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2020年高考物理一轮复习文档：第9章恒定电流热点专题（五） 第46讲
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第46讲 电阻测量的常用方法
热点概述 电阻测量是高考中的重点和难点，在历年电学实验考查中所占比例非常高，该实验涉及面广，综合性强，对考生创新设计的能力要求较高，本专题除讲述常用的伏安法外，又给出了等效替代法、半偏法、电桥法等思想方法。
热点一 伏安法测电阻(广义)
1．伏安法测电阻的原理：部分电路欧姆定律R＝。
2．两种控制电路和两种测量电路
(1)两种控制电路
图甲是限流式控制电路，图乙是分压式控制电路。
若变阻器阻值较小，一般设计为分压式；若变阻器阻值较大，一般设计为限流式，在二者都可行时，应先考虑限流式。
(2)两种测量电路
(3)若电流表或电压表量程不够可以对表进行改装或加保护电阻以防电流太大，下面是电表改装或替代的设计方案。
①内阻已知的电压表相当于小量程的电流表；
②内阻已知的电流表则相当于小量程的电压表；
③灵敏电流计串大电阻改装成电压表；
④灵敏电流计并小电阻改装成电流表；
⑤电阻箱与电流表串联相当于电压表；
⑥电阻箱与电压表并联相当于电流表；
⑦内阻较小的电源串联定值电阻相当于内阻较大的电源。
[例1] 用伏安法测定一个待测电阻Rx的阻值(阻值约为200 Ω)，实验室提供如下器材：
电池组E：电动势3 V，内阻不计；
电流表A1：量程0～15 mA，内阻约为100 Ω；
电流表A2：量程0～300 μA，内阻为1000 Ω；
滑动变阻器R1：阻值范围0～20 Ω，额定电流2 A；
电阻箱R2：阻值范围0～9999 Ω，额定电流1 A；
开关S、导线若干。
要求实验中尽可能准确地测量Rx的阻值，请回答下列问题：
(1)为了测量待测电阻两端的电压，可以将电流表________(填写器材代号)与电阻箱串联，并将电阻箱阻值调到________ Ω，这样可以改装成一个量程为3.0 V的电压表。
(2)在图1中画完整测量Rx阻值的电路图，并在图中标明器材代号。
(3)调节滑动变阻器R1，两表的示数如图所示，可读出电流表A1的示数是________ mA，电流表A2的示数是________ μA，测得待测电阻Rx的阻值是________。本次测量存在一定的系统误差，考虑这个原因测量值比真实值________(填“偏大”或“偏小”)。
解析 (1)为测量待测电阻两端的电压，可以把A2和R2串联起来改装成电压表，改装成的电压表量程为3 V，则电阻箱阻值R2＝－RA2＝ Ω－1000 Ω＝9000 Ω。
(3)由图2可知，电流表A1的示数为8.0 mA，电流表A2的示数是150 μA，待测电阻阻值为Rx＝＝ Ω＝187.5 Ω。
采用电流表外接法测量的电流值偏大，因此测量的电阻偏小。
答案 (1)A2 9000
(2)电路如图所示
(3)8.0 150 187.5 Ω 偏小
方法感悟
在实验中缺少合适的电压表或电流表时，可用内阻已知的电压表或电流表串联上或并联上定值电阻或电阻箱进行改装。
[例2] 某研究小组要测量电压表V1的内阻r1，要求方法简捷，有尽可能高的测量精度，并能测得多组数据，现提供如下器材：
A．电压表V1：量程3 V，内阻r1待测(约2000 Ω)
B．电压表V2：量程6 V，内阻r2＝4000 Ω
C．电压表V3：量程4 V，内阻r3＝10000 Ω
D．电流表A1：量程0.6 A，内阻r4＝0.05 Ω
E．滑动变阻器R0：总电阻约50 Ω
F．电源E：电动势15 V，内阻很小
G．开关S、导线若干
(1)请从所给器材中选出适当的器材，设计电路，在虚线框中画出电路图，标明所用器材的符号。
(2)根据所设计的电路图，写出待测电压表V1的内阻r1的表达式，即r1＝________，式中各符号的意义是________________________________________。
解析 (1)由待测电压表的量程和内阻分析可知，通过待测电压表的最大电流约为 A＝1.5×10－3 A，该电流远小于电流表的量程，因此电流表不能用，应将内阻已知的电压表用作电流表。如果选择电压表V3，当电压表V3达到满量程时，待测电压表的示数为0.8 V，偏转角度达不到满量程的三分之一，因此应选择电压表V2用作电流表。又由于滑动变阻器的阻值远小于待测电压表的内阻，则滑动变阻器用分压接法，电路设计如答图所示。
(2)由串联电路的特点以及欧姆定律可知，待测电压表的内阻应为r1＝＝r2，其中U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r2为电压表V2的内阻。
答案 (1)如图所示
(2)r2 U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r2为电压表V2的内阻
方法感悟
电路设计时的两个技巧
(1)电流表的灵活选用
已知内阻的电流表可做电压表使用，在缺少合适的电压表的情况下，常用电流表代替电压表使用。
(2)电压表的灵活选用
已知内阻的电压表可做电流表使用，在缺少合适的电流表的情况下，常用电压表代替电流表使用。
1．待测电阻Rx的阻值约为100 Ω，现要测量其阻值，实验室提供器材如下：
A．电流表A1(量程40 mA，内阻r1约为10 Ω)；
B．电流表A2(量程20 mA，内阻r2＝30 Ω)；
C．电压表V(量程15 V，内阻约为3000 Ω)；
D．定值电阻R0＝120 Ω；
E．滑动变阻器R(阻值范围0～5 Ω，允许最大电流1.0 A)；
F．电源(电动势E＝3 V，内阻不计)；
G．开关S及导线若干。
(1)为了使测量结果准确，以上器材不合适的是________。(用器材前对应的序号字母填写)
(2)利用其余的实验器材，设计测量Rx的最佳实验电路，将电路图画在虚线框内并标明元件符号。
(3)实验中需要测量的物理量有________________________，待测电阻的表达式Rx＝________。
答案 (1)C (2)电路图见解析图 (3)电流表A1的示数I1，电流表A2的示数I2
解析 (1)由于电压表量程为15 V，远大于电源的电动势，故电压表不可用。
(2)由于电压表不可用，故可以采用电流表A2与定值电阻R0串联作电压表测电压，用电流表A1测量电流，由于改装的电压表内阻已知，故电流表A1采用外接法，由于待测电阻阻值大于滑动变阻器最大阻值，为测多组实验数据，滑动变阻器应采用分压接法，电路图如图所示。
(3)待测电阻两端电压U＝I2(R0＋r2)，通过待测电阻的电流Ix＝I1－I2，待测电阻阻值：Rx＝＝，其中I1、I2分别为电流表A1和A2的示数。
2．(2018·南昌高三一模)为了测量量程为3 V，内阻约为1 kΩ的电压表的内阻值，某同学设计了如下实验，实验电路图如右图所示。可提供的实验仪器有：
A．电源：E＝4.0 V，内阻不计；
B．待测电压表：量程3 V，内阻约1 kΩ；
C．电流表：A1：量程6 mA；A2：量程0.6 A；
D．电阻箱R：R1最大阻值99.99 Ω；R2最大阻值9999.9 Ω；
E．滑动变阻器R0：R01最大阻值10 Ω；R02最大阻值1 kΩ。
(1)实验中保证电流表的示数不发生变化，调整电阻箱和滑动变阻器的阻值，使电压表的示数发生变化。由此可知电阻箱的阻值与电压表示数间的关系式为________(用电阻箱阻值R、电流表示数I、电压表示数U和电压表内阻RV表示)。
(2)根据上面的关系式，我们建立图线，若该图线的斜率为k，与纵坐标截距的绝对值为b，则电压表的内阻RV＝________。
(3)为了使测量结果更加精确，实验中电流表应选用________，电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________(用前面的字母表示)。
答案 (1)＝－ (2)
(3)A1 R2 R02
解析 (1)由并联电路电流关系得：＋＝I，
则＝－。
(2)由上式知k＝I，b＝，则RV＝。
(3)电压表的满偏电流约为IV＝＝3 mA，所以电流表选A1更精确。通过电阻箱的最大电流为6 mA－3 mA＝3 mA，则最小阻值为＝1000 Ω，故选R2。滑动变阻器的最小阻值为R0＝＝≈167 Ω，故选R02。
热点二 等效替代法测电阻
1．电流等效替代
该方法的实验步骤如下：
(1)按如图电路图连接好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，滑动变阻器的滑片P置于a端。
(2)闭合开关S1、S2，调节滑片P，使电流表指针指在适当的位置，记下此时电流表的示数为I。
(3)断开开关S2，再闭合开关S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节电阻箱，使电流表的示数仍为I。
