多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B、C与转台间的动摩擦因数均为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
BC [要使A能够与B一起以角速度ω转动，根据牛顿第二定律可知，B对A的摩擦力一定等于A物体所需向心力的值，即Ff＝3mω2r，B项正确。要使A、B两物体同时能随转台一起以角速度ω匀速转动，则对于A，有3μmg≥3mrω2，对A、B整体，有5μmg≥5mrω2，对于C，有μmg≥mrω2，综合以上，可得ω≤，C项正确。]
知识点三| 竖直平面内的圆周运动
考法1 竖直平面内的轻“绳”模型
1．如图所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )
A. B. C. D.
B [杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点重力提供向心力，则有mg＝，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。]
2．如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
D [设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点：N1－mg＝m，
在最高点：N2＋mg＝m
同时从最高点到最低点，根据机械能守恒定律得
mg·2R＝mv－mv
联立以上三式可得N1－N2＝6mg，故选项D正确。]
考法2 竖直平面内的轻“杆”模型
3.(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
A [轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误。]
考法3 竖直平面内“管状”模型
4．(多选)如图所示，内壁光滑的大圆管，用一细轻杆固定在竖直平面内；在管内有一小球(可视为质点)做圆周运动。下列说法正确的是( )
A．小球通过最低点时，小球对圆管的压力向下
B．小球通过最高点时，小球对圆管可能无压力
C．细杆对圆管的作用力一定大于圆管的重力大小
D．细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小
ABD [小球通过最低点时，小球受到重力、圆管向上的支持力，合力指向圆心，根据牛顿第三定律，小球对圆管的压力向下，选项A正确；当小球通过最高点时，若速度为，圆管对小球的弹力为零，小球对圆管无压力，选项B正确；对圆管和球组成的整体为研究对象，当小球的向心加速度向上(或分量向上)时，细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小；当小球的向心加速度向下(或分量向下)时，细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小，选项C错误，D正确。]
[考法指导] 两类典型模型的比较
轻“绳”模型
轻“杆”模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
v＝的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界点
学法指导
基本思路在解答竖直平面内物体的圆周运动问题时，首先要确定是属于轻“绳”模型，还是轻“杆”模型，然后注意区分两者在最高点的最小速度要求，区分绳与杆的施力特点，必要时还要根据牛顿运动定律列式求解
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