2021版高考数学苏教版一轮教师用书：1.3全称量词与存在量词

第三节　全称量词与存在量词

[最新考纲]　1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．全称量词和存在量词

(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词．通常用符号“∀x”表示“任意x”．

(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“∃x”表示“存在x”．

2．全称命题和存在性命题

3.全称命题和存在性命题真假的判断

(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；

(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．

含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反． (　　)

(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．              (　　)

(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． (　　)

(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． (　　)

[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0＜0

C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x＜0

B　[由全称命题的否定是存在性命题知选项B正确．故选B.]

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0

C．∀x∈R，x3＞0   D．∀x∈R,2x＞0

C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]

3．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

1　[因为0≤x≤，所以0≤tan x≤1，又因为∀x∈，tan x≤m，故m≥1，即m的最小值为1.]

4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．

存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]

考点1　全称命题、存在性命题

(1)全称命题与存在性命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与存在性命题真假的判断方法

　全称命题、存在性命题的否定

(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0　 B．∃x＞0,0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0   D．∀x＜0,0≤x≤1

(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，

所以x＜0或x＞1，

所以＞0的否定是0≤x≤1，

所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.

(2)由存在性命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]

　全称(存在性)命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．

　全称命题、存在性命题的真假判断

(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1＞0

C．∃x0∈R，lg x0＜1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(2)下列四个命题：

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3　　B．p1，p4　　C．p2，p3　　D．p2，p4

(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．

(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．]

因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是存在性命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C．∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0

D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为存在性命题，故选D.]

2．已知命题p：∃x0∈，使得cos x0≤x0，则綈p为________，是________命题(填“真”或“假”)．

∀x∈，都有cos x＞x　假　[綈p：∀x∈，都有cos x＞x，此命题是假命题．]

考点2　由命题的真假确定参数的取值范围

　根据命题真假求参数的方法步骤

(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．

(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

[母题探究]

1．(变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；

当q是真命题时，有－2＜m＜2，

由

可得－2＜m＜0.

所以实数m的取值范围为(－2,0)．

2．(变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

[解]　若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时

所以m≤－2；

当p假q真时

所以0≤m＜2.

所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．

　根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)全称命题可转化为恒成立问题，存在性命题可转化为能成立问题．

(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．

　1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

A　[当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，

当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，

由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，

所以m≥，故选A.]

2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－12)∪(－4,4)　[命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]