(4)此时电阻箱连入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，即Rx＝R0。
(5)电路可以是限流电路，根据实际情况也可以是分压电路。
(6)该实验也可以测电表内阻。
2．电压等效替代
该方法的实验步骤如下：
(1)按如图电路图连好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，滑动变阻器的滑片P置于a端。
(2)闭合开关S1、S2，调节滑片P，使电压表指针指在适当的位置，记下此时电压表的示数为U。
(3)断开S2，再闭合S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节电阻箱使电压表的示数仍为U。
(4)此时电阻箱连入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，即Rx＝R0。
(5)该实验常用于大电阻的测量，用分压式电路。
(6)该实验也可测电表内阻。
为了测定电流表的内阻，某同学采用如图1所示的实验电路。其中：
是待测电流表，量程为300 μA，内阻约为100 Ω
是标准电流表，量程为200 μA
R1是电阻箱，阻值范围为0～999.9 Ω
R2是滑动变阻器
R3是保护电阻
E是电池组，电动势为6 V，内阻不计
S1是单刀单掷开关，S2是单刀双掷开关
(1)①实验中滑动变阻器采用的是________(填“分压”或“限流”)接法。
②请根据图1所示电路的实物图在虚线框中画出实验电路图。
(2)请将该同学的操作补充完整：
①连接好电路，将滑动变阻器R2的滑片移到最________(填“左端”或“右端”)；将开关S2扳到接点a处，接通开关S1；调节滑动变阻器R2，使电流表的读数是150 μA。
②将开关S2扳到接点b处，______________________，使电流表的读数仍是150 μA。
③若此时电阻箱各旋钮的位置如图2所示，则待测电流表的内阻Rg＝________ Ω。
(3)上述实验中，无论怎样调节滑动变阻器R2的滑片位置，都要保证两只电流表的安全。在下面提供的四个电阻中，保护电阻R3应选用________(填写阻值前相应的字母)。
A．300 kΩ B．30 kΩ
C．15 kΩ D．150 kΩ
解析 (1)根据题图，滑动变阻器采用限流接法，实验电路图如图所示。
(2)连接好电路，闭合开关前须将滑动变阻器R2的滑片移到使R2接入电路的阻值最大处，即左端。将开关S2扳到接点b处，保持R2不变，调节电阻箱R1，使电流表的读数仍是150 μA。待测电流表的内阻等于电阻箱读数，即Rg＝8×10 Ω＋6×1 Ω＋3×0.1 Ω＝86.3 Ω。
(3)实验中，无论怎样调节滑动变阻器R2的滑片位置，都要保证两只电流表的安全，当R2＝0时，R3＝＝30 kΩ。故保护电阻R3应选用B。
答案 (1)①限流 ②图见解析
(2)①左端 ②保持R2不变，调节电阻箱R1 ③86.3
(3)B
方法感悟
等效替代法可以将复杂问题简单化，在物理中应用很多，以前学过的合运动与分运动的关系、合力与分力的关系等都属于等效替代关系。
1．电流表A1的量程为0～200 μA、内电阻约为500 Ω，现要测其内阻，除若干开关、导线之外还有器材如下：
电流表A2：与A1规格相同；
滑动变阻器R1：阻值0～20 Ω；
电阻箱R2：阻值0～9999 Ω；
保护电阻R3：阻值约为3 kΩ；
电源：电动势E约1.5 V、内电阻r约2 Ω。
(1)如图所示，某同学想用替代法测量电流表内阻，设计了部分测量电路，在此基础上请你将滑动变阻器接入电路中，使实验可以完成。
(2)电路补充完整后，请你完善以下测量电流表A1内电阻的实验步骤。
①先将滑动变阻器R1的滑动端移到使电路安全的位置，再把电阻箱R2的阻值调到________(填“最大”或“最小”)。
②闭合开关S1、S，调节滑动变阻器R1，使两电流表的指针在满偏附近，记录电流表A2的示数I。
③断开S1，保持S闭合、R1不变，再闭合S2，调节R2，使电流表A2的示数________，读出此时电阻箱的阻值R0，则电流表A1内电阻r＝________。
答案 (1)图见解析
(2)①最大 ③再次为I(或仍为I) R0
解析 (1)滑动变阻器的阻值远小于待测电流表内阻，因此必须采用分压接法，电路图如图所示。
(2)①实验前R2应该调节到最大，以保证电表安全；③替代法最简单的操作是让A2示数不变，则可直接从R2的读数得到电流表的内阻值。
2．电学实验中经常需要测量电阻的阻值：
(1)测电阻的方法有很多种，现在有一只标“220 V 40 W”的灯泡，它正常工作时的电阻为________ Ω。若用多用电表欧姆挡来测量这只灯泡的电阻，则测出的电阻值就________(填“大于”“等于”或“小于”)灯泡正常工作时的电阻值。
(2)用下列器材设计一个实验，测量该灯泡正常工作时的电阻值。
A．220 V交流电源
B．单刀双掷开关一只
C．电阻箱一只(0～999.9 Ω，额定电流0.5 A)
D．固定电阻一只(0.5 kΩ，额定电流0.3 A)
E．交流电流表一只(0～0.3 A)
请在虚线框内画出电路原理图。
答案 (1)1210 小于 (2)图见解析
解析 (1)正常工作时电压为额定电压，故有P＝，所以R＝＝1210 Ω；灯泡在正常工作时发热，灯丝电阻率增大，电阻增大，因而用欧姆挡测量时阻值应小于正常工作时的电阻值。
(2)应用替代法。因电阻箱的最大阻值小于灯泡正常工作电阻值，故应串联一固定电阻，电路原理图如图。
热点三 半偏法测(电表的)电阻
一、电流表半偏法
1．测量原理
测量电路如图所示。
(1)电阻箱R′未接入电路时，调节R的大小，使电流表满偏。
(2)闭合S2后，R大小不变，改变电阻箱R′的阻值，使电流表半偏。
(3)由于Ig很小，则R的阻值很大时，在开关S2闭合前后，电路中的总阻值变化很小，我们就认为不变，因此干路中的电流也不变。当电流表的指针半偏时，流过电阻箱R′的电流与流过电流表的电流相等，则Rg＝R′。
2．注意事项
(1)滑动变阻器R的阻值很大，在闭合S1前，其有效阻值应调至最大。
(2)电阻箱R′不能用滑动变阻器替代。
(3)测电流表的内阻时，在S2闭合后，不能再调节R，以保持电路中的总电流不变。
(4)测电流表的内阻时，必须确保R≫Rg。
3．误差分析
利用“半偏法”测出电流表的内阻Rg＝R′。事实上，在S2闭合后，电路结构已发生变化，导致电路中的总电阻R总减小，由闭合电路欧姆定律知，电路中的总电流增大，当流过电流表的电流为时，流过电阻箱R′的电流大于，故R′
二、电压表半偏法
1．实验步骤
(1)按如图连接实验电路；
(2)将R2的值调为零，闭合S，调节R1的滑动触头，使电压表读数等于其量程Um；
(3)保持R1的滑动触头不动，调节R2，使电压表读数等于Um，然后读出R2的值，若R1≪RV，则可认为RV＝R2。
2．误差分析
当R2的值由零逐渐增大时，R2与电压表两端的电压也将逐渐增大，因此电压表读数等于Um时，R2两端的电压将大于Um，使R2>RV，从而造成RV的测量值偏大。显然半偏电压法适于测量内阻较大的电压表的电阻。
3．拓展：本实验也可以用标准电压表并联在和R2两端，对进行校表。
注意：半偏法是测量电表电阻的常用方法，不过有时不一定需要使指针半偏，偏、偏等只要成比例就可以求解。
(2018·安徽巢湖模拟)在把电流表改装成电压表的实验中，需要利用如图所示的电路测量电流表的内阻，其主要操作步骤如下：
①闭合S1，调节R1，使电流表指针偏转到满刻度；
②再闭合S2，调节R2，使电流表指针偏转到满刻度的一半；
③读出R2的阻值，即可认为电流表的内阻rg＝R2。
现备有如下器材：
A．电流表(量程0～100 μA，内阻约为100 Ω)
B．电阻箱(范围0～9.9 Ω)
C．电阻箱(范围0～999.9 Ω)
D．电阻箱(范围0～99999 Ω)
E．电源(电动势3 V，内阻不计)
F．电源(电动势6 V，内阻不计)
G．开关和若干导线
(1)电路图中R1应选________，R2应选________，电源应选________。(填入所选器材前的字母)
(2)实验中读得R2的阻值为100 Ω，若将此电流表改装成量程为3 V的电压表，应________联一个阻值为________ Ω的电阻。
(3)若用此改装表去测量一稳恒电压，则测量值和真实值相比________。(填“偏大”或“偏小”)
解析 (1)根据半偏法测量电流表内阻原理，S2断开与闭合，近似认为干路中电流不变，前提是R1≫Rg。故实验器材选择应满足：①电源电动势尽可能大，②R1尽可能大。所以R1选用大量程的电阻箱D，R2选用量程跟电流表内阻差不多的即可，选C。为减小实验误差，电源应选择F。
(2)电流表改装成电压表要串联一个大电阻分压，U＝Ig(R2＋R)，代入数据解得R＝29900 Ω。
