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2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第二部分备考技法专题三9大板块知识系统归纳——熟一熟基础
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备考技法专题三 9 大板块知识系统归纳——熟一熟基础
板块(一) 集合与常用逻辑用语
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；
A＝A∩A，A⊆A∪B，B⊆A∪B；
A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
2．特称命题真假的判断
(1)要判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可．
(2)要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立．
3．充分条件与必要条件的重要结论
(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．
(3)如果p⇒q，但qp，那么p是q的充分不必要条件．
(4)如果q⇒p，且pq，那么p是q的必要不充分条件．
(5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要条件．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
2．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
3．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.
3．已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1,2,5}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{2} B．{1,3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
解析：选B 因为U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝ {x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．因为A＝{1,2,5}，B＝{2,4}，所以A∩B＝{2}，由图可知，阴影部分所表示的集合为∁U(A∩B)＝{1,3,4,5}，故选B.
4．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中真命题的个数是( )
①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C 因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数是2，故选C.
板块(二) 函数与导数
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．基本导数公式
(sin x)′＝cos x；
(cos x)′＝－sin x；
(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝.
2．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；
f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
3．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，T＝2a.
②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
5．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
2．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
4．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出．
5．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a2＋1，则实数a＝( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或3
解析：选D 由题意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3，故选D.
2．(2018·益阳、湘潭调研)函数f(x)＝的图象大致是( )
解析：选B 易知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝＞0，排除D；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝＜0，排除A、C.故选B.
3．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：选C 由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减；当x＞5或－1＜x＜3时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误．
4．(2018·武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝ 2－x＋x2，则f(2)＝________.
解析：法一：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8.
法二：当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝2－(－x)＋(－x)2＝2x＋x2，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2，
∴f(2)＝－22－22＝－8.
答案：－8
5．(2018·郑州第一次质量测试)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0,5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.
答案：
板块(三) 不 等 式
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
4．线性规划中的两个重要结论
(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．
3．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．2 B．11
C．16 D．18
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A(1,1)，B(8,8)，C.分析知当直线z＝3x－y经过点B(8,8)时，z取得最大值，且zmax＝3×8－8＝16，故选C.
3．已知点C在直线AB上，且平面内的任意一点O，满足＝x＋y，x＞0，y＞0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B ∵点C在直线AB上，故存在实数λ使得＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，故选B.
4．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.
∴a的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
板块(四) 三角函数与平面向量
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．由sin α±cos α符号判断α的位置
(1)sin α－cos α＞0⇔α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)；
(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋ cos α>1)．
2．三点共线的判定
A，B，C三点共线⇔，共线；
向量， ，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
3．中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， ＝⇔P为P1P2的中点，中点P的坐标为.
(2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是.
4．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
5．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．
6．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选D 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
2．(2018·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为( )
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，
∴tan＝＝＝±2.
3．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝ cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C f(x)＝ cos－cos 2x＝ cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin ＝2sin ，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象．故选C.
4．已知△ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，若a＝2，sin C＝2sin B且sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B，则c的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B可化为sin Acos B＋sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B，即sin＝，∴A＝，又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即cos B＋sin B＝2sin B，则tan B＝，B＝，则C＝，c＝＝，故选D.
5．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是( )
A. B.
C．6 D．7
解析：选B 不妨设＝＋，＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋ ·＝×(32＋32)＋×＝，故选B.
6．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，c＝(7,1)，若a∥b，则b·c＝________.
解析：∵向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，a∥b，
∴－m－2×2＝0，解得m＝－4，∴b＝(2，－4)，
∵c＝(7,1)，∴b·c＝2×7－4×1＝10.
答案：10
板块(五) 数 列
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．等差数列的重要规律与推论
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(4)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列．
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶， 则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
2．等比数列的重要规律与推论
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.
(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．
(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．
(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(5)等比数列前n项和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；
②＝(q≠±1)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
3．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
4．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
5．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．
6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为( )
A．12 B．11
C．10 D．9
解析：选A 由题意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.
2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选D 设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2,3,4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝⇒aq3＝，两式相除得
＝＋＋＋＝2.
3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．1或2
解析：选B 设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠ －1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.
答案：2
板块(六) 立体几何
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征
(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥．
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥．
(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥．
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱．
(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．
2．长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
3．棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点P是A1B1上一动点(异于A1，B1)，则该三棱柱的侧视图是( )
解析：选C 由正视图与俯视图知，A1B1垂直于投影面，且侧视图为长方形，PC的投影线为虚线，故选C.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )
A．6∶5 B．5∶4
C．4∶3 D．3∶2
解析：选D 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1，S2，则S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝.
3．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B.
C．2＋ D．4＋
解析：选B 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V＝π×13＋π×12×2＝π.
