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    2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档:第十章第四节 随机事件的概率 学案

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    第四节 随机事件的概率

    2019考纲考题考情

    1事件

    (1)在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件。

    (2)在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件。

    (3)在条件S下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件。

    2概率和频率

    (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否发生,称n次试验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数,称事件A发生的比例fn(A)为事件A发生的频率。

    (2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)

     

     

     

     

    3事件的关系与运算

     

    定义

    符号表示

    包含

    关系

    如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

    BA(AB)

    相等

    关系

    BA,且AB,那么称事件A与事件B相等

    AB

    并事件

    (和事件)

    若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

    AB

    (AB)

    续表

     

     

    定义

    符号表示

    交事件

    (积事件)

    若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

    AB(AB)

    互斥

    事件

    AB不可能事件,那么称事件A与事件B互斥

    AB

    对立

    事件

    AB不可能事件,AB必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件

    ABABU

      4.概率的几个基本性质

    (1)概率的取值范围:0P1

    (2)必然事件的概率P(E)1

    (3)不可能事件的概率P(F)0

    (4)概率的加法公式:

    如果事件A与事件B互斥,则P(AB)P(A)P(B)

    (5)对立事件的概率:

    若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)1P(A)1P(B)

     

     

    1频率与概率

    频率是随机的,不同的试验,得到频率也可能不同,概率是频率的稳定值,反映了随机事件发生的可能性的大小。

    2.互斥与对立

    对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立。

    3.概率加法公式的注意点

    (1)要确定AB互斥方可运用公式。

    (2)AB为对立事件时并不一定AB发生的可能性相同,即P(A)P(B)可能不成立。

    一、走进教材

    1(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次,事件至少有一次中靶的互斥事件是(  )

    A.至多有一次中靶   B.两次都中靶

    C.只有一次中靶   D.两次都不中靶

    解析 射击两次的结果有:一次中靶;两次中靶;两次都不中靶,故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D

    答案 D

    2(必修3P123AT3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:

    成绩

    人数

    90分以上

    42

    8089

    172

    7079

    240

    6069

    86

    5059

    52

    50分以下

    8

    经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:

    (1)90分以上的概率:________

    (2)不及格(60分及以上为及格)的概率:________

    解析 (1)0.07(2)0.1

    答案 (1)0.07 (2)0.1

    二、走近高考

    3(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________

    解析 2名男生分别为AB,3名女生分别为abc,则从中任选2名学生有ABAaAbAcBaBbBcabacbc,共10种情况,其中恰好选中2名女生有abacbc,共3种情况,故所求概率为

    答案 

    4(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________

    解析 本题为古典概型,基本事件共有36个,点数之和大于等于10的有(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)(6,5)(6,4),共计6个基本事件,故点数之和小于10的有30个基本事件,所求概率为

    答案 

    三、走出误区

    微提醒:求基本事件时出错;确定对立事件时出错;互斥事件判定出错。

    5.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为________;甲赢的概率为________

    解析 设平局(表示)为事件A,甲赢(表示)为事件B,乙赢(表示)为事件C。容易得到如图。

    平局含3个基本事件(图中的)P(A)。甲赢含3个基本事件(图中的)P(B)

    答案  

    6.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A{抽到一等品},事件B{抽到二等品},事件C{抽到三等品},且P(A)0.65P(B)0.2P(C)0.1,则事件抽到的不是一等品的概率为________

    解析 因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到的是一等品,且P(A)0.65,所以抽到的不是一等品的概率为10.650.35

    答案 0.35

    7.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率。先由计算器算出09之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数:

    5727 0293 7140 9857 0347

    4373 8636 9647 1417 4698

    0371 6233 2616 8045 6011

    3661 9597 7424 6710 4281

    据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________

    解析 该射击运动员射击4次至少击中3次,考虑该事件的对立事件,故看这20组数据中每组数据含有01的个数多少,含有2个或2个以上的有5组数据,故所求概率为0.75

    答案 0.75

    考点一   随机事件关系的判断                    

    【例1】 (1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,则事件A甲分得语文书,事件B乙分得数学书,事件C丙分得英语书,则下列说法正确的是(  )

    AAB是不可能事件

    BABC是必然事件

    CAB不是互斥事件

    DBC既是互斥事件也是对立事件

    (2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取2个小球,若事件2个小球全是红球的概率为,则概率是的事件是(  )

    A.恰有一个红球   B.两个小球都是白球

    C.至多有一个红球   D.至少有一个红球

    解析 (1)ABC都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故AB两项错误;AB可能同时发生,故AB不互斥,C项正确;BC既不互斥,也不对立,D项错误。故选C

    (2)因为1,所以概率是的事件是2个小球全是红球的对立事件,应为:一个红球一个白球两个都是白球的和事件,即为至多有一个红球

    答案 (1)C (2)C

     

    互斥、对立事件的判别方法

    1.在一次试验中,不可能同时发生的两个事件为互斥事件。

    2.两个互斥事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件。

    提醒:对立事件一定是互斥事件。

    【变式训练】 1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中,是对立事件的是(  )

    A   B②④

    C   D①③

    解析 1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,两个奇数,两个偶数。其中至少有一个是奇数包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件。又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件。

    答案 C

    考点二  随机事件的频率与概率

    【例2】 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

    电影类型

    第一类

    第二类

    第三类

    第四类

    第五类

    第六类

    电影部数

    140

    50

    300

    200

    800

    510

    好评率

    0.4

    0.2

    0.15

    0.25

    0.2

    0.1

    好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。

    (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

    (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

    (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

    解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140503002008005102 000

    第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.2550

    故所求概率为0.025

    (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是

    140×0.450×0.2300×0.15200×0.25800×0.2510×0.15610455016051372

    故所求概率估计为10.814

    (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率。

     

    频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值。

    【变式训练】 (2017·全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关。如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

    最高

    气温

    [10,15)

    [15,20)

    [20,25)

    [25,30)

    [30,35)

    [35,40]

    天数

    2

    16

    36

    25

    7

    4

    以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。

    (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

    (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率。

    解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6

    (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

    若最高气温不低于25

    Y6×4504×450900

    若最高气温位于区间[20,25)

    Y6×3002(450300)4×450300

    若最高气温低于20,则Y6×2002(450200)4×450=-100

    所以,Y的所有可能值为900,300,-100

    Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8

    考点三  互斥事件与对立事件

    【例3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示。

     

     

     

     

     

    一次购物量

    14

    58

    912

    1316

    17件及以上

    顾客数/

    x

    30

    25

    y

    10

    结算时间

    /(/)

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%

    (1)确定xy的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;

    (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)

    解 (1)由已知得x3045,25y1055,所以x15y20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为

    1.9()

    (2)A为事件一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟A1A2A3分别表示事件该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟,将频率视为概率得

    P(A1)P(A2)

    P(A3)

    因为AA1A2A3,且A1A2A3是互斥事件,

    所以P(A)P(A1A2A3)

    P(A1)P(A2)P(A3)

    故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

    解:记A表示事件一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟,则A的对立事件为一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟,由题表,知P()

    所以P(A)1P()1

    故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

     

    1求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来。

    2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)1P()求解。当题目涉及至多至少型问题,多考虑间接法。

    【变式训练】  公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7。为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为祖率,这是中国数学的伟大成就。某小学教师为帮助同学们了解祖率,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字,整数部分3不变,那么得到的数大于3.14的概率为(  )

    A.  B.  C.  D.

    解析 选择数字的总的方法有5×6131(),其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14,所以得到的数大于3.14的概率为P1。故选A

    答案 A

     

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