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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第四章 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

    展开

    3讲 简单的三角恒等变

    一、知识梳理

    1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

    sin(α±β)sin αcos  β±cos αsin  β

    cos(αβ)cos αcos  β±sin αsin  β

    tan(α±β).

    2二倍角的正弦、余弦、正切公式

    sin 2α2sin αcos  α

    cos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α

    tan 2α.

    3三角函数公式的关系

    常用结论

    个必备结论

    (1)降幂公式:cos2αsin2α.

    (2)升幂公式1cos 2α2cos2α1cos 2α2sin2α.

    (3)tan α±tan βtan(α±β)(1±tan αtan β)

    1sin 2α(sin αcos α)2

    1sin 2α(sin αcos α)2

    sin α±cos αsin.

    (4)辅助角公式

    asin xbcos xsin (xφ)其中tan φ.

    二、教材衍化  

    1已知sin αsin α的值为(  )

    A.          B.

    C.  D

    解析:D.因为α所以αcos>0cos所以sin αsinsincos cossin ××.故选D.

    2计算:sin 108°cos 42°cos 72°·sin 42°       

    解析:原式=sin(180°72°)cos 42°cos 72°sin 42°sin 72°cos 42°cos 72°sin 42°sin(72°42°)sin 30°.

    答案:

    一、思考辨析

    判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角αβ是任意角.(  )

    (2)两角和与差的正切公式中的角αβ是任意角.(  )

    (3)cos 80°cos 20°sin 80°sin 20°cos(80°20°)cos 60°.(  )

    (4)公式tan(αβ)可以变形为tan αtan βtan(αβ)(1tan αtan β)且对任意角αβ都成立.(  )

    (5)存在实数α使tan 2α2tan α.(  )

    答案:(1) (2)× (3)× (4)× (5)

    二、易错纠偏

    (1)不会用公式找不到思路;

    (2)不会合理配角出错.

    1cos α=-α是第三象限的角sin(  )

    A   B.

    C  D

    解析:C.因为cos α=-α是第三象限的角所以sin α=-=-所以sinsin α·coscos αsin××=-.

    2sin 15°sin 75°的值是       

    析:sin 15°sin 75°sin 15°cos 15°sin(15°45°)sin 60°.

    答案:

    1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

          三角函数公式的直接应用(师生共研)

    (1)(2019·高考全国卷)已知α2sin 2αcos 2α1sin α(  )

    A.           B.

    C.  D

    (2)(一题多解)(2018·高考全国卷)已知tan(α)tan α       

    解析】 (1)依题意得4sin αcos α2cos2ααcos α>0所以2sin αcos α.sin2αcos2α1所以sin2α4sin2α1sin2α.α所以sin αB.

    (2)法一:因为tan所以解得tan α.

    法二:因为tan所以tan αtan.

    答案】 (1)B (2)

    利用三角函数公式时应注意的问题

    (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:同名相乘符号反”.

    (2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

    (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

    1(2020·驻马店市模拟())已知cos2cosα)tan(  )

    A3  B3

    C  D

    解析:A.因为cos2cosα)所以-sin α=-2cos α所以tan α2所以tan=-3故选A.

    2已知sin αcos αα的值为(  )

    A   B.

    C.-  D

    解析:A.因为sin αcos αsin αcos α所以=-故选A.

    3(2020·长春市质量监测())直线y2x绕原点顺时针旋转45°得到直线ll的倾斜角为αcos 2α的值为(  )

    A.  B.

    C  D

    解析:D.设直线y2x的倾斜角为βtan β2αβ45°

    所以tan αtan(β45°)

    cos 2αcos2αsin2α故选D.

        三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)

    (1)ABCtan Atan Btan Atan B1cos C的值为(  )

    A   B.

    C.  D.-

    (2)(2018·高考全国卷)已知sin αcos β1cos αsin β0sin(αβ)       

    解析】 (1)tan Atan Btan Atan B1可得=-1

    tan(AB)=-1(AB)(0π)

    所以ABCcos C.

    (2)因为sin αcos β1cos αsin β0

    所以sin2αcos2β2sin αcos β1 

    cos2αsin2β2cos αsin β0 

    ①②两式相加可得sin2αcos2αsin2βcos2β2(sin αcos βcos αsin β)1

    所以sin(αβ)=-.

    】 (1)B (2)

    (1)三角函数公式活用技巧

    逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同创造条件逆用公式;

    tan αtan βtan αtan β(tan αtan β)tan(αβ)(tan(αβ))三者中可以知二求一注意公式的正用、逆用和变形使用.

    (2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题

    公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系;

    注意特殊角的应用当式子中出现1等这些数值时一定要考虑引入特殊角值变角以便构造适合公式的形式.

    1(1tan215°)cos215°的值等于(  )

    A.  B1

    C.  D

    解析:C.(1tan215°)cos215°cos215°sin215°cos 30°.

    2已知sin 2αcos2(  )

    A   B.

    C  D

    解析:D.cos2sin 2α×.

    3(1tan 20°)(1tan 25°)       

    解析:(1tan 20°)(1tan 25°)1tan 20°tan 25°tan 20°tan 25°1tan(20°25°)(1tan 20°tan 25°)tan 20°tan 25°2.

