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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第十章 算法、统计与统计案例10.1
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§10.1 算法与程序框图
最新考纲
考情考向分析
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
主要考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力，题型主要以选择、填空题为主，考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件，难度为中低档.
1.程序框图
(1)通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法.这种图称做程序框图(简称框图).
(2)基本的程序框图有起、止框、输入、输出框、处理框、判断框、流程线等图形符号和连接线构成.
2.三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件分支结构
循环结构
定义
最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行
依据指定条件选择执行不同指令的控制结构
根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构
程序框图
3.基本算法语句
(1)赋值语句
①概念：用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.
②一般格式：变量名＝表达式.
③作用：计算出赋值号右边表达式的值，把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
(2)输入语句
①概念：用来控制输入结构的语句.
②一般格式：变量名＝input.
③作用：把程序和初始数据分开.
(3)输出语句
①概念：用来控制把求解结果在屏幕上显示(或打印)的语句.
②一般格式：print(%io(2)，表达式).
③作用：将结果在屏幕上输出.
(4)条件语句
①处理条件分支逻辑结构的算法语句.
②条件语句的格式及框图.
a.if语句最简单的格式及对应的框图
b.if语句的一般格式及对应的框图
(5)循环语句
①算法中的循环结构是由循环语句来实现的.
②循环语句的格式及框图.
a.for语句
b.while语句
概念方法微思考
1.三种基本结构的共同点是什么？
提示 三种基本结构的共同点即只有一个入口和一个出口，每一个基本结构的每一部分都有机会被执行到，而且结构内不存在死循环.
2.赋值语句“变量＝表达式”中，左右能否交换？
提示 赋值语句左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y，因为后者表示用Y的值替代变量x原先的值.
3.条件分支结构能否同时执行“是”分支和“否”分支？
提示 不能.条件分支结构无论判断条件是否成立，只能执行“是”分支或“否”分支之一，不可能同时执行，也不可能都不执行.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用.( × )
(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.( × )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.( × )
(4)条件分支结构中判断框的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的.( √ )
(5)5＝x是赋值语句.( × )
(6)输入语句可以同时给多个变量赋值.( √ )
题组二 教材改编
2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 D
解析 按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin ＝.
3.如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填 .
答案 x<0
解析 输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.
题组三 易错自纠
4.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于( )
A.7 B.12 C.17 D.34
答案 C
解析 由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.
5.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A.s≤ B.s≤ C.s≤ D.s≤
答案 C
解析 由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填“s≤”.
6.运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是[0,10]，则输入的x值的范围是 .
答案 [－7,9]
解析 该程序的功能是计算分段函数的值，
y＝
当x<－1时，由0≤3－x≤10可得－7≤x<－1；
当－1≤x≤1时，0≤x2≤10恒成立；
当x>1时，由0≤x＋1≤10可得1
题型一 顺序结构和条件分支结构
命题点1 顺序结构
例1 阅读如图所示程序框图.若输入x为3，则输出的y的值为( )
A.24 B.25 C.30 D.40
答案 D
命题点2 条件分支结构
例2 如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 当x≤2时，令y＝x2＝x⇒x(x－1)＝0，
解得x＝0或x＝1；
当2
综上可得，这样的x的值有3个.
思维升华 应用顺序结构与条件分支结构的注意点
(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
(2)条件分支结构：利用条件分支结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.
跟踪训练1 (1)阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别为14,6,20，则输出的a，b，c的值分别是 .
答案 20,14,6
(2)执行如图所示的程序框图，若输出y＝－，则输入的θ等于( )
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 对于A，当θ＝时，y＝sin θ＝sin ＝，
则输出y＝，不合题意；
对于B，当θ＝－时，y＝sin θ＝sin＝－，
则输出y＝－，不合题意；
对于C，当θ＝时，y＝tan θ＝tan ＝，
则输出y＝，不合题意；
对于D，当θ＝－时，y＝tan θ＝tan＝－，
则输出y＝－，符合题意.
题型二 循环结构
命题点1 由程序框图求输出结果
例3 (2017·全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
解析 当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；
当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；
当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；
当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环.
故选B.
