2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：选修4－4第1讲坐标系

选修4－4  坐标系与参数方程

第1讲　坐标系

基础知识整合

1．坐标变换

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标与直角坐标

(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．

(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对(ρ，θ)表示．

(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为

3．常用简单曲线的极坐标方程

1．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．

2．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．

1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)

A．两个圆  B．两条直线

C．一个圆和一条射线  D．一条直线和一条射线

答案　C

解析　因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒＝1，得x2＋y2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线．

2．在极坐标系中，极坐标为的点到极点和极轴的距离分别为(　　)

A．1,1  B．1,2

C．2,1  D．2,2

答案　C

解析　点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点到极点和极轴的距离分别为2,2sin＝1.

3．在极坐标系中，点到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为(　　)

A．2  B．

C．  D．

答案　D

解析　在直角坐标系中，点的直角坐标为(1，－)，圆ρ＝－2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1,0)，所以所求距离为 ＝.故选D.

4．曲线ρ＝－2cosθ与ρ＋＝4sinθ的位置关系为(　　)

A．相离  B．外切

C．相交  D．内切

答案　B

解析　曲线方程ρ＝－2cosθ化为直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，ρ＋＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，两圆圆心距为＝3＝1＋2，所以两圆外切．

5．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　A

解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.故选A.

6．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________.

答案　1＋

解析　因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

由ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)，得x＋y＝a(a>0)，

由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，

即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，

因为直线与圆相切，所以＝1，所以a＝1±，

又因为a>0，所以a＝1＋.

核心考向突破

考向一　平面直角坐标系下的坐标变换

例1　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解　(1)设点(x1，y1)为圆上的点，

经变换为C上的点(x，y)，依题意，得

由x＋y＝1，得x2＋2＝1，

即曲线C的方程为x2＋＝1.

(2)由解得或

不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，

则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求的直线方程为y－1＝，化为极坐标方程并整理，得2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.

平面直角坐标系下图形的变换技巧

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．

[即时训练]　1.求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．

解　由得到①

将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

考向二　极坐标与直角坐标的互化

例2　在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解　(1)由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

把代入ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得

圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

由l：ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝1，

因为

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

(2)由

解得进而，由得

因为θ∈(0，π)，

所以θ＝，故公共点的极坐标为.

直角坐标方程与极坐标方程互化的方法

直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

[即时训练]　2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)，知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设，知C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

考向三　极坐标方程及其应用

例3　(1)(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

①当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

②当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

解　①因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，

当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.

由已知，得|OP|＝|OA|cos＝2.

设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．

在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.

经检验，点P在曲线ρcos＝2上，

所以l的极坐标方程为ρcos＝2.

②设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，

所以θ的取值范围是.

所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.

(2)(2019·南宁模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，⊙C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

①求C1，C2的极坐标方程；

②若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解　①∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

②将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于⊙C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，用极坐标法使问题变得简单、直接，解题的关键是极坐标选取要得当，这样可以简化运算过程．如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标转化为直角坐标来求解．

[即时训练]　3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.

(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

解　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，

M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.

(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)，知

若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.

4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

(1)设M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题设，知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，

得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设，知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积为

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.