(3)当S2闭合时，R2和Rg并联，并联后总阻值R并
方法感悟
电表有着自己神奇的一面，那就是当它接入电路中时，可以显示自己的读数，因此我们便可以利用它自身读数的变化(如半偏)巧妙地测量出它的内阻。半偏法常用于测量电表的内阻。
1．(2016·全国卷Ⅱ)某同学利用图a所示电路测量量程为2.5 V的电压表的内阻(内阻为数千欧姆)，可供选择的器材有：电阻箱R(最大阻值99999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流电源E(电动势3 V)，开关1个，导线若干。
实验步骤如下：
①按电路原理图a连接线路；
②将电阻箱阻值调节为0，将滑动变阻器的滑片移到与图a中最左端所对应的位置，闭合开关S；
③调节滑动变阻器，使电压表满偏；
④保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱阻值，使电压表的示数为2.00 V，记下电阻箱的阻值。
回答下列问题：
(1)实验中应选择滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)。
(2)根据图a所示电路将图b中实物图连线。
(3)实验步骤④中记录的电阻箱阻值为630.0 Ω，若认为调节电阻箱时滑动变阻器上的分压不变。计算可得电压表的内阻为________Ω(结果保留到个位)。
(4)如果此电压表是由一个表头和电阻串联构成的，可推断该表头的满刻度电流为________(填正确答案标号)。
A．100 μA B．250 μA C．500 μA D．1 mA
答案 (1)R1 (2)如图所示 (3)2520 (4)D
解析 (1)在保证电路安全的前提下，分压式电路中的滑动变阻器应选用总阻值小的。
(2)见答案图。
(3)电压表示数为2.00 V，说明电阻箱分压为0.5 V，可知RV＝4R＝4×630.0 Ω＝2520 Ω。
(4)I满＝＝≈1 mA。
2．某同学在进行扩大电流表量程的实验时，需要知道电流表的满偏电流和内阻。他设计了一个用标准电流表G1来校对待测电流表G2的满偏电流和测定G2内阻的电路，如图所示。已知G1的量程略大于G2的量程，图中R1为滑动变阻器，R2为电阻箱。该同学顺利完成了这个实验。
(1)实验过程包含以下步骤，其合理的顺序依次为________(填步骤的字母代号)。
A．合上开关S2
B．分别将R1和R2的阻值调至最大
C．记下R2的最终读数
D．反复调节R1和R2的阻值，使G1的示数仍为I1，使G2的指针偏转到满刻度的一半，此时R2的最终读数为r
E．合上开关S1
F．调节R1使G2的指针偏转到满刻度，此时G1的示数为I1，记下此时G1的示数
(2)仅从实验设计原理上看，用上述方法得到的G2内阻的测量值与真实值相比________(填“偏大”“偏小”或“相等”)。
(3)若要将G2的量程扩大为I，并结合前述实验过程中测量的结果，写出须在G2上并联的分流电阻R分的表达式，R分＝________。
答案 (1)BEFADC (2)相等 (3)
解析 (1)实验首先要保证G1、G2不被烧坏，应先将R1、R2的阻值调至最大。实验中应先用G1测G2的满偏电流，然后用半偏法测G2的内阻，这就要求合上S2与断开S2两种情况下G1的示数I1为G2的满偏电流Ig2，当合上S2时，G2示数为＝，此时流过R2的电流也为，得R2＝Rg2＝r。综上所述可知步骤为BEFADC。
(2)这种方法测量的G2的内阻与真实值相等。
(3)扩大G2量程时原理如图所示，有(I－I1)R分＝I1r，解得R分＝。
热点四 电桥法测电阻
在电阻的测量方法中，有一种很独特的测量方法，那就是电桥法。其测量电路如图所示，实验中调节电阻箱R3，当A、B两点的电势相等时，R1和R3两端的电压相等，设为U1。同时R2和Rx两端的电压也相等，设为U2。根据欧姆定律有：＝，＝。由以上两式解得：R1×Rx＝R2×R3。这就是电桥平衡的条件，由该平衡条件也可求出被测电阻Rx的阻值。
(安徽高考)用如图所示的电路可以测量电阻的阻值。图中Rx是待测电阻，R0是定值电阻，是灵敏度很高的电流表，MN是一段均匀的电阻丝。闭合开关，改变滑动头P的位置，当通过电流表的电流为零时，测得MP＝l1，PN＝l2，则Rx的阻值为( )
A.R0 B.R0
C.R0 D.R0
解析 当灵敏电流表的电流为零时，有＝，可得Rx＝R0。
答案 C
方法感悟
电桥法的关键是在并联的两支路上找等势点，再利用同一支路串联电路电压和电阻成正比列方程。
(2017·全国卷Ⅱ)某同学利用如图a所示的电路测量一微安表(量程为100 μA，内阻大约为2500 Ω)的内阻。可使用的器材有：两个滑动变阻器R1、R2(其中一个阻值为20 Ω，另一个阻值为2000 Ω)；电阻箱Rz(最大阻值为99999.9 Ω)；电源E(电动势约为1.5 V)；单刀开关S1和S2。C、D分别为两个滑动变阻器的滑片。
(1)按原理图a将图b中的实物连线。
(2)完成下列填空：
①R1的阻值为________ Ω(填“20”或“2000”)。
②为了保护微安表，开始时将R1的滑片C滑到接近图a中滑动变阻器的________端(填“左”或“右”)对应的位置；将R2的滑片D置于中间位置附近。
③将电阻箱Rz的阻值置于2500.0 Ω，接通S1。将R1的滑片置于适当位置，再反复调节R2的滑片D的位置。最终使得接通S2前后，微安表的示数保持不变，这说明S2接通前B与D所在位置的电势________(填“相等”或“不相等”)。
④将电阻箱Rz和微安表位置对调，其他条件保持不变，发现将Rz的阻值置于2601.0 Ω时，在接通S2前后，微安表的示数也保持不变。待测微安表的内阻为________ Ω(结果保留到个位)。
(3)写出一条提高测量微安表内阻精度的建议：________________________________________。
答案 (1)图见解析 (2)①20 ②左 ③相等 ④2550
(3)调节R1上的分压，尽可能使微安表接近满量程
解析 (1)根据原理图a，将图b中的实物连线如图所示。
(2)①滑动变阻器R1在实验中为控制电路，且为分压接法，应选最大阻值小的滑动变阻器，故R1的阻值为20 Ω。
②为了保护微安表，S1闭合时，微安表上的电压为零，故开始时应将R1的滑片C滑到滑动变阻器的左端。
③接通S2前后，微安表的示数保持不变，说明S2闭合后，没有电流流过S2，故B、D两点的电势相等。
④实验过程中，与Rz互换前后的电路如图所示。
甲
乙
由于B、D两点的电势相等，对于图甲，I1RμA＝I2R′
I1Rz1＝I2R，即＝
对于图乙，I1′Rz2＝I2′R′，I1′RμA＝I2′R，即＝
所以＝
所以RμA＝＝ Ω＝2550 Ω。
(3)提高测微安表内阻的精度，可减小系统误差，如调节R1上的分压，尽可能使微安表接近满量程。
课后作业
1．(2018·江苏南京、盐城二模)有一只量程为0～3 V的电压表，内阻约为5～8 kΩ，某同学要精确地测量该电压表的内阻，设计的测量电路如图甲所示，其中R2为最大电阻9999 Ω的电阻箱，R1为滑动变阻器，电源电动势为4.5 V，内阻很小。实验步骤如下：
①按电路图连接电路；
②闭合开关S2；
③将滑动变阻器滑片调至最左端；
④闭合开关S1；
⑤调节滑动变阻器，使电压表满偏；
⑥断开开关S2，调节电阻箱，调至电压表半偏，并记下电阻箱的读数，并认为此时电阻箱的电阻为该电压表的内阻。
(1)乙图电阻箱的读数为________ kΩ。
(2)实验室中有两个滑动变阻器：A.最大阻值为20 Ω，标
定电流为1 A；B.最大阻值为10 kΩ，标定电流为1 A。为了能精确测量电压表内阻，实验中应选择滑动变阻器________(填变阻器前的字母代号)。
(3)实验中开关S2从闭合到断开(断开开关S2之前，电阻箱置于9999 Ω)，断开后A、B两点间的电压UAB____3 V(填“>”“<”或“＝”)。
(4)实验中由于电路设计所存在的实验误差(系统误差)，导致测量值________真实值(填“>”“<”或“＝”)。
答案 (1)7.5 (2)A (3)> (4)>
解析 (1)题图乙电阻箱的读数为7×1000 Ω＋5×100 Ω＋0×10 Ω＋0×0 Ω＝7500 Ω＝7.5 kΩ。
(2)为了使接入电阻箱后电路总电阻变化较小，需要选用最大阻值较小的滑动变阻器A。
(3)开关S2断开后，电路总电阻变大，由闭合电路欧姆定律知，干路电流减小，由UAB＝E－I(R1串＋r)知，UAB增大，故UAB>3 V。
(4)开关S2断开，电压表半偏时，UAB>3 V，故R2两端的电压大于1.5 V，由串联电路中电压与电阻成正比知，R2>RV，故测量值大于真实值。
2．如图所示是用半偏法测量电压表内阻的电路图。以下是备用仪器：
A．待测电压表(量程3 V，内阻约为1500 Ω)
