2021版新高考数学一轮教师用书：第4章第4节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[考点要求]　1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

(对应学生用书第73页)

1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)

(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin .(　　)

(3)y＝sin 的图象是由y＝sin 的图象向右平移个单位得到的．(　　)

(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，4π， B．2，，

C．2，，－     D．2，4π，－

C　[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]

2．为了得到函数y＝2sin (2x－)的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

A　[y＝2sin (2x－)＝2sin 2(x－).]

3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．

y＝10sin (x＋)＋20，x∈[6，14]　[从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期

所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，

又×＝14－6，所以ω＝.

又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，

所以y＝10sin (x＋)＋20，x∈[6，14].]

4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．

y＝6－cos x　[设y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin (x＋φ)＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin (＋φ)＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，

所以y＝sin (x－)＋6＝6－cos x.]

(对应学生用书第74页)

考点1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换

　(1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

　已知函数y＝2sin (2x＋).

(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(2)[一题多解]说明y＝2sin (2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

[解]　(1)描点画出图象，如图所示．

(2)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)的图象；

再把y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin (2x＋)的图象；

最后把y＝sin (2x＋)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin (2x＋)的图象．

法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；

再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象；

再将y＝sin (2x＋)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin (2x＋)的图象．

　三角函数图象变换中的3个注意点

(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向．

(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝A sin x到y＝A sin (x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝A sin ωx到y＝A sin (ωx＋φ)时，变换量是个单位．

　1.要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝cos 5x的图象(　　)

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位     D．向右平移个单位

B　[函数y＝cos 5x＝sin ＝sin 5，

y＝sin ＝sin 5，

设平移φ个单位，

则＋φ＝－，

解得φ＝－，故把函数y＝cos 5x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin 的图象．]

2．[多选]若把函数y＝sin (ωx－)的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的可能取值是(　　)

A．2　　　　B．4        C．－4　　　　D．

AC　[y＝sin (ωx＋π－)和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.

∴－4，2是ω的可能取值．故选AC.]

3．将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．

π　[把函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，

可得y＝sin ＝sin 的图象，

∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)，

∵φ＞0，∴φmin＝.]

考点2　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式

　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

(3)求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.

　(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图①所示，则f(x)＝________．

图①　　　　图②

(2)(2019·重庆六校联考)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图②所示，则f(－)＝________．

(1)2sin (2x－)　(2)－　[(1)由题图可知，A＝2，T＝2[－(－)]＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，

所以φ＝－，

所以函数的解析式为y＝2sin (2x－).

(2)由函数的图象可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝sin (2x＋)，所以f(－)＝－.]

　一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ的值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的．

　1.(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为(　　)

A．1     B．2

C．3     D．4

B　[因为f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝－cos2(ωx＋φ)，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝，由题图知＜1，且＞1，即＜T＜2，又ω为正整数，所以ω的值为2，故选B.]

2.(2019·合肥模拟)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．在区间[，]上单调递减

B．在区间[，]上单调递增

C．在区间[，]上单调递减

D．在区间[，]上单调递增

B　[由题意得，A＝2，T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.当x＝时取得最大值2，所以2＝2sin (2×＋φ)，且|φ|＜，所以φ＝，所以函数的解析式为f(x)＝2sin (2x＋).当x∈[，]时，2x＋∈[，]，又由正弦函数y＝sin x的图象与性质可知，函数y＝sin x在[，]上单调递增，故函数f(x)在[，]上单调递增．当x∈[，]时，2x＋∈[，]，由函数y＝sin x的图象与性质知此区间上不单调，故选B.]

3.已知函数f(x)＝sin (πx＋θ)(|θ|＜)的部分图象如图所示，且f(0)＝－，则图中m的值为________．

　[因为f(0)＝sin θ＝－，且|θ|＜，所以θ＝－，所以f(x)＝sin (πx－)，所以f(m)＝sin (mπ－)＝－，所以mπ－＝2kπ＋，k∈Z，所以m＝2k＋，k∈Z.又周期T＝2，所以0＜m＜2，所以m＝.]

考点3　三角函数图象与性质的综合应用

　函数零点(方程根)问题

　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

(－2，－1)　[方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x

＝2sin (2x＋)，x∈(，π).

设2x＋＝t，则t∈(π，π)，

所以题目条件可转化为＝sin t，t∈(π，π)有两个不同的实数根．

所以y1＝和y2＝sin t，t∈(π，π)的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是(－1，－)，

故m的取值范围是(－2，－1).]

　本例在求解中，通过换元，令t＝2x＋，把原问题等价转化为函数y＝与函数y＝sin t，t∈(，)图象交点个数问题，从而借助图象，直观求得结果．

　三角函数图象与性质的综合问题

　已知函数f(x)＝sin (2ωx＋)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(－，0)，求当m取得最小值时，g(x)在[－，]上的单调递增区间．

[解]　(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，

得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，

故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin (2x＋).

(2)将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)＝sin [2(x＋m)＋]＝sin (2x＋2m＋)的图象，根据g(x)的图象恰好经过点(－，0)，

可得sin (－＋2m＋)＝0，即sin (2m－)＝0，

所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，

因为m＞0，

所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.

此时，g(x)＝sin (2x＋).

因为x∈[－，]，

所以2x＋∈[，].

当2x＋∈[，]，即x∈[－，－]时，g(x)单调递增，

当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，g(x)单调递增．

综上，g(x)在区间[－，]上的单调递增区间是[－，－]和[，].

　研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

　1.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝，则f()＝(　　)

A．－2     B．－

C．     D．2

C　[∵f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝A sin ωx，则g(x)＝A sin (x).由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω＝2.又g()＝A sin ＝A＝，∴A＝2，

∴f(x)＝2sin 2x，

∴f()＝2sin ＝，故选C.]

2．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin (ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④     B．②③

C．①②③     D．①③④

D　[如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋，因为≤ω＜，所以＋＜＜，所以函数f(x)在单调递增，所以③正确．

]

(对应学生用书第76页)

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．

三角函数的周期T与ω的关系

【例1】　为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)

A.98π　 　　B．π　 　　C．π　 　　D．100π

B　[由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.]

[评析]　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系．

三角函数的单调性与ω的关系

【例2】　若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是________．

(0，]　[法一：因为x∈[－，](ω＞0)，

所以ωx∈[－，]，

因为f(x)＝2sin ωx在[－，]上是增函数，

所以故0＜ω≤.

法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的图象如图所示．

要使f(x)在[－，]上是增函数，

需(ω＞0)，

即0＜ω≤.

法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得

－＋≤x≤＋(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间是[－＋，＋](k∈Z)，

由题意[－，]⊆[－＋，＋](k∈Z，ω＞0)，

从而有

即0＜ω≤.]

[评析]　根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间[－，]上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．

【例3】　(1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)

(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．

(1)[，]　(2)　[(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin (ωx－)，

令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).

当k＝0时，≤π，即≤ω，

当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.

综上，≤ω≤.

(2)显然ω≠0，分两种情况：

若ω＞0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω.

因函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.

若ω＜0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω，

因函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.

综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.]

[评析]　这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．