2020版新一线高考物理（人教版）一轮复习教学案：第4章第2节　抛体运动

第2节　抛体运动

知识点一| 平抛运动的基本规律

1．定义

将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质

加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。

4．研究方法

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

5．基本规律

(1)位移关系

(2)速度关系

(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (×)

(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。  (×)

(3)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。   (√)

1．平抛运动速度改变量

物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

2．平抛运动的两个主要推论

(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝。

推导：

→xB＝

(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。

推导：

→tan θ＝2tan α

[典例]　(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)

A．小球水平抛出时的初速度大小为

B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为

C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

D．若小球初速度增大，则θ减小

AD　[如图所示。由tan θ＝可得小球平抛的初速度大小v0＝，选项A正确；由tan α＝＝＝＝tan θ可知，α≠，选项B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，选项C错误；由tan θ＝可知，v0越大，θ越小，选项D正确。]

考法1　平抛运动的特点

1．(2019·枣庄模拟)用如图所示的装置研究平抛运动。敲击弹性金属片后，A、B两球同时开始运动，均落在水平地面上，下列说法合理的是(　　)

A．A球比B球先落地

B．B球比A球先落地

C．能听到A球与B球同时落地的声音

D．当实验装置距离地面某一高度时，A球和B球才同时落地

C　[根据装置图可知，两球由相同高度同时运动，A做平抛运动，B做自由落体运动，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动，球的落地时间由竖直方向自由落体运动决定，由于两球同时运动，因此在任一时刻两球在竖直方向上高度相同，它们同时落地。该实验可以证明平抛运动可以分解为竖直方向上的自由落体运动。]

2．在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)

A．速度和加速度的方向都在不断变化

B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小

C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等

D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等

B　[物体做平抛运动，只受重力作用，加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t的变大，tan θ变小，则θ变小，选项B正确；在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，但速率(速度大小)变化量不相等，选项C错误；根据动能定理，动能的改变量等于重力的功，即ΔEk＝mgh，由于相等时间内下落的高度越来越大，重力做功越来越多，故动能的改变量越来越大，故D错误。]

考法2　单物体的平抛运动

3．(多选)(2019·济南模拟)以v0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法正确的是(　　)

A．此时速度的大小是v0

B．运动时间是

C．竖直分速度大小等于水平分速度大小

D．运动的位移是

ABD　[物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得：

水平方向上：x＝v0t

竖直方向上：h＝gt2

当其水平分位移与竖直分位移相等时，即x＝h

所以v0t＝gt2

解得t＝，所以B正确；

平抛运动竖直方向上的速度为vy＝gt＝g·＝2v0，所以C错误；

此时合速度的大小为＝v0，所以A正确；

由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x＝h＝v0t＝v0·＝，

所以此时运动的合位移的大小为＝x＝，所以D正确。]

考法3　多物体的平抛运动

4．(多选)(2019·郴州模拟)如图所示，三个小球从不同高处A、B、C分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上同一位置D，且OA∶AB∶BC＝1∶3∶5，若不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

A．A、B、C三个小球水平初速度之比v1∶v2∶v3＝9∶4∶1

B．A、B、C三个小球水平初速度之比v1∶v2∶v3＝6∶3∶2

C．A、B、C三个小球通过的位移大小之比为1∶4∶9

D．A、B、C三个小球落地速度与水平地面夹角的正切值之比为1∶4∶9

BD　[三个小球都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2得t＝，由图可知A、B、C三个小球下落的高度之比h1∶h2∶h3＝1∶4∶9，所以三个小球运动的时间之比t1∶t2∶t3＝1∶2∶3，水平位移x相等，由x＝v0t得，三个小球水平初速度之比v1∶v2∶v3＝6∶3∶2，选项A错误，B正确；小球的位移大小为s＝，x相等，h1∶h2∶h3＝1∶4∶9，则得位移大小之比s1∶s2∶s3≠1∶4∶9，选项C错误；小球落地速度与水平地面夹角的正切值tan α＝＝，则A、B、C三个小球落地速度与水平地面夹角的正切值之比为∶∶＝1∶4∶9，故选项D正确。]

5．(2017·江苏高考)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)

A．t　　　　B.t　 　　C.　 　　D.