B．电源E(电动势4 V，允许通过的最大电流为2 A，内阻很小)
C．电阻箱(最大阻值为999.9 Ω)
D．电阻箱(最大阻值为9999.9 Ω)
E．滑动变阻器(最大阻值为20 Ω，允许通过的最大电流为3 A)
F．滑动变阻器(最大阻值为2000 Ω，允许通过的最大电流为2 A)
G．开关两个，导线若干
(1)为保证测量的准确性，电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________。(填代号)
(2)完善下列实验步骤：
①闭合开关S2并将滑动变阻器的滑片调至最________(填“左”或“右”)端，然后闭合开关S1；
②调节滑动变阻器使电压表恰好满偏；
③____________________________，使电压表恰好指在中间刻度(半偏)，此时电阻箱的示数为R。那么，该电压表内阻的测量值为________。电压表内阻的测量值比真实值________(填“偏大”或“偏小”)。
(3)若把被测的电压表改装成量程为15 V的电压表，应该________(填“串联”或“并联”)一只阻值为________的定值电阻。
答案 (1)D E
(2)①左 ③断开开关S2，调节电阻箱的阻值 R 偏大
(3)串联 4R
解析 (1)在半偏法测电阻的实验中，电阻箱的阻值应比待测电压表的阻值大，故电阻箱应选用D，而滑动变阻器采用分压接法，为了调节方便，滑动变阻器选用最大阻值较小的E。
(2)在测量数据时，电压要从较小数值开始变化，因而滑动变阻器的滑片开始时应在最左端。由于采用半偏法测量，因而断开开关S2，调节电阻箱的阻值，使电压表恰好指在中间刻度，由串联电路知识可知，电压表的内阻的测量值为R，但开关S2断开，电压表与电阻箱所在支路的电阻增大，分压增大，而电压表示数为原来一半时，电阻箱分压要略大于一半，故电阻箱的阻值比电压表的内阻略大。
(3)电压表改装后的量程是15 V，电压表分压3 V，串联的定值电阻分压12 V，所以串联的定值电阻的阻值应该是电压表电阻的4倍，即为4R。
3. 为了测量一微安表头A的内阻，某同学设计了如图所示的电路。图中，A0是标准电流表，R0和RN分别是滑动变阻器和电阻箱，S和S1分别是单刀双掷开关和单刀开关，E是电池。完成下列实验步骤中的填空：
(1)将S拨向接点1，接通S1，调节________，使待测表头指针偏转到适当位置，记下此时________的读数I；
(2)然后将S拨向接点2，调节________，使__________，记下此时RN的读数；
(3)多次重复上述过程，计算RN读数的________，此即为待测微安表头内阻的测量值。
答案 (1)R0 标准电流表(或A0)
(2)RN 标准电流表(或A0)的读数仍为I (3)平均值
解析 先与被测电流表连接，调整变阻器R0并使电路有适当的电流，并记下此时电流值，然后与电阻箱连接，不改变变阻器的阻值，调整电阻箱使电路中的电流仍为I，则电阻箱的阻值就等于被测电流表的内阻。
4．(2018·全国卷Ⅲ)一课外实验小组用如图a所示的电路测量某待测电阻Rx的阻值，图中R0为标准定值电阻(R0＝20.0 Ω)；可视为理想电压表。S1为单刀开关，S2为单刀双掷开关，E为电源，R为滑动变阻器。采用如下步骤完成实验：
(1)按照实验原理线路图a，将图b中实物连线；
(2)将滑动变阻器滑动端置于适当位置，闭合S1；
(3)将开关S2掷于1端，改变滑动变阻器滑动端的位置，记下此时电压表的示数U1；然后将S2掷于2端，记下此时电压表的示数U2；
(4)待测电阻阻值的表达式Rx＝________(用R0、U1、U2表示)；
(5)重复步骤(3)，得到如下数据：
1
2
3
4
5
U1/V
0.25
0.30
0.36
0.40
0.44
U2/V
0.86
1.03
1.22
1.36
1.49
3.44
3.43
3.39
3.40
3.39
(6)利用上述5次测量所得的平均值，求得Rx＝________ Ω。(保留一位小数)
答案 (1)图见解析 (4)R0 (6)48.2
解析 开关S2掷于1端，由欧姆定律可得通过Rx的电流I＝，将开关S2掷于2端，R0和Rx串联电路电压为U2，Rx两端电压为U＝U2－U1，由欧姆定律可得待测电阻阻值Rx＝＝R0＝R0。5次测量所得的平均值为(3.44＋3.43＋3.39＋3.40＋3.39)＝3.41，故Rx＝R0＝(3.41－1)×20.0 Ω＝48.2 Ω。
5．(2018·唐山高三统考)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，电表均为理想电表。某研究性学习小组利用该电路研究了滑动变阻器RL消耗的电功率。该小组先通过控制开关和滑动变阻器测出了R的阻值。
(1)按电路图连接实物图。
(2)首先，断开开关S1、S2。滑动变阻器滑片放在________(选填“a”或“b”)端，然后闭合开关S1，调节滑片位置得到多组U、I数据，在U－I坐标系中画出图线。
(3)再闭合开关S2，调节滑片位置得到多组U、I数据，在U－I坐标系中画出另一条图线________(选填“Ⅰ”或“Ⅱ”)。
(4)根据图象数据计算出电阻R＝________ Ω。
答案 (1)如图所示 (2)a (3)Ⅱ (4)6
解析 (2)开关闭合前，滑动变阻器接入电路的电阻应最大，因此滑动变阻器的滑片应置于a端。
(3)将电源内阻与定值电阻等效为一个内阻较大的电源，则开关S2断开时电源的内阻应大于开关S2闭合时电源的内阻，UI图线斜率的大小表示电源电阻的大小，则图线Ⅱ应为开关S2闭合时的U－I图线。
(4)由(3)分析可知，开关S2断开时，图线Ⅰ斜率的绝对值为 Ω＝R＋R0＋r，开关S2闭合时，图线Ⅱ斜率的绝对值为 Ω＝R0＋r，则由以上两式可解得R＝6 Ω。
6．(2018·太原一模)某同学设计了如图甲所示电路同时测量电压表(量程为3 V，内阻约几千欧)和微安表(量程为300 μA，内阻约一千欧)的内阻。
(1)按实验原理图甲将图乙中的实物连接成实验电路。
(2)实验中，该同学进行了如下操作，完成下列问题：
①闭合K1，用伏安法测微安表内阻。为了测量更加准确，定值电阻R0应该选择的是________；
A．10 Ω B．100 Ω C．1 kΩ D．7.8 kΩ
②闭合K前，为保护电路不受损坏，图甲中滑动变阻器R的滑片应置于________端(选填“左”或“右”)；
③闭合K1后，调整滑动变阻器R，让电压表和微安表的示数尽可能大。测得电压表的示数为U1，微安表的示数为I1，定值电阻的阻值为R0，则微安表内阻表达式为________；
④断开K1，调节滑动变阻器和电阻箱，当电阻箱的读数为R1时，电压表的示数为U2，微安表的示数为I2，则电压表内阻表达式为________。
答案 (1)如图所示
(2)①D ②左 ③－R0 ④
解析 (1)根据电路图连接实物图。
(2)①为了测量准确，电压表、微安表指针应该尽量满偏，且不超量程，微安表满偏电压UμA＝IμARμA＝300 μA·1 kΩ＝0.3 V，为使电压表满偏，则R0＝－RμA＝9 kΩ，故D最合适。
②闭合K前，应使被测元件所加电压最小，故滑动变阻器滑片应滑到最左端。
③闭合K1，电阻R1被短路，所以电压表测得R0和微安表的总电压，所以微安表的阻值为－R0。
④断开K1，根据欧姆定律，(R1＋RV)＝I2(R0＋RμA)＝I2，可得电压表内阻为RV＝。
7．(2018·湖北四地七校联考)利用如图甲所示电路可以测量电流表G1的内阻。可供选择的器材如下：
①待测电流表G1：量程0～5 mA，内阻约300 Ω
②电流表G2：量程0～10 mA，内阻40 Ω
③定值电阻R1：阻值为10 Ω
④定值电阻R2：阻值为200 Ω
⑤滑动变阻器R3：阻值范围0～1000 Ω
⑥滑动变阻器R4：阻值范围0～20 Ω
⑦干电池E：电动势约为1.5 V，内阻很小可忽略
⑧开关S及导线若干
(1)定值电阻R0应选________，滑动变阻器R应选________。(在空格内填写仪器前面的序号)
(2)用笔画线代替导线，按图甲电路图在图乙中连接实物图。
(3)实验步骤如下：
①按电路图连接电路(为保证电路安全，先将滑动变阻器的滑片P调到最左端)；
②闭合开关S，移动滑片P至某一位置，记录G1和G2的读数，分别记为I1和I2；
③多次移动滑片P，记录各次G1和G2的读数I1和I2；
④以I1为纵坐标，I2为横坐标，作出相应图线，如图丙所示。
⑤根据I1I2图线的斜率k及定值电阻R0，得到待测电流表G1的内阻表达式为r1＝________。(用k、R0表示)
答案 (1)④ ⑥ (2)图见解析 (3)⑤R0
解析 (1)因为电流表G2的量程是待测电流表G1的2倍，所以定值电阻要选阻值和待测电流表内阻接近的；为方便操作，滑动变阻器选最大阻值较小的，故定值电阻选④，滑动变阻器选⑥。
(2)根据图甲所示电路图连接实物电路图，实物电路图如图所示。
