2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第五章　平面向量与复数5.2

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲
考情考向分析
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.



1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
概念方法微思考
1.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示　不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.
2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示　不一定.当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.(　×　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　√　)
(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案　－
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
题组三　易错自纠
4.设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案　0
5.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案　(－7，－4)
解析　根据题意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).
6.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
答案　－6
解析　因为a∥b，
所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

题型一　平面向量基本定理的应用
例1　如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值.
解　(1)由题意知，A是BC的中点，
且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.
(3)强化平行向量基本定理的应用.
跟踪训练1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.
答案　
解析　∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－，

∴2＝，
即P为AB的一个三等分点，如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋.
又＝－＝－＋，
由已知＝t，可得
＋＝t，
又，不共线，
∴解得t＝.
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A.(2,0) B.(－3,6)
C.(6,2) D.(－2,0)
答案　A
解析　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
∴x＝2，y＝0.
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.
答案　－2
解析　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).
∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
∴m＋n＝－2.
思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.
跟踪训练2 线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝________.
答案　－2或6
解析　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y).
由||＝2||，可得＝±2，
则当＝2时，有
解得此时x＋y＝－2；
当＝－2时，有
解得此时x＋y＝6.
综上可知，x＋y＝－2或6.

题型三　向量共线的坐标表示

命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标
例3　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ).
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3).
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，
因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，
即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3).
命题点2　利用向量共线求参数
例4　(2018·乌海模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)
A.－ B. C.2 D.
答案　B
解析　因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，
所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，
又c＝(－5,1)，
由(a＋kb)∥c
得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3 (1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)
A.－4 B.1 C.0 D.－2
答案　A
解析　a＋2b＝(4，m－4)，
由a∥(a＋2b)，
得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A.
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________.
答案　－
解析　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2).
∵A，B，C三点共线，
∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.


1.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A.(－8,1) B.
C. D.(8，－1)
答案　B
解析　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2).
而＝(－8,1)＝，
∴解得
∴P.故选B.
2.若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，则＋等于(　　)
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
答案　B
解析　＝＋＝(3,1)，
又＝－＝(－1,1)，
则＝＋＝(1,1)，
所以＋＝(4,2).故选B.
3.(2018·赤峰质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　B
解析　根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，
所以a＋b＝(－1，－2)，
从而可求得|a＋b|＝＝，故选B.
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2.
5.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A.2 B. C.2 D.4
答案　A
解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C(，)，
又＝λ＋μ，
所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵m∥n，
∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sin Acos A＝3，
∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，
∴sin＝1，
∵A∈(0，π)，
∴2A－∈.
因此2A－＝，解得A＝，故选C.
7.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.
答案　－
解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，
根据题意知∥，
∴4(a－1)＝3×(－3)，
即4a＝－5，∴a＝－.
8.设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________.
答案　(－4，－2)
解析　∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，
∴设a＝(2λ，λ)(λ<0).
∵|a|＝2，
∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.
∴a＝(－4，－2).
9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案　
解析　由题意得2a＋b＝(4,2)，
因为c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，得λ＝.
10.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________.
答案　 k≠1
解析　若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线.
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
11.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2).
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)方法一　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，
∴m＝.
方法二　∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
12.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.

解　方法一　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(1,0)，B，
C(3，).
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.
方法二　如图，作平行四边形OB1CA1，

则＝＋，
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以||＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.

13.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A.3 B. C.2 D.1
答案　B
解析　由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，

则B(1,0)，E(－1,1)，
∴＝(1,0)，
＝(－1,1)，
∵＝λ＋μ＝(λ－μ，μ)，
又∵P为CD的中点，
∴＝，∴
∴λ＝，μ＝1，
∴λ＋μ＝.
14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，

则C点坐标为(2,1).
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圆C的半径为，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.
设P(x0，y0)，则(θ为参数)，
而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0).
∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ
＝2＋sin(θ＋φ)≤3，
当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
故选A.

15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是(　　)

A.[－，1] B.[－，]
C. D.
答案　C
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，E(2,0)，
D(0,2)，F(3,1)，
P(cos α，sin α)，
即＝(cos α，sin α)，＝(－2,2)，＝(3,1).
∵＝λ＋μ，
∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)，
∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，
∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)，
∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin.
∵－≤α≤，
∴－≤α－≤.
∴－≤sin≤.
16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量＝m＋n(m，n为实数)，求m＋n的最大值.

解　如图所示，

①设点O为正六边形的中心，则＝＋.
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点.连接OP，
则＝＋，
∵与共线，
∴存在实数t，使得＝t，
∴此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值.
②当动圆Q的圆心经过点D时，
取AD的延长线与圆Q的交点P时，
＝＝＝＋，
此时m＋n＝5取得最大值.