2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第7章第2讲　一元二次不等式的解法

第2讲　一元二次不等式的解法

基础知识整合

1．一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．

(2)计算相应的判别式．

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．

(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

2．三个二次之间的关系

1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．

2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R).

1．(2019·成都模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1.∴不等式2x2－x－3>0的解集为，故选B.

2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　)

A．∅  B．R

C.  D.

答案　C

解析　因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为.

3．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－2,2)

B．(－2,2]

C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D．(－∞，2)

答案　B

解析　∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时，x∈R.综上所述，－2<m≤2.

4．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

答案　B

解析　依题意，得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故选B.

5．不等式<0的解集是(　　)

A.  B．{x|3<x<4}

C.  D.

答案　C

解析　不等式<0等价于(x－4)>0，所以不等式的解集是.

6．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a>.综上，所求实数a的取值范围是.

核心考向突破

考向一　一元二次不等式的解法　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　解下列关于x的不等式：

(1)0<x2－x－2≤4；

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.

解　(1)原不等式等价于

⇔

⇔⇔

借助于数轴，如图所示，

故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．

(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0.

①当a＝0时，解不等式，得x>1；

②当0<a<1时，解不等式，得1<x<；

③当a>1时，解不等式，得<x<1；

④当a＝1时，不等式无解；

⑤当a<0时，不等式化为(x－1)>0，

解不等式，得x<或x>1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；

当0<a<1时，不等式的解集为；

当a>1时，不等式的解集为<x<1；

当a<0时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅.

1．解一元二次不等式的一般方法和步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．

(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．

(3)求：求出对应的一元二次方程的根．

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法

(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．

(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

[即时训练]　1.解不等式：(1)≥－1；

(2)x2－(a2＋a)x＋a3>0.

解　(1)将原不等式移项通分得≥0，

等价于

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0，

①当a2－a>0，即a>1或a<0时，

解不等式，得x>a2或x<a.

②当a2－a<0，即0<a<1时，

解不等式，得x<a2或x>a；

③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，

解不等式，得x≠a.

综上①②③得，当a>1或a<0时，不等式的解集为

{x|x>a2或x<a}；

当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝0或a＝1时，不等式的解集为{x|x≠a}．

考向二　三个二次的关系

例2　(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　)

A.  B．(－∞，1)∪

C．(－1,4)  D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案　A

解析　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，知a<0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，

即3x2＋x－4<0，解得－<x<1.故选A.

(2)若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．

答案　

解析　由ax>b的解集为，可知a<0，且＝.将不等式ax2＋bx－a>0两边同时除以a，得x2＋x－<0，所以x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，解得－1<x<，故不等式ax2＋bx－a>0的解集为.

[即时训练]　2.(2019·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)

A.  B．

C.  D．

答案　A

解析　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.故选A.

3．若x2＋px＋q<0的解集为，则不等式qx2＋px＋1>0的解集为________．

答案　{x|－2<x<3}

解析　∵x2＋px＋q<0的解集为，∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系，得∴

∴不等式qx2＋px＋1>0，可化为－x2＋x＋1>0，

即x2－x－6<0，∴－2<x<3.

∴不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　一元二次不等式恒成立问题

角度1　　形如f(x)≥0(x∈R)

例3　(1)(2019·河南郑州期末)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0]  B．[－3,0)

C．[－3,0]  D．(－3,0)

答案　D

解析　设f(x)＝2kx2＋kx－，

因为2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，

所以k≠0.

又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，

即函数f(x)＝2kx2＋kx－的图象全部在x轴的下方，

则有

解得－3<k<0.

(2)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．(－∞，－2)

C．(－2,2)  D．(－2,2]

答案　D

解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立的条件为当a＝2时，－4<0恒成立；当a≠2时，

解得－2<a<2.

故－2<a≤2.选D.

角度2　　形如f(x)≥0(x∈[a，b])

例4　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　D

解析　对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，

所以解得－<m<0，即实数m的取值范围是.

(2)已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,2)  B．(2，＋∞)

C．(0，＋∞)  D．(0,4)

答案　A

解析　二次函数图象开口向上，对称轴为x＝.

x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，

即f(x)min>0.

①当≤－1，即a≤－2时，f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋>0，解得a>－，与a≤－2矛盾；

②当≥1，即a≥2时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋>0，解得a<2，与a≥2矛盾；

③当－1<<1，即－2<a<2时，f(x)min＝f＝－＋>0，解得0<a<2.

综上可得，实数a的取值范围是(0,2)．

角度3　　形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])

例5　(2019·江西八校联考)若对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)

A．(1,3)  B．(－∞，1)∪(3，＋∞)

C．(1,2)  D．(－∞，1)∪(2，＋∞)

答案　B

解析　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.当x＝2时，f(x)＝0，不符合题意；当x>2时，(x－2)·(－1)＋x2－4x＋4>0，得x>3；当x<2时，(x－2)·1＋x2－4x＋4>0，得x<1.综上，x<1或x>3.故选B.

一元二次不等式恒成立问题的求解思路

(1)形如f(x)≥0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．

(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，可根据函数的单调性求其最小值(或最大值)，从而求参数的范围．

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

[即时训练]　4.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4]  B．[－4，＋∞)

C．[－4,20]  D．[－40,20)

答案　B

解析　根据已知，可转化为当－1≤x≤3时，存在x0∈[－1,3]，使得x2＋4x－(1＋a)≤0.令f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，易知函数在区间[－1,3]上为增函数，故只需函数的最小值f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.

5．在R上定义运算：≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　)

A．－  B．－

C.  D.

答案　D

解析　由定义知，|x－1　a－2

a＋1　x|≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，

∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立，

∵x2－x＋1＝2＋≥，

∴a2－a≤，解得－≤a≤，

则实数a的最大值为.故选D.

6．对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1>2x＋a成立的x的取值范围为________．

答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析　原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1>0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2,2]上恒大于0，故有即

解得所以x<－1或x>3.

学科素养培优（十二）  分类讨论思想在不等式中的应用

已知关于x的不等式(ax－a2－4)(x－4)>0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时，实数a的值为(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

答案　D

解析　已知关于x的不等式(ax－a2－4)(x－4)>0，①当a<0时，(x－4)<0，其中a＋<0，故解集为，由于a＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－a＝－，即a＝－2时取等号，所以a＋的最大值为－4，即当且仅当a＋＝－4时，A中共含有的整数个数最少，此时实数a的值为－2；②当a＝0时，－4(x－4)>0，解集为(－∞，4)，整数解有无穷个，故a＝0不符合条件；③当a>0时，(x－4)>0，其中a＋≥4，故解集为(－∞，4)∪，整数解有无穷多个，故a>0不符合条件．综上所述，a＝－2.

答题启示

若未知数的系数中含有参数，一般采用分类讨论思想解决问题，如本题中需要分a<0，a＝0，a>0三种情况进行讨论，特别是a<0的情况下，将二次项的系数化为1时，切记不等号的方向要改变．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对点训练

(2019·云南昆明模拟)若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4,1]  B．[－4,3]

C．[1,3]  D．[－1,3]

答案　B

解析　原不等式等价于(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得，－4≤a≤3.故选B.