(3)由电路图可知I2＝I1＋，I1＝I2，
则I1I2图象斜率k＝，r1＝R0。
第46讲 电阻测量的常用方法
热点概述 电阻测量是高考中的重点和难点，在历年电学实验考查中所占比例非常高，该实验涉及面广，综合性强，对考生创新设计的能力要求较高，本专题除讲述常用的伏安法外，又给出了等效替代法、半偏法、电桥法等思想方法。
热点一 伏安法测电阻(广义)
1．伏安法测电阻的原理：部分电路欧姆定律R＝。
2．两种控制电路和两种测量电路
(1)两种控制电路
图甲是限流式控制电路，图乙是分压式控制电路。
若变阻器阻值较小，一般设计为分压式；若变阻器阻值较大，一般设计为限流式，在二者都可行时，应先考虑限流式。
(2)两种测量电路
(3)若电流表或电压表量程不够可以对表进行改装或加保护电阻以防电流太大，下面是电表改装或替代的设计方案。
①内阻已知的电压表相当于小量程的电流表；
②内阻已知的电流表则相当于小量程的电压表；
③灵敏电流计串大电阻改装成电压表；
④灵敏电流计并小电阻改装成电流表；
⑤电阻箱与电流表串联相当于电压表；
⑥电阻箱与电压表并联相当于电流表；
⑦内阻较小的电源串联定值电阻相当于内阻较大的电源。
[例1] 用伏安法测定一个待测电阻Rx的阻值(阻值约为200 Ω)，实验室提供如下器材：
电池组E：电动势3 V，内阻不计；
电流表A1：量程0～15 mA，内阻约为100 Ω；
电流表A2：量程0～300 μA，内阻为1000 Ω；
滑动变阻器R1：阻值范围0～20 Ω，额定电流2 A；
电阻箱R2：阻值范围0～9999 Ω，额定电流1 A；
开关S、导线若干。
要求实验中尽可能准确地测量Rx的阻值，请回答下列问题：
(1)为了测量待测电阻两端的电压，可以将电流表________(填写器材代号)与电阻箱串联，并将电阻箱阻值调到________ Ω，这样可以改装成一个量程为3.0 V的电压表。
(2)在图1中画完整测量Rx阻值的电路图，并在图中标明器材代号。
(3)调节滑动变阻器R1，两表的示数如图所示，可读出电流表A1的示数是________ mA，电流表A2的示数是________ μA，测得待测电阻Rx的阻值是________。本次测量存在一定的系统误差，考虑这个原因测量值比真实值________(填“偏大”或“偏小”)。
解析 (1)为测量待测电阻两端的电压，可以把A2和R2串联起来改装成电压表，改装成的电压表量程为3 V，则电阻箱阻值R2＝－RA2＝ Ω－1000 Ω＝9000 Ω。
(3)由图2可知，电流表A1的示数为8.0 mA，电流表A2的示数是150 μA，待测电阻阻值为Rx＝＝ Ω＝187.5 Ω。
采用电流表外接法测量的电流值偏大，因此测量的电阻偏小。
答案 (1)A2 9000
(2)电路如图所示
(3)8.0 150 187.5 Ω 偏小
方法感悟
在实验中缺少合适的电压表或电流表时，可用内阻已知的电压表或电流表串联上或并联上定值电阻或电阻箱进行改装。
[例2] 某研究小组要测量电压表V1的内阻r1，要求方法简捷，有尽可能高的测量精度，并能测得多组数据，现提供如下器材：
A．电压表V1：量程3 V，内阻r1待测(约2000 Ω)
B．电压表V2：量程6 V，内阻r2＝4000 Ω
C．电压表V3：量程4 V，内阻r3＝10000 Ω
D．电流表A1：量程0.6 A，内阻r4＝0.05 Ω
E．滑动变阻器R0：总电阻约50 Ω
F．电源E：电动势15 V，内阻很小
G．开关S、导线若干
(1)请从所给器材中选出适当的器材，设计电路，在虚线框中画出电路图，标明所用器材的符号。
(2)根据所设计的电路图，写出待测电压表V1的内阻r1的表达式，即r1＝________，式中各符号的意义是________________________________________。
解析 (1)由待测电压表的量程和内阻分析可知，通过待测电压表的最大电流约为 A＝1.5×10－3 A，该电流远小于电流表的量程，因此电流表不能用，应将内阻已知的电压表用作电流表。如果选择电压表V3，当电压表V3达到满量程时，待测电压表的示数为0.8 V，偏转角度达不到满量程的三分之一，因此应选择电压表V2用作电流表。又由于滑动变阻器的阻值远小于待测电压表的内阻，则滑动变阻器用分压接法，电路设计如答图所示。
(2)由串联电路的特点以及欧姆定律可知，待测电压表的内阻应为r1＝＝r2，其中U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r2为电压表V2的内阻。
答案 (1)如图所示
(2)r2 U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r2为电压表V2的内阻
方法感悟
电路设计时的两个技巧
(1)电流表的灵活选用
已知内阻的电流表可做电压表使用，在缺少合适的电压表的情况下，常用电流表代替电压表使用。
(2)电压表的灵活选用
已知内阻的电压表可做电流表使用，在缺少合适的电流表的情况下，常用电压表代替电流表使用。
1．待测电阻Rx的阻值约为100 Ω，现要测量其阻值，实验室提供器材如下：
A．电流表A1(量程40 mA，内阻r1约为10 Ω)；
B．电流表A2(量程20 mA，内阻r2＝30 Ω)；
C．电压表V(量程15 V，内阻约为3000 Ω)；
D．定值电阻R0＝120 Ω；
E．滑动变阻器R(阻值范围0～5 Ω，允许最大电流1.0 A)；
F．电源(电动势E＝3 V，内阻不计)；
G．开关S及导线若干。
(1)为了使测量结果准确，以上器材不合适的是________。(用器材前对应的序号字母填写)
(2)利用其余的实验器材，设计测量Rx的最佳实验电路，将电路图画在虚线框内并标明元件符号。
(3)实验中需要测量的物理量有________________________，待测电阻的表达式Rx＝________。
答案 (1)C (2)电路图见解析图 (3)电流表A1的示数I1，电流表A2的示数I2
解析 (1)由于电压表量程为15 V，远大于电源的电动势，故电压表不可用。
(2)由于电压表不可用，故可以采用电流表A2与定值电阻R0串联作电压表测电压，用电流表A1测量电流，由于改装的电压表内阻已知，故电流表A1采用外接法，由于待测电阻阻值大于滑动变阻器最大阻值，为测多组实验数据，滑动变阻器应采用分压接法，电路图如图所示。
(3)待测电阻两端电压U＝I2(R0＋r2)，通过待测电阻的电流Ix＝I1－I2，待测电阻阻值：Rx＝＝，其中I1、I2分别为电流表A1和A2的示数。
2．(2018·南昌高三一模)为了测量量程为3 V，内阻约为1 kΩ的电压表的内阻值，某同学设计了如下实验，实验电路图如右图所示。可提供的实验仪器有：
A．电源：E＝4.0 V，内阻不计；
B．待测电压表：量程3 V，内阻约1 kΩ；
C．电流表：A1：量程6 mA；A2：量程0.6 A；
D．电阻箱R：R1最大阻值99.99 Ω；R2最大阻值9999.9 Ω；
E．滑动变阻器R0：R01最大阻值10 Ω；R02最大阻值1 kΩ。
(1)实验中保证电流表的示数不发生变化，调整电阻箱和滑动变阻器的阻值，使电压表的示数发生变化。由此可知电阻箱的阻值与电压表示数间的关系式为________(用电阻箱阻值R、电流表示数I、电压表示数U和电压表内阻RV表示)。
(2)根据上面的关系式，我们建立图线，若该图线的斜率为k，与纵坐标截距的绝对值为b，则电压表的内阻RV＝________。
(3)为了使测量结果更加精确，实验中电流表应选用________，电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________(用前面的字母表示)。
答案 (1)＝－ (2)
(3)A1 R2 R02
解析 (1)由并联电路电流关系得：＋＝I，
则＝－。
(2)由上式知k＝I，b＝，则RV＝。
(3)电压表的满偏电流约为IV＝＝3 mA，所以电流表选A1更精确。通过电阻箱的最大电流为6 mA－3 mA＝3 mA，则最小阻值为＝1000 Ω，故选R2。滑动变阻器的最小阻值为R0＝＝≈167 Ω，故选R02。
热点二 等效替代法测电阻
1．电流等效替代
该方法的实验步骤如下：
(1)按如图电路图连接好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，滑动变阻器的滑片P置于a端。
(2)闭合开关S1、S2，调节滑片P，使电流表指针指在适当的位置，记下此时电流表的示数为I。
(3)断开开关S2，再闭合开关S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节电阻箱，使电流表的示数仍为I。
(4)此时电阻箱连入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，即Rx＝R0。
