2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第十二章　概率、随机变量及其分布12.3

§12.3　离散型随机变量的分布列及期望、方差
最新考纲
考情考向分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．
2.了解超几何分布，并能进行简单应用．
3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.



1．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：
若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0_(i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布
如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q

其中0 (2)超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
4．离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差．
5．期望与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
概念方法微思考
1．随机变量和函数有何联系和区别？
提示　区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；
联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．
2．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？
提示　代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．
3．如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？
提示　可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．
4．随机变量的期望、方差与样本期望、方差的关系是怎样的？
提示　随机变量的期望、方差是一个常数，样本期望、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的期望、方差趋于随机变量的期望与方差．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)
(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)
(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(5)随机变量的期望是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　√　)
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离期望的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)
题组二　教材改编
2．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
3．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P




设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
答案　A
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．
答案　0,1,2,3
解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.
题组三　易错自纠
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．
答案　
解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝＝.


题型一　分布列的求法
例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．
解　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)方法一　他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝×＋×＝.
方法二　由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.
(2)X的所有可能值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(1 2)
＝×＋×＝，
P(X＝3)＝P(A12 3)＋P(1A2A3)
＝×2＋×2＝，
P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A23 4)
＝3×＋3×＝，
P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4)
＝2×2＋2×2＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P





思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P




题型二　期望与方差
例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P



∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P




∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
思维升华 离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的期望与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．
(2)由已知期望或方差求参数值．可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断．
跟踪训练2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ)，方差D(ξ)．
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝.
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P






E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
题型三　超几何分布
例3　(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X)．
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






所以X的期望
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
思维升华 (1)超几何分布的两个特点
①超几何分布是不放回抽样问题；
②随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的应用条件
①两类不同的物品(或人、事)；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体．
跟踪训练3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(微克/立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P






离散型随机变量的期望与方差问题
例 (12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
规范解答
解　(1)设顾客所获的奖励额为X.
①依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.[2分]
②依题意，得X的所有可能取值为20,60.
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，
故X的分布列为
X
20
60
P


[4分]
所以顾客所获的奖励额的期望为
E(X)＝20×＋60×＝40.[5分]
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，
所以，先寻找期望为60的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，
因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；
如果选择(50,50,50,10)的方案，
因为60元是面值之和的最小值，
所以期望也不可能为60元；
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，
同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，
所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析．
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，
设顾客所获的奖励额为X1，
则X1的分布列为
X1
20
60
100
P



[7分]
X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.[9分]
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，
设顾客所获的奖励额为X2，
则X2的分布列为
X2
40
60
80
P



[10分]
X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]

求离散型随机变量的期望和方差问题的一般步骤
第一步：确定随机变量的所有可能取值；
第二步：求每一个可能取值所对应的概率；
第三步：列出离散型随机变量的分布列；
第四步：求期望和方差；
第五步：根据期望、方差进行判断，并得出结论(适用于期望、方差的应用问题)；
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范性．


1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P



则X的期望E(X)等于(　　)
A．2 B．2或 C. D．1
答案　C
解析　由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，
所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
2．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)等于(　　)
X
1
2
3
4
P


m

A. B. C. D.
答案　C
解析　由＋＋m＋＝1，得m＝，
所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C.
3．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X，则X≥8的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，X的取值为6,9,12，
又P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，
所以X≥8的概率为＋＝，故选C.
4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，分布列为
ξ




1
P
a
2a
3a
4a
5a

由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
所以P＝P＋P＋
P＝＋＋＝.故选C.
5．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝，所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
6．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P

2－3q
q2
则q等于(　　)
A．1 B.±
C.－ D.＋
答案　C
解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0 7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为______________________．
答案　
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
解析　X的取值为3,4,5.
又P(X＝3)＝＝0.1，P(X＝4)＝＝0.3，
P(X＝5)＝＝0.6.
所以X的分布列为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
8.随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案　　
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
9．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为______________________．
答案　
η
0
1
2
P




解析　∵η的所有可能值为0,1,2.
P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝.
∴η的分布列为
η
0
1
2
P




10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192例
8例

则估计该公司一年后可获收益的期望是________元．
答案　4 760
解析　由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．
11．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及期望．

解　(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
P(X＝2)＝P(C)＝＝，
P(X＝0)＝P(D)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
12．(2018·大连模拟)某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温(℃)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的期望取得最大值？
解　(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25 ℃为事件A3，
根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，
可知P(X＝200)＝P(A1)＝＝，P(X＝400)＝P(A2)＝＝，P(X＝600)＝P(A3)＝＝，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
X
200
400
600
P



(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；
当200 当400 E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2＝－n＋800∈[560,640)；
当n>600时，
E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1 760－2n<560，
所以当n＝400时，Y的期望取得最大值640.

13．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
解　(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：
第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA，此种情况的概率为×＝；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为×＝.
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为
＋＝.
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36.
P(η＝10)＝，
P(η＝18)＝×＝，
P(η＝24)＝××＝，
P(η＝30)＝×××＝，
P(η＝36)＝×××＝，
则化验费η的分布列为
η
10
18
24
30
36
P






所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．
14．为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养：若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号
A1
A2
A3
A4
A5
(x，y，z)
(2,2,3)
(3,2,2)
(3,3,3)
(1,2,2)
(2,3,2)
学生编号
A6
A7
A8
A9
A10
(x，y，z)
(2,3,3)
(2,2,2)
(2,3,3)
(2,1,1)
(2,2,2)

(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a－b，求随机变量X的分布列及期望．
解　(1)由题意可知，建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力指标为3的学生是A1，A3，A6，A8.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由题意可知，数学核心素养等级是一级的有A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养等级不是一级的有A4，A7，A9，A10.
X的所有可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，则随机变量ξ的期望是________．
答案　
解析　ξ的可能取值为0，，1,2，则
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1

2
P





∴E(ξ)＝0×＋×＋1×＋2×＝.
16．设0 ξ
0
1
2
P



则当p在(0,1)内增大时，(　　)
A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
答案　D
解析　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×
＝2×＋2×＋2×
＝2＋2－2＋2
＝－
＝p2＋－p(2p－1)
＝－p2＋p＋＝－2＋，
∴D(ξ)在上单调递增，在上单调递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.