命题点2 完善程序框图
例4 (2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A.A>1 000和n＝n＋1 B.A>1 000和n＝n＋2
C.A≤1 000和n＝n＋1 D.A≤1 000和n＝n＋2
答案 D
解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以▭内填入“n＝n＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n，所以◇内填入“A≤1 000”.故选D.
命题点3 辨析程序框图的功能
例5 (2018·大连联考)如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A.A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.为a1，a2，…，aN的算术平均数
C.A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
答案 C
解析 不妨令N＝3，a1
k＝2，x＝a2，A＝a2；
k＝3，x＝a3，A＝a3，
故输出A＝a3，B＝a1，故选C.
思维升华 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.
(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
跟踪训练2 (1)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A.0,0 B.1,1
C.0,1 D.1,0
答案 D
解析 当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4<7＝x.
又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9>7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.
当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4<9＝x.
又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.
∴输出a＝0.
故选D.
(2)如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是( )
A.n＝n＋2，i>16 B.n＝n＋2，i≥16
C.n＝n＋1，i>16 D.n＝n＋1，i≥16
答案 A
解析 式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列.
由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项.
1.古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物.算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36.”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为( )
A.32 B.29 C.27 D.21
答案 D
解析 由题意可得a＝6，b＝12，h＝3，
可得A＝3×(6×6＋12×12＋6×12)＝756，
V＝＝21.
故程序输出V的值为21.
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A.4 B.9 C.16 D.21
答案 B
解析 模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0；
执行循环体，S＝1，n＝3；
不满足条件n>6，执行循环体，S＝4，n＝5；
不满足条件n>6，执行循环体，S＝9，n＝7；
此时，满足条件n>6，退出循环，输出S的值为9.
3.运行如图所示的程序框图，若输出的s的值为－21，则判断框中可以填( )
A.a<64 B.a≤64 C.a<128 D.a≤128
答案 A
解析 运行程序如下：a＝1，s＝0，s＝1，a＝－2，s＝1－2，a＝4，s＝1－2＋4，a＝－8，s＝1－2＋4－8，a＝16，
S＝1－2＋4－8＋16，a＝－32，s＝1－2＋4－8＋16－32＝－21，a＝64.
4.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为x＝1⇒x＝，i＝2⇒x＝，i＝3⇒x＝，i＝4，结束循环，输出结果x＝，故选B.
5.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出茎叶图(图1)，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图(图2)，用Ai(i＝1,2，…，10)表示第i个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是( )
A.B＝B＋Ai B.B＝B＋A
C.B＝(B＋Ai－A)2 D.B＝B2＋A
答案 B
解析 由s2＝
＝
＝
＝－2，
循环退出时i＝11，知2＝2.
∴B＝A＋A＋…＋A，
故程序框图①中要补充的语句是B＝B＋A.
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡2(mod 4).现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于( )
A.13 B.11 C.15 D.8
答案 A
解析 ①n＝9,9≡0(mod 3)，
②n＝10,10≡1(mod 3)，10≡0(mod 5)，
③n＝11,11≡2(mod 3)，
④n＝12,12≡0(mod 3)，
⑤n＝13,13≡1(mod 3)，13≡3(mod 5)，
所以输出n的值为13，故选A.
7.如图所示，程序框图的功能是( )
A.求的前10项和
B.求的前10项和
C.求的前11项和
D.求的前11项和
答案 B
解析 运行程序如下：
S＝0＋，n＝4，k＝2，S＝0＋＋，n＝6，k＝3，…，
S＝0＋＋＋…＋，n＝22，k＝11，
所以该程序求得是的前10项和.
8.如图1，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面.设移完n片金片总共需要的次数为an，可推得an＋1＝2an＋1.如图2是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是( )
A.1 022 B.1 023
C.1 024 D.1 025
答案 B
解析 记n个金属片从2号针移动到3号针最少需要an次；
则根据算法思想有：S＝1；
第一次循环，S＝3；
第二次循环，S＝7；
第三次循环，S＝15，
…，
第九次循环S＝1 023，S>1 000，输出S＝1 023，故选B.
9.运行如图所示的框图对应的程序，输出的结果为________.