(5)电路可以是限流电路，根据实际情况也可以是分压电路。
(6)该实验也可以测电表内阻。
2．电压等效替代
该方法的实验步骤如下：
(1)按如图电路图连好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，滑动变阻器的滑片P置于a端。
(2)闭合开关S1、S2，调节滑片P，使电压表指针指在适当的位置，记下此时电压表的示数为U。
(3)断开S2，再闭合S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节电阻箱使电压表的示数仍为U。
(4)此时电阻箱连入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，即Rx＝R0。
(5)该实验常用于大电阻的测量，用分压式电路。
(6)该实验也可测电表内阻。
为了测定电流表的内阻，某同学采用如图1所示的实验电路。其中：
是待测电流表，量程为300 μA，内阻约为100 Ω
是标准电流表，量程为200 μA
R1是电阻箱，阻值范围为0～999.9 Ω
R2是滑动变阻器
R3是保护电阻
E是电池组，电动势为6 V，内阻不计
S1是单刀单掷开关，S2是单刀双掷开关
(1)①实验中滑动变阻器采用的是________(填“分压”或“限流”)接法。
②请根据图1所示电路的实物图在虚线框中画出实验电路图。
(2)请将该同学的操作补充完整：
①连接好电路，将滑动变阻器R2的滑片移到最________(填“左端”或“右端”)；将开关S2扳到接点a处，接通开关S1；调节滑动变阻器R2，使电流表的读数是150 μA。
②将开关S2扳到接点b处，______________________，使电流表的读数仍是150 μA。
③若此时电阻箱各旋钮的位置如图2所示，则待测电流表的内阻Rg＝________ Ω。
(3)上述实验中，无论怎样调节滑动变阻器R2的滑片位置，都要保证两只电流表的安全。在下面提供的四个电阻中，保护电阻R3应选用________(填写阻值前相应的字母)。
A．300 kΩ B．30 kΩ
C．15 kΩ D．150 kΩ
解析 (1)根据题图，滑动变阻器采用限流接法，实验电路图如图所示。
(2)连接好电路，闭合开关前须将滑动变阻器R2的滑片移到使R2接入电路的阻值最大处，即左端。将开关S2扳到接点b处，保持R2不变，调节电阻箱R1，使电流表的读数仍是150 μA。待测电流表的内阻等于电阻箱读数，即Rg＝8×10 Ω＋6×1 Ω＋3×0.1 Ω＝86.3 Ω。
(3)实验中，无论怎样调节滑动变阻器R2的滑片位置，都要保证两只电流表的安全，当R2＝0时，R3＝＝30 kΩ。故保护电阻R3应选用B。
答案 (1)①限流 ②图见解析
(2)①左端 ②保持R2不变，调节电阻箱R1 ③86.3
(3)B
方法感悟
等效替代法可以将复杂问题简单化，在物理中应用很多，以前学过的合运动与分运动的关系、合力与分力的关系等都属于等效替代关系。
1．电流表A1的量程为0～200 μA、内电阻约为500 Ω，现要测其内阻，除若干开关、导线之外还有器材如下：
电流表A2：与A1规格相同；
滑动变阻器R1：阻值0～20 Ω；
电阻箱R2：阻值0～9999 Ω；
保护电阻R3：阻值约为3 kΩ；
电源：电动势E约1.5 V、内电阻r约2 Ω。
(1)如图所示，某同学想用替代法测量电流表内阻，设计了部分测量电路，在此基础上请你将滑动变阻器接入电路中，使实验可以完成。
(2)电路补充完整后，请你完善以下测量电流表A1内电阻的实验步骤。
①先将滑动变阻器R1的滑动端移到使电路安全的位置，再把电阻箱R2的阻值调到________(填“最大”或“最小”)。
②闭合开关S1、S，调节滑动变阻器R1，使两电流表的指针在满偏附近，记录电流表A2的示数I。
③断开S1，保持S闭合、R1不变，再闭合S2，调节R2，使电流表A2的示数________，读出此时电阻箱的阻值R0，则电流表A1内电阻r＝________。
答案 (1)图见解析
(2)①最大 ③再次为I(或仍为I) R0
解析 (1)滑动变阻器的阻值远小于待测电流表内阻，因此必须采用分压接法，电路图如图所示。
(2)①实验前R2应该调节到最大，以保证电表安全；③替代法最简单的操作是让A2示数不变，则可直接从R2的读数得到电流表的内阻值。
2．电学实验中经常需要测量电阻的阻值：
(1)测电阻的方法有很多种，现在有一只标“220 V 40 W”的灯泡，它正常工作时的电阻为________ Ω。若用多用电表欧姆挡来测量这只灯泡的电阻，则测出的电阻值就________(填“大于”“等于”或“小于”)灯泡正常工作时的电阻值。
(2)用下列器材设计一个实验，测量该灯泡正常工作时的电阻值。
A．220 V交流电源
B．单刀双掷开关一只
C．电阻箱一只(0～999.9 Ω，额定电流0.5 A)
D．固定电阻一只(0.5 kΩ，额定电流0.3 A)
E．交流电流表一只(0～0.3 A)
请在虚线框内画出电路原理图。
答案 (1)1210 小于 (2)图见解析
解析 (1)正常工作时电压为额定电压，故有P＝，所以R＝＝1210 Ω；灯泡在正常工作时发热，灯丝电阻率增大，电阻增大，因而用欧姆挡测量时阻值应小于正常工作时的电阻值。
(2)应用替代法。因电阻箱的最大阻值小于灯泡正常工作电阻值，故应串联一固定电阻，电路原理图如图。
热点三 半偏法测(电表的)电阻
一、电流表半偏法
1．测量原理
测量电路如图所示。
(1)电阻箱R′未接入电路时，调节R的大小，使电流表满偏。
(2)闭合S2后，R大小不变，改变电阻箱R′的阻值，使电流表半偏。
(3)由于Ig很小，则R的阻值很大时，在开关S2闭合前后，电路中的总阻值变化很小，我们就认为不变，因此干路中的电流也不变。当电流表的指针半偏时，流过电阻箱R′的电流与流过电流表的电流相等，则Rg＝R′。
2．注意事项
(1)滑动变阻器R的阻值很大，在闭合S1前，其有效阻值应调至最大。
(2)电阻箱R′不能用滑动变阻器替代。
(3)测电流表的内阻时，在S2闭合后，不能再调节R，以保持电路中的总电流不变。
(4)测电流表的内阻时，必须确保R≫Rg。
3．误差分析
利用“半偏法”测出电流表的内阻Rg＝R′。事实上，在S2闭合后，电路结构已发生变化，导致电路中的总电阻R总减小，由闭合电路欧姆定律知，电路中的总电流增大，当流过电流表的电流为时，流过电阻箱R′的电流大于，故R′
二、电压表半偏法
1．实验步骤
(1)按如图连接实验电路；
(2)将R2的值调为零，闭合S，调节R1的滑动触头，使电压表读数等于其量程Um；
(3)保持R1的滑动触头不动，调节R2，使电压表读数等于Um，然后读出R2的值，若R1≪RV，则可认为RV＝R2。
2．误差分析
当R2的值由零逐渐增大时，R2与电压表两端的电压也将逐渐增大，因此电压表读数等于Um时，R2两端的电压将大于Um，使R2>RV，从而造成RV的测量值偏大。显然半偏电压法适于测量内阻较大的电压表的电阻。
3．拓展：本实验也可以用标准电压表并联在和R2两端，对进行校表。
注意：半偏法是测量电表电阻的常用方法，不过有时不一定需要使指针半偏，偏、偏等只要成比例就可以求解。
(2018·安徽巢湖模拟)在把电流表改装成电压表的实验中，需要利用如图所示的电路测量电流表的内阻，其主要操作步骤如下：
①闭合S1，调节R1，使电流表指针偏转到满刻度；
②再闭合S2，调节R2，使电流表指针偏转到满刻度的一半；
③读出R2的阻值，即可认为电流表的内阻rg＝R2。
现备有如下器材：
A．电流表(量程0～100 μA，内阻约为100 Ω)
B．电阻箱(范围0～9.9 Ω)
C．电阻箱(范围0～999.9 Ω)
D．电阻箱(范围0～99999 Ω)
E．电源(电动势3 V，内阻不计)
F．电源(电动势6 V，内阻不计)
G．开关和若干导线
(1)电路图中R1应选________，R2应选________，电源应选________。(填入所选器材前的字母)
(2)实验中读得R2的阻值为100 Ω，若将此电流表改装成量程为3 V的电压表，应________联一个阻值为________ Ω的电阻。
(3)若用此改装表去测量一稳恒电压，则测量值和真实值相比________。(填“偏大”或“偏小”)
解析 (1)根据半偏法测量电流表内阻原理，S2断开与闭合，近似认为干路中电流不变，前提是R1≫Rg。故实验器材选择应满足：①电源电动势尽可能大，②R1尽可能大。所以R1选用大量程的电阻箱D，R2选用量程跟电流表内阻差不多的即可，选C。为减小实验误差，电源应选择F。
(2)电流表改装成电压表要串联一个大电阻分压，U＝Ig(R2＋R)，代入数据解得R＝29900 Ω。
(3)当S2闭合时，R2和Rg并联，并联后总阻值R并
方法感悟
电表有着自己神奇的一面，那就是当它接入电路中时，可以显示自己的读数，因此我们便可以利用它自身读数的变化(如半偏)巧妙地测量出它的内阻。半偏法常用于测量电表的内阻。
