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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何高考专题突破五第1课时
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高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.
解 (1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝＝k2，
则－＋m2＝0.
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)
＝16(4k2－m2＋1)>0，得0
设原点O到直线的距离为d，
则S△OMN＝|MN|d
＝··|x1－x2|·
＝|m|＝.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝.
因为x＋＝1(－1≤x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A.2 B.
C.4 D.2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，
可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
解 (1)设M(x，y)，∵＝，
∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，
∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，∴2＋y2＝1，
即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，
故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴＝1，即m2＝t2＋1，①
由
消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，
其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②
∴|AB|＝
＝，
将①②代入上式得
|AB|＝ ＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1＝·
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为1.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
跟踪训练2 (2018·锦州模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①
将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－， ②
由①②得m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，
则t2∈.
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立，
此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，解得－
2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.5
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).
3.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋
＝＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－1
4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥a2，所以≤e<1，故选A.
5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 由题意可得F，设P(y0>0)，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
答案 B
解析 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又A，B在抛物线上，所以y1＝，y2＝.
因为y′＝，
则过点A，B的切线分别为y－＝(x－x1)，y－＝(x－x2)均过点P(x0，－1)，
则－1－＝(x0－x1)，－1－＝(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－＝(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，
即b＝1，|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·，
O到直线AB的距离d＝，
则S△AOB＝|AB|d＝≥2，
即△AOB的面积的最小值为2，故选B.
7.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________.
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.
8.(2018·沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.
答案 (0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵1
∴0<≤3，故0<≤.
∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，].
9.(2018·赤峰模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________.
答案
解析 由题意，得△ABF2的周长为32，
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，
∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，
∴＝32－4a，∴b＝(0
＝ ，
令m＝，则＝，
当m＝－＝，即a＝，b＝时，的最大值为 ＝.
10.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.
答案
解析 由题意得，直线l的斜率不为0，所以令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，
又＝≤，
故≤3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的二倍，则内切圆半径r＝≤，其面积最大值为.
11.已知曲线C：y2＝4x，曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)若·＝－4，求证：直线l恒过定点；
(2)若直线l与曲线M相切，求·(点P坐标为(1,0))的取值范围.
(1)证明 由已知得直线l的斜率不为0，
可设l：x＝my＋n，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.
∴x1＋x2＝4m2＋2n，x1·x2＝n2.
∴由·＝－4可得，
x1·x2＋y1·y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2.
∴l：x＝my＋2，
∴直线l恒过定点(2,0).
(2)解 直线l与曲线M相切，M(1,0)，显然n≥3.
∴＝2，整理得4m2＝n2－2n－3.①
由(1)及①可得，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝n2－4m2－2n＋1－4n
＝n2－4m2－6n＋1＝4－4n，
∴·≤－8，
即·的取值范围是(－∞，－8].
12.(2018·南昌测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：y＝x＋m，记g(m)＝S，求f(m)＝g(m)－m3＋4m－3的最大值.
解 (1)顶点坐标为B1(0，)，b2＝2，＝，
椭圆方程为＋＝1.
(2)联立lAB与椭圆方程
整理得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝48－8m2>0，即m2<6，
又直线AB不过点P，得m≠.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
|x1－x2|＝，
设点P到直线AB的距离为d，
g(m)＝d2|AB|2＝··2·
＝，
f(m)＝
＝·2m2≤·2＝(当且仅当m2＝时取等号)，
所以f(m)max＝，
此时m＝ ±∈∪.
13.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A.θ∈ B.θ＝
C.θ∈ D.θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝.故选B.
14.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________.
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
由题意得左焦点F(－1,0)，
∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，
∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A.[4,5] B.[7,8] C.[6,7] D.[5,6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.
16.(2018·南昌测试)已知P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)与抛物线E：y2＝2px(p>0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.
(1)求椭圆C及抛物线E的方程；
(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
解 (1)∵P是抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x，F(1,0)，
∴a2－b2＝1.
又∵P在椭圆C：＋＝1上，
∴＋＝1，结合a2－b2＝1知b2＝3(舍负)，a2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).
①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8.
②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－(x－1)，
由
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由弦长公式知|AB|＝|x1－x2|
＝
＝.
同理可得|CD|＝4(k2＋1).
∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|
＝··4(k2＋1)
＝.
令t＝k2＋1，t∈(1，＋∞)，
则S四边形ACBD＝＝＝，
当t∈(1，＋∞)时，∈(0,1)，
－2＋4<3，S四边形ACBD>＝8.