4．(2018·惠州调研)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于①，若l⊥α，则l与α不可能平行，l也不可能在α内，所以l与α相交，①正确；对于②，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则有可能是l⊂α，故②错误；对于③，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正确；对于④，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正确．选C.
5．已知三棱柱ABCA1B1C1的三视图如图所示，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________．
解析：把三视图还原成直观图如图1中三棱柱ABCA1B1C1所示，三棱柱底面为直角三角形，将三棱柱侧面沿AA1剪开，展成如图2所示的矩形A1AA′A′1，连接AA′1，当质点从A沿侧面绕行一周到达点A1的路线为展开图中的线段AA′1时，绕行的路线最短，由三视图得AA1＝5，AA′＝12，所以AA′1＝13.
答案：13
6.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．
解析：设所给半球的半径为R，则四棱锥的高h＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.
答案：π
板块(七) 解析几何
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，d＝r⇔相切(主要掌握几何方法)．
2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
3．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.
4．通径：
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．抛物线焦点弦的常用结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．
5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，选A.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )
A．± B．±1
C．± D．±
解析：选A 设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±， 选A.
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的左、右两个焦点，M是双曲线与椭圆＋＝1的一个公共点，则△MF1F2的面积等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 法一：由得不妨设点M是两曲线在第一象限的交点，则有M，点M到x轴的距离为，由已知可得|F1F2|＝2c＝2，故△MF1F2的面积等于×2×＝4，故选B.
法二：依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点M是两曲线在第一象限的交点，则有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F1F2|2，故△MF1F2是直角三角形，其面积为×4×2＝4.故选B.
4．(2018·福州期末)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，
所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，
又e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.
故双曲线C的方程为x2－＝1.
5．(2018·合肥质检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦长为2，则该双曲线的离心率等于________．
解析：不妨取双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝，又d＝＝，∴＝，化简得a2＝2b2，∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝.
答案：
6．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：如图所示，令|PF1|＝1，
在Rt△PF1F2中，由∠F1PF2＝60°，可知|PF2|＝2，|F1F2|＝，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3,2c＝，所以e＝＝.
答案：
板块(八) 概率与统计
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．直方图的三个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
2．线性回归方程
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
3．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．(2018·南昌调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，
则基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P＝＝.故选C.
2．(2018·重庆调研)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－，]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1
A．24 B．12
C．6 D．48
解析：选A 由频率分布直方图，可知[102,104)与[104,106]上的频率分别为0.125×2＝0.25,0.075×2＝0.15，设样本容量为x，则由题意知x×0.25－x×0.15＝0.1x＝12，所以x＝120.
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
因为2a＋2b＋2c＝1－0.25－0.15＝0.6，
所以b＝0.1.
故数据在区间[98,100)上的频率为2b＝2×0.1＝0.2，该区间上的数据个数共有120×0.2＝24.
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
解析：选D 对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为33－17＝16，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲运动员得分的数据从小到大排列：18,18,19,20,21,26,30,32,33,35,40,41,47，位于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理得乙运动员得分的数据的中位数是26，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，不难得出甲运动员得分的平均值约为29.2，乙运动员得分的平均值为25.0，因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值，故C正确；对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定，可以算出甲的方差s≈×[(19－29.2)2＋(18－29.2)2＋…＋(40－29.2)2]≈88.18，同理，得乙的方差s≈29.54，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．
5．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由表可得回归直线方程＝x＋中的＝－5，据此模型预测零售价为20.5元时，每天的销售量为________个．
解析：因为＝－5x＋，且＝17.5，＝39，所以39＝－5×17.5＋，所以＝126.5，把x＝20.5代入回归方程＝－5x＋126.5中，得＝－5×20.5＋126.5＝24.
答案：24
6．(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为________.
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.
答案：6
板块(九) 复数、算法、推理与证明
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)若ω＝－±i，则ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
2．关于复数模的运算性质
(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；
(2)|z|n＝|zn|；
(3)＝.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．
3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．(2018·太原模拟)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．2i D．－2i
解析：选A ∵＝i，∴z＝＝＝－i，∴＝i.
2．(2018·石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为1，则输出的k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 开始，k＝0，a＝1，所以b＝1；第一次循环，a＝－＝－，此时a≠b；第二次循环，k＝2，a＝－＝－2，此时a≠b；第三次循环，k＝4，a＝－＝1，此时a＝b，结束循环，输出k的值为4，故选D.
3．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是：，则5 288用算筹式可表示为( )
解析：选C 根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，故选C.
附：4套“12＋4”限时提速练
“12＋4”限时提速练(一)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
解析：选B ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故选B.
