2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第四章 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
展开第3讲 简单的三角恒等变形
一、知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α∓β)=cos αcos β±sin αsin β;
tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
3.三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1±tan αtan β),
1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
sin α±cos α=sin.
(4)辅助角公式
asin x+bcos x=sin (x+φ),其中tan φ=.
二、教材衍化
1.已知sin =,α∈,则sin α的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选D.因为α∈,所以α-∈,cos>0,cos==,所以sin α=sin=sincos +cossin =×+×=.故选D.
2.计算:sin 108°cos 42°-cos 72°·sin 42°= .
解析:原式=sin(180°-72°)cos 42°-cos 72°sin 42°=sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=.
答案:
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.( )
(3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°=.( )
(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )
(5)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)不会用公式找不到思路;
(2)不会合理配角出错.
1.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=( )
A.- B.
C.- D.
解析:选C.因为cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-=-,所以sin=sin α·cos+cos αsin=×+×=-.
2.sin 15°+sin 75°的值是 .
解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.
答案:
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数公式的直接应用(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α-)=,则tan α= .
【解析】 (1)依题意得4sin αcos α=2cos2α,由α∈,知cos α>0,所以2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=.又α∈,所以sin α=,选B.
(2)法一:因为tan=,所以=,即=,解得tan α=.
法二:因为tan=,所以tan α=tan===.
【答案】 (1)B (2)
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
1.(2020·驻马店市模拟(一))已知cos=2cos(π-α),则tan=( )
A.-3 B.3
C.- D.
解析:选A.因为cos=2cos(π-α),所以-sin α=-2cos α,所以tan α=2,所以tan==-3,故选A.
2.已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选A.因为sin α=+cos α,即sin α-cos α=,所以====-,故选A.
3.(2020·长春市质量监测(二))直线y=2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l,若l的倾斜角为α,则cos 2α的值为( )
A. B.
C.- D.
解析:选D.设直线y=2x的倾斜角为β,则tan β=2,α=β-45°,
所以tan α=tan(β-45°)==,
cos 2α=cos2α-sin2α==,故选D.
三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)
(1)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为( )
A.- B.
C. D.-
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
【解析】 (1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,
即tan(A+B)=-1,又(A+B)∈(0,π),
所以A+B=,则C=,cos C=.
(2)因为sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
所以sin2α+cos2β+2sin αcos β=1 ①,
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0 ②,
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
所以sin(α+β)=-.
【答案】 (1)B (2)-
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;
②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系;
②注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式.
1.(1-tan215°)cos215°的值等于( )
A. B.1
C. D.
解析:选C.(1-tan215°)cos215°=cos215°-sin215°=cos 30°=.
2.已知sin 2α=,则cos2=( )
A.- B.
C.- D.
解析:选D.cos2==+sin 2α=+×=.
3.(1+tan 20°)(1+tan 25°)= .
解析:(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2.
答案:2
两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos= .
【解析】 由题意知,α+β∈,sin(α+β)=-<0,所以cos(α+β)=,因为β-∈,所以cos=-,cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-.
【答案】 -
角度二 三角函数公式中变“名”
求值:-sin 10°.
【解】 原式=-sin 10°
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
===.
三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等.
(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
[提醒] 转化思想是实施三角恒等变形的主导思想,恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.
1.(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α+2β)=2,tan β=-3,则tan(α+β)= ,tan α= .
解析:因为tan(α+2β)=2,tan β=-3,
所以tan(α+β)=tan(α+2β-β)===-1.
tan α=tan(α+β-β)==.
答案:-1
2.求4sin 20°+tan 20°的值.
解:原式=4sin 20°+
==
==.
[基础题组练]
1.计算-sin 133°cos 197°-cos 47°cos 73°的结果为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.-sin 133°cos 197°-cos 47°cos 73°
=-sin 47°(-cos 17°)-cos 47°sin 17°
=sin(47°-17°)=sin 30°=.
2.(2020·福建五校第二次联考)已知cos=,则sin 2α=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选C.法一:因为cos=,所以sin 2α=sin=cos 2=2cos2-1=2×-1=.故选C.
法二:因为cos=,所以(cos α+sin α)=,所以cos α+sin α=,平方得1+sin 2α=,得sin 2α=.故选C.
3.(2020·陕西榆林模拟)已知=3cos(2π+θ),|θ|<,则sin 2θ=( )
A. B.
C. D.
解析:选C.因为=3cos(2π+θ),
所以=3cos θ.
又|θ|<,故sin θ=,cos θ=,
所以sin 2θ=2sin θcos θ=2××=,
故选C.
4.(2020·汉中模拟)已知cos=,则cos x+cos=( )
A. B.-
C. D.±
解析:选A.因为cos=,
所以cos x+cos=cos x+cos x+sin x
==cos=×=.
故选A.
5.(2020·湘东五校联考)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则log等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选C.因为sin(α+β)=,sin(α-β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以=5,所以log=log52=4.故选C.
6.(2020·洛阳统考)已知sin α+cos α=,则cos 4α= .
解析:由sin α+cos α=,得sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+sin 2α=,所以sin 2α=,从而cos 4α=1-2sin22α=1-2×=.
答案:
7.(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(-x,-6),且cos θ=-,则sin θ= ,tan= .
解析:由题知角θ的终边经过点P(-x,-6),所以cos θ==-,解得x=,所以sin θ==-,tan θ==,所以tan==-.
答案:- -
8.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin= .
解析:依题意可将已知条件变形为
sin[(α-β)-α]=-sin β=,所以sin β=-.
又β是第三象限角,因此有cos β=-,
所以sin=-sin
=-sin βcos -cos βsin =.
答案:
9.已知tan α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
解:(1)tan===-3.
(2)=
===1.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
解:(1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.
(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,
由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α得
cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-或cos β=.
[综合题组练]
1.若α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,
则cos β=( )
A. B.
C.或- D.或
解析:选A.因为α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,所以sin α=,cos(α-β)=,从而cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=,故选A.
2.(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角,且tan α+tan =2tan αtan -2,则sin等于( )
A.- B.
C.- D.
解析:选C.tan α+tan =2tan αtan -2⇒=-2⇒tan=-2,因为α为第二象限角,所以sin=,cos=-,则sin=-sin=-sin=cossin -sincos =-.
3.已知函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若cos θ=,θ∈,求f的值.
解:(1)f=sin=sin=-.
(2)f=sin
=sin=(sin 2θ-cos 2θ).
因为cos θ=,θ∈,所以sin θ=,
所以sin 2θ=2sin θcos θ=,
cos 2θ=cos2θ-sin2θ=,
所以f=(sin 2θ-cos 2θ)
=×=.
4.已知sin α+cos α=,α∈,sin=,β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解:(1)由题意得(sin α+cos α)2=,
即1+sin 2α=,所以sin 2α=.
又2α∈,所以cos 2α==,
所以tan 2α==.
(2)因为β∈,所以β-∈,
又sin=,所以cos=,
于是sin 2=2sin·cos=.
又sin 2=-cos 2β,所以cos 2β=-,
又2β∈,所以sin 2β=,
又cos2α==,α∈,
所以cos α=,sin α=.
所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β
=×-×
=-.