新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测42《空间向量及其运算和空间位置关系》(含解析)
展开课时跟踪检测（四十二） 空间向量及其运算和空间位置关系
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析：选A ＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
3．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当x＝2，y＝－3，z＝2时，＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n (m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )
A．9 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B 由题意设c＝xa＋yb，则(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.
5．(2019·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B．
C．－ D．±
解析：选C ＋λ＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.
6．在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 法一：如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
法二：在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．
所以·＝0，·＝0，·＝0.
所以·＋·＋·＝0.
7．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于________．
解析：设＝λ，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，
∴D(1,4λ－1,2－3λ)，
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
解得λ＝－，∴＝，
∴||＝ ＝5.
答案：5
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB，故①正确；
·＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD，故②正确；
由①②知AP⊥平面ABCD，
故③正确，④不正确．
答案：①②③
9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析：∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
答案：，，
10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．
求证：MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3，2,0)，S.
∴＝，＝，＝.
∴∥.∵M∉RS.∴MN∥RS.
又RS⊂平面RSD，MN⊄平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c，
∴＝，∴∥，
又∵R∉MN，∴MN∥RS.
又RS⊂平面RSD，MN⊄平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，
＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
12．如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，B，C，＝，＝，
则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.
理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.
设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇒t＝.
即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.
