2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第4章第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数

第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

[最新考纲]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：

3．任意角的三角函数

(1)定义

设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

拓展：任意角的三角函数的定义(推广)．

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，

则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

(3)几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

(1)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)．

(2)若α∈，则sin α＜α＜tan α.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)

(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)

(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

D　[∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]

2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)

B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．kπ＋(k∈Z)

C　[∵＝2π＋，∴与终边相同．

又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.]

3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．

[答案]　－　二

4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝______.

　[由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，

cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝.]

5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．

[答案]　

考点1　象限角及终边相同的角

　象限角的两种判断方法

(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

　1.设集合M＝，N

A．M＝N　　　　　　 B．M⊆N

C．N⊆M   D．M∩N＝∅

B　[由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.]

2．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

B　[∵θ是第三象限角，

∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，

∴的终边落在第二、四象限，

又＝－cos ，∴cos ＜0，∴是第二象限角．]

3．与－2 010°终边相同的最小正角是________．

150°　[与－2 010°终边相同的角可表示为α＝－2 010°＋k·360°，k∈Z，

又当k＝6时，α＝150°，故与－2 010°终边相同的最小正角为150°.]

4．终边在直线y＝x上的角的集合是________．

{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}　[终边在y＝x上的角可表示为α＝k·180°＋60°，k∈Z.]

　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

(2)确定kα，(k∈Z*)的终边位置的方法

先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．

考点2　扇形的弧长、面积公式

　弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．

　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

[解]　(1)α＝60°＝rad，

所以l＝α·R＝×10＝(cm)．

(2)由题意得⇒(舍去)或

故扇形圆心角为rad.

(3)由已知得l＋2R＝20，

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，

此时l＝10 cm，α＝2 rad.

　求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

　1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)

A.   B.

C.3   D.

D　[如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，

作OM⊥AB，垂足为M，

在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，

∴AM＝r，AB＝r，

∴l＝r，

由弧长公式得α＝＝＝.]

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)

A．2   B．sin 2

C．   D．2sin 1

C　[如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.

则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，

且AC＝AB＝1，

在Rt△AOC中，

AO＝＝，

即r＝，

从而的长为l＝α·r＝.故选C.]

3．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.

　[由弧长公式l＝|α|r，

得r＝＝，

所以S扇形＝lr＝×20×＝.]

考点3　三角函数的概念及应用

　三角函数定义问题的常见类型及解题策略

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．

　三角函数定义的应用

　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始

边，角α，β的终边分别与单位圆交于点和，则sin(α＋β)＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

(2)角α终边上一点P(4m，－3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.

(3)角α的终边在直线y＝－x，求sin α，cos α，tan α.

(1)D　(2)±　[(1)由题意可知cos α＝，sin α＝.

cos β＝－，sin β＝，

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×＝－＋

＝.

(2)r＝＝5|m|，

当m＞0时，r＝5m，sin α＝－＝－，cos α＝＝，

∴2sin α＋cos α＝2×＋＝－.

当m＜0时，r＝－5m，sin α＝＝，cos α＝＝－，

∴2sin α＋cos α＝2×＋＝，

∴2sin α＋cos α＝±.]

(3)[解]　由题意tan α＝－，

当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5，∴sin α＝，cos α＝－，

当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，sin α＝－，cos α＝.

　充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．

　三角函数值的符号判断

　(1)若tan α＞0，则(　　)

A．sin α＞0   B．cos α＞0

C．sin 2α＞0   D．cos 2α＞0

(2)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

(1)C　(2)C　[(1)由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.

(2)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，

则α为第二象限角或第三象限角．

由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．]

　判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．

　三角函数线的应用

　[一题多解]函数y＝的定义域为_______．

(k∈Z)　[法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图像，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.

法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

所以定义域为

.]

　利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sin x≥b，cos x≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围．

　1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

B　[∵tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．]

2．(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)

A．－　 　 B． 

C．－　 　 D．

B　[∵r＝，∴cos α＝＝－，

∴m＞0，∴＝，即m＝.]

3．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是(　　)

A．sin α＜tan α＜cos α  　 B．cos α＜sin α＜tan α

C．sin α＜cos α＜tan α  　 D．tan α＜sin α＜cos α

C　[如图，作出角α的正弦线MP，

余弦线OM，正切线AT，

观察可知sin α＜cos α＜tan α.]