1．(2016·全国卷Ⅱ)某同学利用图a所示电路测量量程为2.5 V的电压表的内阻(内阻为数千欧姆)，可供选择的器材有：电阻箱R(最大阻值99999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流电源E(电动势3 V)，开关1个，导线若干。
实验步骤如下：
①按电路原理图a连接线路；
②将电阻箱阻值调节为0，将滑动变阻器的滑片移到与图a中最左端所对应的位置，闭合开关S；
③调节滑动变阻器，使电压表满偏；
④保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱阻值，使电压表的示数为2.00 V，记下电阻箱的阻值。
回答下列问题：
(1)实验中应选择滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)。
(2)根据图a所示电路将图b中实物图连线。
(3)实验步骤④中记录的电阻箱阻值为630.0 Ω，若认为调节电阻箱时滑动变阻器上的分压不变。计算可得电压表的内阻为________Ω(结果保留到个位)。
(4)如果此电压表是由一个表头和电阻串联构成的，可推断该表头的满刻度电流为________(填正确答案标号)。
A．100 μA B．250 μA C．500 μA D．1 mA
答案 (1)R1 (2)如图所示 (3)2520 (4)D
解析 (1)在保证电路安全的前提下，分压式电路中的滑动变阻器应选用总阻值小的。
(2)见答案图。
(3)电压表示数为2.00 V，说明电阻箱分压为0.5 V，可知RV＝4R＝4×630.0 Ω＝2520 Ω。
(4)I满＝＝≈1 mA。
2．某同学在进行扩大电流表量程的实验时，需要知道电流表的满偏电流和内阻。他设计了一个用标准电流表G1来校对待测电流表G2的满偏电流和测定G2内阻的电路，如图所示。已知G1的量程略大于G2的量程，图中R1为滑动变阻器，R2为电阻箱。该同学顺利完成了这个实验。
(1)实验过程包含以下步骤，其合理的顺序依次为________(填步骤的字母代号)。
A．合上开关S2
B．分别将R1和R2的阻值调至最大
C．记下R2的最终读数
D．反复调节R1和R2的阻值，使G1的示数仍为I1，使G2的指针偏转到满刻度的一半，此时R2的最终读数为r
E．合上开关S1
F．调节R1使G2的指针偏转到满刻度，此时G1的示数为I1，记下此时G1的示数
(2)仅从实验设计原理上看，用上述方法得到的G2内阻的测量值与真实值相比________(填“偏大”“偏小”或“相等”)。
(3)若要将G2的量程扩大为I，并结合前述实验过程中测量的结果，写出须在G2上并联的分流电阻R分的表达式，R分＝________。
答案 (1)BEFADC (2)相等 (3)
解析 (1)实验首先要保证G1、G2不被烧坏，应先将R1、R2的阻值调至最大。实验中应先用G1测G2的满偏电流，然后用半偏法测G2的内阻，这就要求合上S2与断开S2两种情况下G1的示数I1为G2的满偏电流Ig2，当合上S2时，G2示数为＝，此时流过R2的电流也为，得R2＝Rg2＝r。综上所述可知步骤为BEFADC。
(2)这种方法测量的G2的内阻与真实值相等。
(3)扩大G2量程时原理如图所示，有(I－I1)R分＝I1r，解得R分＝。
热点四 电桥法测电阻
在电阻的测量方法中，有一种很独特的测量方法，那就是电桥法。其测量电路如图所示，实验中调节电阻箱R3，当A、B两点的电势相等时，R1和R3两端的电压相等，设为U1。同时R2和Rx两端的电压也相等，设为U2。根据欧姆定律有：＝，＝。由以上两式解得：R1×Rx＝R2×R3。这就是电桥平衡的条件，由该平衡条件也可求出被测电阻Rx的阻值。
(安徽高考)用如图所示的电路可以测量电阻的阻值。图中Rx是待测电阻，R0是定值电阻，是灵敏度很高的电流表，MN是一段均匀的电阻丝。闭合开关，改变滑动头P的位置，当通过电流表的电流为零时，测得MP＝l1，PN＝l2，则Rx的阻值为( )
A.R0 B.R0
C.R0 D.R0
解析 当灵敏电流表的电流为零时，有＝，可得Rx＝R0。
答案 C
方法感悟
电桥法的关键是在并联的两支路上找等势点，再利用同一支路串联电路电压和电阻成正比列方程。
(2017·全国卷Ⅱ)某同学利用如图a所示的电路测量一微安表(量程为100 μA，内阻大约为2500 Ω)的内阻。可使用的器材有：两个滑动变阻器R1、R2(其中一个阻值为20 Ω，另一个阻值为2000 Ω)；电阻箱Rz(最大阻值为99999.9 Ω)；电源E(电动势约为1.5 V)；单刀开关S1和S2。C、D分别为两个滑动变阻器的滑片。
(1)按原理图a将图b中的实物连线。
(2)完成下列填空：
①R1的阻值为________ Ω(填“20”或“2000”)。
②为了保护微安表，开始时将R1的滑片C滑到接近图a中滑动变阻器的________端(填“左”或“右”)对应的位置；将R2的滑片D置于中间位置附近。
③将电阻箱Rz的阻值置于2500.0 Ω，接通S1。将R1的滑片置于适当位置，再反复调节R2的滑片D的位置。最终使得接通S2前后，微安表的示数保持不变，这说明S2接通前B与D所在位置的电势________(填“相等”或“不相等”)。
④将电阻箱Rz和微安表位置对调，其他条件保持不变，发现将Rz的阻值置于2601.0 Ω时，在接通S2前后，微安表的示数也保持不变。待测微安表的内阻为________ Ω(结果保留到个位)。
(3)写出一条提高测量微安表内阻精度的建议：________________________________________。
答案 (1)图见解析 (2)①20 ②左 ③相等 ④2550
(3)调节R1上的分压，尽可能使微安表接近满量程
解析 (1)根据原理图a，将图b中的实物连线如图所示。
(2)①滑动变阻器R1在实验中为控制电路，且为分压接法，应选最大阻值小的滑动变阻器，故R1的阻值为20 Ω。
②为了保护微安表，S1闭合时，微安表上的电压为零，故开始时应将R1的滑片C滑到滑动变阻器的左端。
③接通S2前后，微安表的示数保持不变，说明S2闭合后，没有电流流过S2，故B、D两点的电势相等。
④实验过程中，与Rz互换前后的电路如图所示。
甲
乙
由于B、D两点的电势相等，对于图甲，I1RμA＝I2R′
I1Rz1＝I2R，即＝
对于图乙，I1′Rz2＝I2′R′，I1′RμA＝I2′R，即＝
所以＝
所以RμA＝＝ Ω＝2550 Ω。
(3)提高测微安表内阻的精度，可减小系统误差，如调节R1上的分压，尽可能使微安表接近满量程。
课后作业
1．(2018·江苏南京、盐城二模)有一只量程为0～3 V的电压表，内阻约为5～8 kΩ，某同学要精确地测量该电压表的内阻，设计的测量电路如图甲所示，其中R2为最大电阻9999 Ω的电阻箱，R1为滑动变阻器，电源电动势为4.5 V，内阻很小。实验步骤如下：
①按电路图连接电路；
②闭合开关S2；
③将滑动变阻器滑片调至最左端；
④闭合开关S1；
⑤调节滑动变阻器，使电压表满偏；
⑥断开开关S2，调节电阻箱，调至电压表半偏，并记下电阻箱的读数，并认为此时电阻箱的电阻为该电压表的内阻。
(1)乙图电阻箱的读数为________ kΩ。
(2)实验室中有两个滑动变阻器：A.最大阻值为20 Ω，标
定电流为1 A；B.最大阻值为10 kΩ，标定电流为1 A。为了能精确测量电压表内阻，实验中应选择滑动变阻器________(填变阻器前的字母代号)。
(3)实验中开关S2从闭合到断开(断开开关S2之前，电阻箱置于9999 Ω)，断开后A、B两点间的电压UAB____3 V(填“>”“<”或“＝”)。
(4)实验中由于电路设计所存在的实验误差(系统误差)，导致测量值________真实值(填“>”“<”或“＝”)。
答案 (1)7.5 (2)A (3)> (4)>
解析 (1)题图乙电阻箱的读数为7×1000 Ω＋5×100 Ω＋0×10 Ω＋0×0 Ω＝7500 Ω＝7.5 kΩ。
(2)为了使接入电阻箱后电路总电阻变化较小，需要选用最大阻值较小的滑动变阻器A。
(3)开关S2断开后，电路总电阻变大，由闭合电路欧姆定律知，干路电流减小，由UAB＝E－I(R1串＋r)知，UAB增大，故UAB>3 V。
(4)开关S2断开，电压表半偏时，UAB>3 V，故R2两端的电压大于1.5 V，由串联电路中电压与电阻成正比知，R2>RV，故测量值大于真实值。
2．如图所示是用半偏法测量电压表内阻的电路图。以下是备用仪器：
A．待测电压表(量程3 V，内阻约为1500 Ω)
B．电源E(电动势4 V，允许通过的最大电流为2 A，内阻很小)
C．电阻箱(最大阻值为999.9 Ω)
D．电阻箱(最大阻值为9999.9 Ω)
E．滑动变阻器(最大阻值为20 Ω，允许通过的最大电流为3 A)