答案
解析 第一次循环：S＝9>1，S＝1，k＝2，
第二次循环：S＝，k＝4，
第三次循环：S＝，k＝8，
第四次循环：S＝1，k＝16，
第五次循环：S＝，k＝32，
第六次循环：S＝，k＝64，
第七次循环：S＝1，k＝128，
第八次循环：S＝，k＝256，
第九次循环：S＝，k＝512，
第十次循环：S＝1，k＝1 024，
第十一次循环：S＝，k＝2 048>2 019，输出S＝.
10.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 .
答案 3
解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a
11.执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是 .
答案 k≤7
解析 首次进入循环体，S＝1×log23，k＝3；
第二次进入循环体，S＝×＝2，k＝4；依次循环，
第六次进入循环体，S＝3，k＝8，
此时结束循环，则判断框内填k≤7.
12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851).阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝ .
答案 495
解析 取a1＝815，则b1＝851－158＝693≠815，
则a2＝693；
由a2＝693知b2＝963－369＝594≠693，则a3＝594；
由a3＝594知b3＝954－459＝495≠594，则a4＝495；
由a4＝495知b4＝954－459＝495＝a4，则输出b＝495.
13.(2018·大连模拟)关于函数f(x)＝ 的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是 .
答案 [0,1]
解析 由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1,1]时满足.然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1].
14.(2018·沈阳质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解.其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为 .
答案 4
解析 由得y＝25－x，
故x必为4的倍数，
当x＝4t时，y＝25－7t，
由y＝25－7t>0得，t的最大值为3，
故判断框应填入的是t<4，
即m＝4.
15.执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为 .
答案 4
解析 当条件x≥0，y≥0，x＋y≤2不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤2成立时S＝2x＋y，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(2,0)时S最大，其最大值为2×2＋0＝4，故输出S的最大值为4.
16.已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.程序框图如图所示，若输出的结果S>，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是 .(填序号)
①n≤2 019 ②n≤2 018
③n>2 019 ④n>2 018
答案 ①
解析 由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0，
得a＝，∴f′(x)＝x2＋x，
即g(x)＝＝＝－.
由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)
＝0＋1－＋－＋…＋－＝1－，
由1－>，得n>2 018.
故可填入①.
最新考纲
考情考向分析
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
主要考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力，题型主要以选择、填空题为主，考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件，难度为中低档.
1.程序框图
(1)通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法.这种图称做程序框图(简称框图).
(2)基本的程序框图有起、止框、输入、输出框、处理框、判断框、流程线等图形符号和连接线构成.
2.三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构
条件分支结构
循环结构
定义
最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行
依据指定条件选择执行不同指令的控制结构
根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构
程序框图
3.基本算法语句
(1)赋值语句
①概念：用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.
②一般格式：变量名＝表达式.
③作用：计算出赋值号右边表达式的值，把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
(2)输入语句
①概念：用来控制输入结构的语句.
②一般格式：变量名＝input.
③作用：把程序和初始数据分开.
(3)输出语句
①概念：用来控制把求解结果在屏幕上显示(或打印)的语句.
②一般格式：print(%io(2)，表达式).
③作用：将结果在屏幕上输出.
(4)条件语句
①处理条件分支逻辑结构的算法语句.
②条件语句的格式及框图.
a.if语句最简单的格式及对应的框图
b.if语句的一般格式及对应的框图
(5)循环语句
①算法中的循环结构是由循环语句来实现的.
②循环语句的格式及框图.
a.for语句
b.while语句
概念方法微思考
1.三种基本结构的共同点是什么？
提示 三种基本结构的共同点即只有一个入口和一个出口，每一个基本结构的每一部分都有机会被执行到，而且结构内不存在死循环.
2.赋值语句“变量＝表达式”中，左右能否交换？
提示 赋值语句左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y，因为后者表示用Y的值替代变量x原先的值.
3.条件分支结构能否同时执行“是”分支和“否”分支？
提示 不能.条件分支结构无论判断条件是否成立，只能执行“是”分支或“否”分支之一，不可能同时执行，也不可能都不执行.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用.( × )
(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.( × )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.( × )
(4)条件分支结构中判断框的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的.( √ )
(5)5＝x是赋值语句.( × )
(6)输入语句可以同时给多个变量赋值.( √ )
题组二 教材改编
2.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A.－ B.
