2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第9章第10节　圆锥曲线中的证明与存在性问题

第十节　圆锥曲线中的证明与存在性问题

(对应学生用书第168页)

⊙考点1　证明问题

　圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．

(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明，多采用直接法证明，有时也会用到反证法．

　(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，

可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和为

kBM＋kBN＝＋＝. ①

将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得

x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.

综上，∠ABM＝∠ABN.

　把证明∠ABM＝∠ABN转化为证明kBM＋kBN＝0是解题的关键．

　(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，

则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．

由＝得x0＝x，y0＝y.

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.

因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.

(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，

·＝3＋3m－tn，

＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．

由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，

又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.

所以·＝0，即⊥.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

⊙考点2　存在性问题

　圆锥曲线中存在性问题的求解方法

(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．

　(2019·泉州模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量·＝0.

(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；

(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．

[解](1)易知a＝2，因为·＝0，

所以△BF1F2为等腰直角三角形．

所以b＝c，由a2－b2＝c2可知b＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2，

设椭圆的标准方程为＋＝1，点P的坐标为(x0，y0)．

因为F1(－c,0)，B(0，c)，所以＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)，

由题意得·＝0，所以x0＋c＋y0＝0.

又因为点P在椭圆上，所以＋＝1，由以上两式可得3x＋4cx0＝0.

因为P不是椭圆的顶点，

所以x0＝－c，y0＝c，故P.

设圆心为(x1，y1)，则x1＝－c，y1＝c，

圆的半径r＝＝c.

假设存在过点F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y＝k(x－c)，

由相切可知＝r，

所以＝c，

即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－±.

故存在满足条件的直线，其斜率为－±.

　本例第(2)问中，涉及直线与圆相切问题，需要求出圆心和半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列等式求解．

　(2019·哈尔滨模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在圆x2＋y2＝3上是否存在一点P，使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足⊥？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．

[解](1)∵e＝＝，∴3a2＝4b2.

又∵|AB|＝＝3，∴a＝2，b＝.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在点P，使得⊥.

当直线l的斜率不存在时，

l：x＝或x＝－，与椭圆C：＋＝1相交于M，N两点，

此时M，N或M，N，

∴·＝3－＝≠0，

∴当直线l的斜率不存在时，不满足⊥.

当直线l的斜率存在时，设y＝kx＋m，

联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，

∴Δ＞0，化简得4k2＞m2－3.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.

∵·＝0，∴＋＝0，

∴7m2－12k2－12＝0.

又∵直线l与圆x2＋y2＝3相切，∴＝，

∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0，

解得k2＝－1，显然不成立，

∴在圆上不存在这样的点P使⊥成立．