C　[设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有

vAt＋vBt＝d  ①

(d为两小球间的水平距离)

设当A、B两小球速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，则2vAt′＋2vBt′＝d               ②

联立①②解得t′＝

选项C正确。]

考法4　平抛运动推论的应用

6．如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是(　　)

A．φ1＞φ2  B．φ1＜φ2  C．φ1＝φ2  D．无法确定

C　[根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]

7.(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)

A．2倍  B．4倍  C．6倍  D．8倍

A　[甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]

知识点二| 与斜面相关的平抛运动问题

考法1　物体从空中抛出落在斜面上

1.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)

A．tan θ　　B．2tan θ    C.      D.

D　[解法1：分解法。

由“其速度方向与斜面垂直”知，小球落到斜面上时速度与水平方向的夹角β＝，如图所示。由tan β＝，得vy＝v0tan β＝。

则t＝＝，所以＝＝，D正确。

解法2：结论法。

由题意知，小球落到斜面上时，速度的偏角为β＝，如图所示。设此时小球的位移偏角为α，则有2tan α＝tan＝，得tan α＝，故＝，D正确。]

考法2　物体从斜面上抛出落在斜面上

2．(多选)(2019·西安调研)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气阻力)(　　)

A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3

B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1

C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1

D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交

BC　[由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tan α＝，所以三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相切，因此不会在空中相交，D项错误。]

3．(多选)如图所示，在某次自由式滑雪比赛中，一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，若斜面雪坡的倾角为θ，飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则(　　)

A．如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同

B．不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的

C．运动员落到雪坡时的速度大小是

D．运动员在空中经历的时间是

BD　[如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的位置不同，但位移方向均沿斜坡，即位移方向与水平方向的夹角均为θ，由tan φ＝2tan θ得速度方向与水平方向的夹角均为φ，故A错，B对；将运动员落到雪坡时的速度沿水平方向和竖直方向分解，求出运动员落到雪坡时的速度大小为，故C错；由几何关系得tan θ＝，解出运动员在空中经历的时间t＝，故D对。]

考法3　两种落面方式的组合

4．(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　)

A．落于B点的小球飞行时间为t

B．v2＝gt

C．落于C点的小球的水平位移为gt2

D．A点距水平面MN的高度为gt2

ACD　[落于C点的小球速度垂直QO，则分解速度，如图，则v1＝gt，水平位移x＝v1t＝gt2，故C项正确。

落于B点的小球分解位移如图，

其中，BC在同一平面，故飞行时间都为t

有：tan 45°＝＝

所以v2＝，故A项正确，B项错误。

设C点距地面为h，由几何关系知

x＝2h＋v2t，所以h＝gt2

故A点距水平面高度H＝h＋gt2＝gt2，故D项正确。]

[考法指导]　(1)斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

(2)常见的模型如下：

知识点三| 平抛中的临界极值问题

考法1　应用基本规律求临界极值问题

1．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的初速度水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力。则可以实现上述要求的速度大小是(　　)

A．2 m/s　 　B．4 m/s　　 C．8 m/s　　 D．10 m/s

B　[小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7 m/s；小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有H＋h＝gt′2，L＋d＝vmint′，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，选项B正确，A、C、D错误。]

考法2　运用极端分析法求临界、极值问题

2．(2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3 h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)

A.<v<L1 B.<v<

C.<v< D.<v<

D　[设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝gt　①，水平方向上有＝v1t1　②。

由①②两式可得v1＝。

设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt　③，在水平方向有＝v2t2　④。

由③④两式可得v2＝。

则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。]

如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出。(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)

(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？

(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。

解析：(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限。

甲

设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入上面的速度公式v＝x，可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限。

欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3 m/s＜v＜12 m/s。

(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示

乙

设此时排球的初速度为v，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝(h3－2) m，代入速度公式v＝x可得v＝3；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x可得v＝12

两式联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界。

答案：见解析