2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 学案

第八章　平面解析几何

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)。

2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ；若直线的倾斜角θ＝90°，则斜率不存在。

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝。(x1≠x2)

3．直线方程的五种形式

续表

1．直线倾斜角和斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。

(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tanα，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠时就不是了。

2．截距和距离的不同之处

“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数。应注意过原点的特殊情况是否满足题意。

一、走进教材

1．(必修2P89A组T4改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1　　　　B．4  C．1或3　　　D．1或4

解析　由题意得＝1，解得m＝1。

答案　A

2．(必修2P100A组T9改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________。

解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0。

答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0

二、走近高考

3．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q，则直线AP斜率的取值范围是________。

解析　设P(x，x2)，直线AP的斜率为k，则k＝＝x－。因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)。

答案　(－1,1)

三、走出误区

微提醒：①由直线方程求斜率的思路不清；②忽视斜率和截距对直线位置的影响；③忽视直线斜率不存在的情况。

4．直线l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为(　　)

A．   B．

C．－   D．－

解析　设直线l的斜率为k，则k＝－＝。

答案　A

5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

答案　C

6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________________。

解析　①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0。综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2。

答案　x－2y＋2＝0或x＝2

考点一  直线的斜率与倾斜角　　　　　　　

【例1】　(1)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A．   B．

C．∪   D．∪

(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：mx＋y＋1＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________。

解析　(1)由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是。

(2)l：mx＋y＋1＝0可写成y＝－mx－1，即l过定点R(0，－1)，直线PR的斜率k1＝＝－2，直线QR的斜率k2＝

＝。因为直线l与线段PQ有交点，所以斜率k≥或k≤－2。又因为k＝－m，所以m≤－或m≥2。

答案　(1)B　(2)∪[2，＋∞)

斜率取值范围的两种求法

1．数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定。

2．函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可。

【变式训练】　(1)平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________。

(2)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则k的取值范围是________。

解析　(1)由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB的倾斜角的取值范围是∪。

(2)因为kPM＝＝－4，kPN＝＝，所以k的取值范围为(－∞，－4]∪。

答案　(1)∪

(2)(－∞，－4]∪

考点二  直线的方程

【例2】　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的

的直线方程。

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。

解　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－。又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0。

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0。故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0。

1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。

2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。

【变式训练】　求适合下列条件的直线方程。

(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。

解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0。

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

因为l过点(4,1)，所以＋＝1，

所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0。

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0。

(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α。

因为tanα＝3，所以tan2α＝＝－。

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0。

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1。

又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)。

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0。

考点三  直线方程的综合应用微点小专题

【例3】　(1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为________。

(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________。

解析　(1)设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：＋＝1，即x＋2y－4＝0。

(2)直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋。当a＝时，面积最小。

答案　(1)x＋2y－4＝0　(2)

与直线方程有关的最值问题的解题思路

1．借助直线方程，用y表示x或用x表示y。

2．将问题转化成关于x(或y)的函数。

3．利用函数的单调性或基本不等式求最值。

【变式训练】　(1)当k>0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________。

(2)(2019·苏北四市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________。

(3)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________。

解析　(1)直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1,0)。由解得y＝，所以两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为×1×＝，又k＋≥2＝2(当且仅当k＝时取等号)，故三角形面积的最大值为。

(2)由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0且5a＋12≠0，即2b＋3a＝ab，＋＝1。又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25。

(3)由已知可得，y＝1－x，代入x2＋y2，得x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22＋，x∈[0,1]，当x＝0或x＝1时，取得最大值1，当x＝时，取得最小值，所以x2＋y2的取值范围是。

解析：设直线x＋y＝1与两坐标轴的交点分别为A(0,1)，B(1,0)，点P(x，y)为线段AB上一点，则P到原点O的距离为|PO|＝≥＝，又|PO|≤|AO|＝1，所以≤≤1，所以x2＋y2的取值范围是。

答案　(1)　(2)25　(3)

1．(配合例1使用)直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1，l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为________。

解析　设直线l1与直线l2的倾斜角分别为α，β，因为k>0，所以α，β均为锐角。由于直线l1，l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：①当α＝2β时，tanα＝tan2β，有＝，因为k>0，所以k＝；②当β＝2α时，tanβ＝tan2α，有2k＝，因为k>0，所以k＝。故k的所有可能的取值为或。

答案　或

2．(配合例2使用)(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程。

解　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－。又直线经过点A(1,3)。

因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，

即4x＋3y－13＝0。

(2)①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；

②当m≠2时，直线l的方程为＝，

即2x－(m－2)y＋m－6＝0。

因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0。

3．(配合例3使用)已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0＋2，则的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．∪(0，＋∞)

解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则得

x0＋3y0＋2＝0，即M(x0，y0)在直线x＋3y＋2＝0上。又因为y0<x0＋2，所以M(x0，y0)位于直线x＋3y＋2＝0与直线x－y＋2＝0交点的右下部分的直线上。设两直线的交点为F，易得F(－2,0)，而可看作点M与原点O连线的斜率，数形结合可得的取值范围为∪(0，＋∞)。故选D。

答案　D