2019版高中数学二轮复习教师用书：专题二　三角函数、解三角形

专题二　三角函数、解三角形

解三角形问题重在“变”——变角、变式

尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．

【典例】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．

(1)求C；

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解题示范]　(1)由已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，❶

即2cos Csin(A＋B)＝sin C，

故2cos Csin C＝sin C．❷

可得cos C＝，所以C＝．

(2)由已知得absin C＝.又C＝，所以ab＝6．

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，即a＋b＝5．

所以△ABC的周长为5＋．

❶变式：利用正弦定理把已知等式中的边a，b，c变为sin A，sin B，sin C．

❷变角：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中sin Acos B＋sin Bcos A变为sin(A＋B)再变为sin C．

“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.