综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.
解 (1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝＝k2，
则－＋m2＝0.
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)
＝16(4k2－m2＋1)>0，得0
设原点O到直线的距离为d，
则S△OMN＝|MN|d
＝··|x1－x2|·
＝|m|＝.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
(1)证明 设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴.
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝.
因为x＋＝1(－1≤x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A.2 B.
C.4 D.2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，
可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
解 (1)设M(x，y)，∵＝，
∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，
∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，∴2＋y2＝1，
即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，
故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴＝1，即m2＝t2＋1，①
由
消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，
其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②
∴|AB|＝
＝，
将①②代入上式得
|AB|＝ ＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1＝·
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为1.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
跟踪训练2 (2018·锦州模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①
将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－， ②
由①②得m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，
则t2∈.
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立，
此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，解得－
2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.5
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).
3.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋
＝＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－1
4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥a2，所以≤e<1，故选A.
5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 由题意可得F，设P(y0>0)，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
答案 B
解析 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又A，B在抛物线上，所以y1＝，y2＝.
因为y′＝，
则过点A，B的切线分别为y－＝(x－x1)，y－＝(x－x2)均过点P(x0，－1)，
则－1－＝(x0－x1)，－1－＝(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－＝(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，
即b＝1，|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·，
O到直线AB的距离d＝，
则S△AOB＝|AB|d＝≥2，
即△AOB的面积的最小值为2，故选B.
7.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________.
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.
8.(2018·沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.
答案 (0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵1
∴0<≤3，故0<≤.
∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，].
9.(2018·赤峰模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________.
答案
解析 由题意，得△ABF2的周长为32，
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，
∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，
∴＝32－4a，∴b＝(0
＝ ，
令m＝，则＝，
当m＝－＝，即a＝，b＝时，的最大值为 ＝.
10.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.
答案
解析 由题意得，直线l的斜率不为0，所以令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，
又＝≤，
故≤3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的二倍，则内切圆半径r＝≤，其面积最大值为.
11.已知曲线C：y2＝4x，曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)若·＝－4，求证：直线l恒过定点；
(2)若直线l与曲线M相切，求·(点P坐标为(1,0))的取值范围.
(1)证明 由已知得直线l的斜率不为0，
可设l：x＝my＋n，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.
∴x1＋x2＝4m2＋2n，x1·x2＝n2.
∴由·＝－4可得，
x1·x2＋y1·y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2.
∴l：x＝my＋2，
∴直线l恒过定点(2,0).
(2)解 直线l与曲线M相切，M(1,0)，显然n≥3.
∴＝2，整理得4m2＝n2－2n－3.①
由(1)及①可得，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝n2－4m2－2n＋1－4n
＝n2－4m2－6n＋1＝4－4n，
∴·≤－8，
即·的取值范围是(－∞，－8].
12.(2018·南昌测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：y＝x＋m，记g(m)＝S，求f(m)＝g(m)－m3＋4m－3的最大值.
解 (1)顶点坐标为B1(0，)，b2＝2，＝，
椭圆方程为＋＝1.
(2)联立lAB与椭圆方程
整理得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝48－8m2>0，即m2<6，
又直线AB不过点P，得m≠.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
|x1－x2|＝，
设点P到直线AB的距离为d，
g(m)＝d2|AB|2＝··2·
＝，
f(m)＝
＝·2m2≤·2＝(当且仅当m2＝时取等号)，
所以f(m)max＝，
此时m＝ ±∈∪.
13.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A.θ∈ B.θ＝
C.θ∈ D.θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝.故选B.
14.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________.
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
由题意得左焦点F(－1,0)，
∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，
∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A.[4,5] B.[7,8] C.[6,7] D.[5,6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.
16.(2018·南昌测试)已知P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)与抛物线E：y2＝2px(p>0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.
(1)求椭圆C及抛物线E的方程；
(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
解 (1)∵P是抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x，F(1,0)，
∴a2－b2＝1.
又∵P在椭圆C：＋＝1上，
∴＋＝1，结合a2－b2＝1知b2＝3(舍负)，a2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).
①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8.
②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－(x－1)，
由
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由弦长公式知|AB|＝|x1－x2|
＝
＝.
同理可得|CD|＝4(k2＋1).
∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|
＝··4(k2＋1)
＝.
令t＝k2＋1，t∈(1，＋∞)，
则S四边形ACBD＝＝＝，
当t∈(1，＋∞)时，∈(0,1)，
－2＋4<3，S四边形ACBD>＝8.
综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.
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