F．滑动变阻器(最大阻值为2000 Ω，允许通过的最大电流为2 A)
G．开关两个，导线若干
(1)为保证测量的准确性，电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________。(填代号)
(2)完善下列实验步骤：
①闭合开关S2并将滑动变阻器的滑片调至最________(填“左”或“右”)端，然后闭合开关S1；
②调节滑动变阻器使电压表恰好满偏；
③____________________________，使电压表恰好指在中间刻度(半偏)，此时电阻箱的示数为R。那么，该电压表内阻的测量值为________。电压表内阻的测量值比真实值________(填“偏大”或“偏小”)。
(3)若把被测的电压表改装成量程为15 V的电压表，应该________(填“串联”或“并联”)一只阻值为________的定值电阻。
答案 (1)D E
(2)①左 ③断开开关S2，调节电阻箱的阻值 R 偏大
(3)串联 4R
解析 (1)在半偏法测电阻的实验中，电阻箱的阻值应比待测电压表的阻值大，故电阻箱应选用D，而滑动变阻器采用分压接法，为了调节方便，滑动变阻器选用最大阻值较小的E。
(2)在测量数据时，电压要从较小数值开始变化，因而滑动变阻器的滑片开始时应在最左端。由于采用半偏法测量，因而断开开关S2，调节电阻箱的阻值，使电压表恰好指在中间刻度，由串联电路知识可知，电压表的内阻的测量值为R，但开关S2断开，电压表与电阻箱所在支路的电阻增大，分压增大，而电压表示数为原来一半时，电阻箱分压要略大于一半，故电阻箱的阻值比电压表的内阻略大。
(3)电压表改装后的量程是15 V，电压表分压3 V，串联的定值电阻分压12 V，所以串联的定值电阻的阻值应该是电压表电阻的4倍，即为4R。
3. 为了测量一微安表头A的内阻，某同学设计了如图所示的电路。图中，A0是标准电流表，R0和RN分别是滑动变阻器和电阻箱，S和S1分别是单刀双掷开关和单刀开关，E是电池。完成下列实验步骤中的填空：
(1)将S拨向接点1，接通S1，调节________，使待测表头指针偏转到适当位置，记下此时________的读数I；
(2)然后将S拨向接点2，调节________，使__________，记下此时RN的读数；
(3)多次重复上述过程，计算RN读数的________，此即为待测微安表头内阻的测量值。
答案 (1)R0 标准电流表(或A0)
(2)RN 标准电流表(或A0)的读数仍为I (3)平均值
解析 先与被测电流表连接，调整变阻器R0并使电路有适当的电流，并记下此时电流值，然后与电阻箱连接，不改变变阻器的阻值，调整电阻箱使电路中的电流仍为I，则电阻箱的阻值就等于被测电流表的内阻。
4．(2018·全国卷Ⅲ)一课外实验小组用如图a所示的电路测量某待测电阻Rx的阻值，图中R0为标准定值电阻(R0＝20.0 Ω)；可视为理想电压表。S1为单刀开关，S2为单刀双掷开关，E为电源，R为滑动变阻器。采用如下步骤完成实验：
(1)按照实验原理线路图a，将图b中实物连线；
(2)将滑动变阻器滑动端置于适当位置，闭合S1；
(3)将开关S2掷于1端，改变滑动变阻器滑动端的位置，记下此时电压表的示数U1；然后将S2掷于2端，记下此时电压表的示数U2；
(4)待测电阻阻值的表达式Rx＝________(用R0、U1、U2表示)；
(5)重复步骤(3)，得到如下数据：
1
2
3
4
5
U1/V
0.25
0.30
0.36
0.40
0.44
U2/V
0.86
1.03
1.22
1.36
1.49
3.44
3.43
3.39
3.40
3.39
(6)利用上述5次测量所得的平均值，求得Rx＝________ Ω。(保留一位小数)
答案 (1)图见解析 (4)R0 (6)48.2
解析 开关S2掷于1端，由欧姆定律可得通过Rx的电流I＝，将开关S2掷于2端，R0和Rx串联电路电压为U2，Rx两端电压为U＝U2－U1，由欧姆定律可得待测电阻阻值Rx＝＝R0＝R0。5次测量所得的平均值为(3.44＋3.43＋3.39＋3.40＋3.39)＝3.41，故Rx＝R0＝(3.41－1)×20.0 Ω＝48.2 Ω。
5．(2018·唐山高三统考)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，电表均为理想电表。某研究性学习小组利用该电路研究了滑动变阻器RL消耗的电功率。该小组先通过控制开关和滑动变阻器测出了R的阻值。
(1)按电路图连接实物图。
(2)首先，断开开关S1、S2。滑动变阻器滑片放在________(选填“a”或“b”)端，然后闭合开关S1，调节滑片位置得到多组U、I数据，在U－I坐标系中画出图线。
(3)再闭合开关S2，调节滑片位置得到多组U、I数据，在U－I坐标系中画出另一条图线________(选填“Ⅰ”或“Ⅱ”)。
(4)根据图象数据计算出电阻R＝________ Ω。
答案 (1)如图所示 (2)a (3)Ⅱ (4)6
解析 (2)开关闭合前，滑动变阻器接入电路的电阻应最大，因此滑动变阻器的滑片应置于a端。
(3)将电源内阻与定值电阻等效为一个内阻较大的电源，则开关S2断开时电源的内阻应大于开关S2闭合时电源的内阻，UI图线斜率的大小表示电源电阻的大小，则图线Ⅱ应为开关S2闭合时的U－I图线。
(4)由(3)分析可知，开关S2断开时，图线Ⅰ斜率的绝对值为 Ω＝R＋R0＋r，开关S2闭合时，图线Ⅱ斜率的绝对值为 Ω＝R0＋r，则由以上两式可解得R＝6 Ω。
6．(2018·太原一模)某同学设计了如图甲所示电路同时测量电压表(量程为3 V，内阻约几千欧)和微安表(量程为300 μA，内阻约一千欧)的内阻。
(1)按实验原理图甲将图乙中的实物连接成实验电路。
(2)实验中，该同学进行了如下操作，完成下列问题：
①闭合K1，用伏安法测微安表内阻。为了测量更加准确，定值电阻R0应该选择的是________；
A．10 Ω B．100 Ω C．1 kΩ D．7.8 kΩ
②闭合K前，为保护电路不受损坏，图甲中滑动变阻器R的滑片应置于________端(选填“左”或“右”)；
③闭合K1后，调整滑动变阻器R，让电压表和微安表的示数尽可能大。测得电压表的示数为U1，微安表的示数为I1，定值电阻的阻值为R0，则微安表内阻表达式为________；
④断开K1，调节滑动变阻器和电阻箱，当电阻箱的读数为R1时，电压表的示数为U2，微安表的示数为I2，则电压表内阻表达式为________。
答案 (1)如图所示
(2)①D ②左 ③－R0 ④
解析 (1)根据电路图连接实物图。
(2)①为了测量准确，电压表、微安表指针应该尽量满偏，且不超量程，微安表满偏电压UμA＝IμARμA＝300 μA·1 kΩ＝0.3 V，为使电压表满偏，则R0＝－RμA＝9 kΩ，故D最合适。
②闭合K前，应使被测元件所加电压最小，故滑动变阻器滑片应滑到最左端。
③闭合K1，电阻R1被短路，所以电压表测得R0和微安表的总电压，所以微安表的阻值为－R0。
④断开K1，根据欧姆定律，(R1＋RV)＝I2(R0＋RμA)＝I2，可得电压表内阻为RV＝。
7．(2018·湖北四地七校联考)利用如图甲所示电路可以测量电流表G1的内阻。可供选择的器材如下：
①待测电流表G1：量程0～5 mA，内阻约300 Ω
②电流表G2：量程0～10 mA，内阻40 Ω
③定值电阻R1：阻值为10 Ω
④定值电阻R2：阻值为200 Ω
⑤滑动变阻器R3：阻值范围0～1000 Ω
⑥滑动变阻器R4：阻值范围0～20 Ω
⑦干电池E：电动势约为1.5 V，内阻很小可忽略
⑧开关S及导线若干
(1)定值电阻R0应选________，滑动变阻器R应选________。(在空格内填写仪器前面的序号)
(2)用笔画线代替导线，按图甲电路图在图乙中连接实物图。
(3)实验步骤如下：
①按电路图连接电路(为保证电路安全，先将滑动变阻器的滑片P调到最左端)；
②闭合开关S，移动滑片P至某一位置，记录G1和G2的读数，分别记为I1和I2；
③多次移动滑片P，记录各次G1和G2的读数I1和I2；
④以I1为纵坐标，I2为横坐标，作出相应图线，如图丙所示。
⑤根据I1I2图线的斜率k及定值电阻R0，得到待测电流表G1的内阻表达式为r1＝________。(用k、R0表示)
答案 (1)④ ⑥ (2)图见解析 (3)⑤R0
解析 (1)因为电流表G2的量程是待测电流表G1的2倍，所以定值电阻要选阻值和待测电流表内阻接近的；为方便操作，滑动变阻器选最大阻值较小的，故定值电阻选④，滑动变阻器选⑥。
(2)根据图甲所示电路图连接实物电路图，实物电路图如图所示。
(3)由电路图可知I2＝I1＋，I1＝I2，
则I1I2图象斜率k＝，r1＝R0。
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