C.－ D.
答案 D
解析 按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin ＝.
3.如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填 .
答案 x<0
解析 输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.
题组三 易错自纠
4.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于( )
A.7 B.12 C.17 D.34
答案 C
解析 由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.
5.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A.s≤ B.s≤ C.s≤ D.s≤
答案 C
解析 由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填“s≤”.
6.运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是[0,10]，则输入的x值的范围是 .
答案 [－7,9]
解析 该程序的功能是计算分段函数的值，
y＝
当x<－1时，由0≤3－x≤10可得－7≤x<－1；
当－1≤x≤1时，0≤x2≤10恒成立；
当x>1时，由0≤x＋1≤10可得1
题型一 顺序结构和条件分支结构
命题点1 顺序结构
例1 阅读如图所示程序框图.若输入x为3，则输出的y的值为( )
A.24 B.25 C.30 D.40
答案 D
命题点2 条件分支结构
例2 如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 当x≤2时，令y＝x2＝x⇒x(x－1)＝0，
解得x＝0或x＝1；
当2
综上可得，这样的x的值有3个.
思维升华 应用顺序结构与条件分支结构的注意点
(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
(2)条件分支结构：利用条件分支结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.
跟踪训练1 (1)阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别为14,6,20，则输出的a，b，c的值分别是 .
答案 20,14,6
(2)执行如图所示的程序框图，若输出y＝－，则输入的θ等于( )
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 对于A，当θ＝时，y＝sin θ＝sin ＝，
则输出y＝，不合题意；
对于B，当θ＝－时，y＝sin θ＝sin＝－，
则输出y＝－，不合题意；
对于C，当θ＝时，y＝tan θ＝tan ＝，
则输出y＝，不合题意；
对于D，当θ＝－时，y＝tan θ＝tan＝－，
则输出y＝－，符合题意.
题型二 循环结构
命题点1 由程序框图求输出结果
例3 (2017·全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
解析 当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；
当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；
当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；
当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环.
故选B.
命题点2 完善程序框图
例4 (2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A.A>1 000和n＝n＋1 B.A>1 000和n＝n＋2
C.A≤1 000和n＝n＋1 D.A≤1 000和n＝n＋2
答案 D
解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以▭内填入“n＝n＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n，所以◇内填入“A≤1 000”.故选D.
命题点3 辨析程序框图的功能
例5 (2018·大连联考)如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A.A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.为a1，a2，…，aN的算术平均数
C.A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
答案 C
解析 不妨令N＝3，a1
k＝2，x＝a2，A＝a2；
k＝3，x＝a3，A＝a3，
故输出A＝a3，B＝a1，故选C.
思维升华 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.
(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
跟踪训练2 (1)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A.0,0 B.1,1
C.0,1 D.1,0
答案 D
解析 当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4<7＝x.
又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9>7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.
当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4<9＝x.
又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.
此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.
∴输出a＝0.
故选D.
(2)如图是计算1＋＋＋…＋的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是( )
A.n＝n＋2，i>16 B.n＝n＋2，i≥16
C.n＝n＋1，i>16 D.n＝n＋1，i≥16
答案 A
解析 式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列.
由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项.
1.古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物.算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36.”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为( )
A.32 B.29 C.27 D.21
答案 D
解析 由题意可得a＝6，b＝12，h＝3，
可得A＝3×(6×6＋12×12＋6×12)＝756，
V＝＝21.
故程序输出V的值为21.
2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A.4 B.9 C.16 D.21
答案 B
解析 模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0；
执行循环体，S＝1，n＝3；
不满足条件n>6，执行循环体，S＝4，n＝5；
不满足条件n>6，执行循环体，S＝9，n＝7；
此时，满足条件n>6，退出循环，输出S的值为9.
3.运行如图所示的程序框图，若输出的s的值为－21，则判断框中可以填( )
A.a<64 B.a≤64 C.a<128 D.a≤128
答案 A
解析 运行程序如下：a＝1，s＝0，s＝1，a＝－2，s＝1－2，a＝4，s＝1－2＋4，a＝－8，s＝1－2＋4－8，a＝16，
S＝1－2＋4－8＋16，a＝－32，s＝1－2＋4－8＋16－32＝－21，a＝64.