    答案:2

        两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)

    角度一 三角函数公式中变

    (2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知αβsin(αβ)=-sincos       

    解析】 由题意知αβsin(αβ)=-<0所以cos(αβ)因为β所以cos=-coscoscos(αβ)cossin(αβ)sin=-.

    答案】 -

    角度二 三角函数公式中变

    求值:sin 10°.

    】 原式=sin 10°

    sin 10°·

    sin 10°·

    2cos 10°

    .

    三角函数公式应用的解题思路

    (1)角的转换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化如:2α(αβ)(αβ)α(αβ)β(αβ)β40°60°20°2×等.

    (2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系常常用到同角关系、诱导公式把正弦、余弦化为正切或者把正切化为正弦、余弦.

    [提醒] 转化思想是实施三角恒等变的主导思想恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异寻求联系实现转化.

    1(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)tan(α2β)2tan β=-3tan(αβ)        tan α       

    解析:因为tan(α2β)2tan β=-3

    所以tan(αβ)tan(α2ββ)=-1.

    tan αtan(αββ).

    答案:1 

    24sin 20°tan 20°的值.

    解:原式=4sin 20°

    .

    [基础题组练]

    1计算-sin 133°cos 197°cos 47°cos 73°的结果为(  )

    A.           B.

    C.  D

    解析:A.sin 133°cos 197°cos 47°cos 73°

    =-sin 47°(cos 17°)cos 47°sin 17°

    sin(47°17°)sin 30°.

    2(2020·福建五校第二次联考)已知cossin 2α(  )

    A.  B.-

    C.  D.-

    解析:C.法一:因为cos所以sin 2αsincos 22cos212×1.故选C.

    法二:因为cos所以(cos αsin α)所以cos αsin α平方得1sin 2αsin 2α.故选C.

    3(2020·陕西榆林模拟)已知3cos(2πθ)|θ|<sin 2θ(  )

    A.   B.

    C.  D

    解析:C.因为3cos(2πθ)

    所以3cos θ.

    |θ|<sin θcos θ

    所以sin 2θ2sin θcos θ2××

    故选C.

    4(2020·汉中模拟)已知coscos xcos(  )

    A.  B.-

    C.  D±

    解析:A.因为cos

    所以cos xcoscos xcos xsin x

    cos×.

    故选A.

    5(2020·湘东五校联考)已知sin(αβ)sin(αβ)log等于(  )

    A2  B3

    C4  D5

    解析:C.因为sin(αβ)sin(αβ)所以sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β所以sin αcos βcos αsin β所以5所以loglog524.故选C.

    6(2020·洛阳统考)已知sin αcos αcos 4α       

    解析:sin αcos αsin2αcos2α2sin αcos α1sin 2α所以sin 2α从而cos 4α12sin22α12×.

    答案:

    7(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(x6)cos θ=-sin θ            tan           

    解析:由题知角θ的终边经过点P(x6)所以cos θ=-解得x所以sin θ=-tan θ所以tan=-.

    答案: -

    8已知sin(αβ)cos αcos(βα)sin αβ是第三象限角sin       

    解析:依题意可将已知条件变形为

    sin[(αβ)α]=-sin β所以sin β=-.

    β是第三象限角因此有cos β=-

    所以sin=-sin

    =-sin βcos cos βsin .

    答案:

    9已知tan α2.

    (1)tan的值;

    (2)的值.

    解:(1)tan=-3.

    (2)

    1.

    10已知角α的顶点与原点O重合始边与x轴的非负半轴重合它的终边过点P.

    (1)sin的值;

    (2)若角β满足sin(αβ)cos β的值.

    解:(1)由角α的终边过点Psin α=-所以sin(απ)=-sin α.

    (2)由角α的终边过点Pcos α=-

    sin(αβ)cos(αβ)±.

    β(αβ)α

    cos βcos(αβ)cos αsin(αβ)sin α

    所以cos β=-cos β.

    [综合题组练]

    1αβ都是锐角cos αsin(αβ)

    cos β(  )

    A.   B.

    C.或-  D

    解析:A.因为αβ都是锐角cos αsin(αβ)所以sin αcos(αβ)从而cos βcos[α(αβ)]cos αcos(αβ)sin αsin(αβ)故选A.

    2(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角tan αtan 2tan αtan 2sin等于(  )

    A   B.

    C  D

    解析:C.tan αtan 2tan αtan 2=-2tan=-2因为α为第二象限角所以sincos=-sin=-sin=-sincossin sincos =-.

    3已知函数f(x)sinxR.

    (1)f的值;

    (2)cos θθf的值.

    解:(1)fsinsin=-.

    (2)fsin

    sin(sin 2θcos 2θ)

    因为cos θθ所以sin θ

    sin 2θ2sin θcos θ

    cos 2θcos2θsin2θ

    所以f(sin 2θcos 2θ)

    ×.

    4已知sin αcos ααsinβ.

    (1)sin 2αtan 2α的值;

    (2)cos(α2β)的值.

    解:(1)由题意得(sin αcos α)2

    1sin 2α所以sin 2α.

    2α所以cos 2α

    所以tan 2α.

    (2)因为β所以β

    sin所以cos

    于是sin 22sin·cos.

    sin 2=-cos 2β所以cos 2β=-

    2β所以sin 2β

    cos2αα

    所以cos αsin α.

    所以cos(α2β)cos αcos 2βsin αsin 2β

    ××

    =-.

     

     

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