4.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为x＝1⇒x＝，i＝2⇒x＝，i＝3⇒x＝，i＝4，结束循环，输出结果x＝，故选B.
5.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出茎叶图(图1)，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图(图2)，用Ai(i＝1,2，…，10)表示第i个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是( )
A.B＝B＋Ai B.B＝B＋A
C.B＝(B＋Ai－A)2 D.B＝B2＋A
答案 B
解析 由s2＝
＝
＝
＝－2，
循环退出时i＝11，知2＝2.
∴B＝A＋A＋…＋A，
故程序框图①中要补充的语句是B＝B＋A.
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡2(mod 4).现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于( )
A.13 B.11 C.15 D.8
答案 A
解析 ①n＝9,9≡0(mod 3)，
②n＝10,10≡1(mod 3)，10≡0(mod 5)，
③n＝11,11≡2(mod 3)，
④n＝12,12≡0(mod 3)，
⑤n＝13,13≡1(mod 3)，13≡3(mod 5)，
所以输出n的值为13，故选A.
7.如图所示，程序框图的功能是( )
A.求的前10项和
B.求的前10项和
C.求的前11项和
D.求的前11项和
答案 B
解析 运行程序如下：
S＝0＋，n＝4，k＝2，S＝0＋＋，n＝6，k＝3，…，
S＝0＋＋＋…＋，n＝22，k＝11，
所以该程序求得是的前10项和.
8.如图1，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面.设移完n片金片总共需要的次数为an，可推得an＋1＝2an＋1.如图2是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是( )
A.1 022 B.1 023
C.1 024 D.1 025
答案 B
解析 记n个金属片从2号针移动到3号针最少需要an次；
则根据算法思想有：S＝1；
第一次循环，S＝3；
第二次循环，S＝7；
第三次循环，S＝15，
…，
第九次循环S＝1 023，S>1 000，输出S＝1 023，故选B.
9.运行如图所示的框图对应的程序，输出的结果为________.
答案
解析 第一次循环：S＝9>1，S＝1，k＝2，
第二次循环：S＝，k＝4，
第三次循环：S＝，k＝8，
第四次循环：S＝1，k＝16，
第五次循环：S＝，k＝32，
第六次循环：S＝，k＝64，
第七次循环：S＝1，k＝128，
第八次循环：S＝，k＝256，
第九次循环：S＝，k＝512，
第十次循环：S＝1，k＝1 024，
第十一次循环：S＝，k＝2 048>2 019，输出S＝.
10.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 .
答案 3
解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a
11.执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是 .
答案 k≤7
解析 首次进入循环体，S＝1×log23，k＝3；
第二次进入循环体，S＝×＝2，k＝4；依次循环，
第六次进入循环体，S＝3，k＝8，
此时结束循环，则判断框内填k≤7.
12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851).阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝ .
答案 495
解析 取a1＝815，则b1＝851－158＝693≠815，
则a2＝693；
由a2＝693知b2＝963－369＝594≠693，则a3＝594；
由a3＝594知b3＝954－459＝495≠594，则a4＝495；
由a4＝495知b4＝954－459＝495＝a4，则输出b＝495.
13.(2018·大连模拟)关于函数f(x)＝ 的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是 .
答案 [0,1]
解析 由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1,1]时满足.然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1].
14.(2018·沈阳质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解.其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为 .
答案 4
解析 由得y＝25－x，
故x必为4的倍数，
当x＝4t时，y＝25－7t，
由y＝25－7t>0得，t的最大值为3，
故判断框应填入的是t<4，
即m＝4.
15.执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为 .
答案 4
解析 当条件x≥0，y≥0，x＋y≤2不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤2成立时S＝2x＋y，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(2,0)时S最大，其最大值为2×2＋0＝4，故输出S的最大值为4.
16.已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.程序框图如图所示，若输出的结果S>，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是 .(填序号)
①n≤2 019 ②n≤2 018
③n>2 019 ④n>2 018
答案 ①
解析 由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0，
得a＝，∴f′(x)＝x2＋x，
即g(x)＝＝＝－.
由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)
＝0＋1－＋－＋…＋－＝1－，
由1－>，得n>2 018.
故可填入①.
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