2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选C 因为(1＋i)z＝2i，
所以z＝＝＝1＋i.
3．设向量a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－3
解析：选A 因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，
所以2m＝m＋1，解得m＝1.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B 由题意可得，数列{an}的通项公式为an＝2n，
又am＝aq6＝210，所以m＝10.
5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝16 B．x2＋(y－6)2＝72
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C 由题意得圆C经过点(0，±2)，
设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由a2＋4＝r2，(6－a)2＝r2，
解得a＝，r2＝，
所以该圆的标准方程为2＋y2＝.
6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88，
所以＝88，
解得m＝3.
因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n＝9.
所以m，n的等差中项为＝＝6.
7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )
A．2 B．2
C．3 D.＋1
解析：选D 因为正方形的边长为，
所以正方形的对角线长为2，
设俯视图中圆的半径为R，
如图，可得R＝＋1.
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A．121 B．81
C．74 D．49
解析：选B 第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40，不满足a≤32，退出循环，输出S的值为81.
9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|≤的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
解析：选B 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤ ＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1AEFD的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选D 连接AF，易知四棱锥A1AEFD的体积为三棱锥FA1AD和三棱锥FA1AE的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则VFA1AD＝××a×h×a＝a2h，VFA1AE＝××a×h×a＝a2h，所以四棱锥A1AEFD的体积为a2h，又a2h＝36，所以四棱锥A1AEFD的体积为12.
11．函数f(x)＝(2x2＋3x)ex的图象大致是( )
解析：选A 由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；又f′(x)＝(2x2＋7x＋3)ex，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A.
12．已知函数f(x)＝ln x＋x与g(x)＝ax2＋ax－1(a＞0)的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设T(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－ax2－ax＋1，由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)·＝(x＋1)··(1－ax)．
因为a＞0，x＞0，
所以T(x)在上单调递增，
在上单调递减，如图，
当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，
所以T＝0，即ln ＋－－1＋1＝0，
所以ln＋＝0.
因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，
所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．
当a＝时，ln＋>0，
当a＝1时，ln ＋＝＞0，
当a＝时，ln＋＜0，
当a＝2时，ln ＋＜0，
所以a∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由f(x)＋f(－x)＝0，
得＋＝0，
即ax＝0，则a＝0.
答案：0
14．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，平移该直线，
当直线经过点A时，z取得最大值．
联立
解得所以zmax＝3×(－1)＋＝.
答案：
15．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线－y2＝1有相同渐近线，焦点位于x轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．
解析：与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－y2＝λ，
因为双曲线焦点在x轴上，故λ＞0，
又焦点到渐近线的距离为2，所以λ＝4，
所求方程为－＝1.
答案：－＝1
16．如图所示，在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，若BE＝2DE，S△ADE＝，则＝________.
解析：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，
由正弦定理得＝，
所以sin∠ABC＝.
又∠ABC为锐角，所以cos∠ABC＝.
因为BE＝2DE，所以S△ABE＝2S△ADE.
又因为S△ADE＝，所以S△ABD＝4.
因为S△ABD＝×BD×AB×sin∠ABC，所以BD＝6.
由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，可得AD＝4.
因为S△ABE＝×AB×AE×sin∠BAE，
S△DAE＝×AD×AE×sin∠DAE，
所以＝2×＝4.
答案：4
“12＋4”限时提速练(二)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，
所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
2．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B＝( )
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A ∵≤2x＜ ，∴－1≤x＜，
∴A＝.
∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，
∴A∩B＝.
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为函数y＝2x是R上的增函数，
所以函数f(x)的值域是(0,1)，
由几何概型的概率公式得，所求概率P＝＝.
4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则·＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，在上的投影||cos〈，〉＝||＝2，∴·＝||||cos〈，〉＝4.
5．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．－3 B.
C．3 D．4
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．由得所以B(2，－1)，故zmax＝2×2－1＝3.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是( )
A．i≤4? B．i≥4?
C．i≤5? D．i≥5?
解析：选C 执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.
7．将函数y＝2sincos的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意可得y＝sin，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.
8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )
A．82平方里 B．83平方里
C．84平方里 D．85平方里
解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝＝84(平方里)．故选C.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.
10．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，又函数f(x)在[－2,0]上单调递增，∴函数f(x)在[0,2]上单调递减，∵f(x－1)≤f(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴解得－1≤x≤.
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a4a12＝81，则＋的最小值是( )
A. B．9
C．1 D．3
解析：选C 因为{an}为等比数列，
所以a1a11＋2a5a9＋a4a12＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝81，
又因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a6＋a8＝9，
所以＋＝(a6＋a8)＝5＋＋≥＝1，
当且仅当＝，a6＋a8＝9，即a6＝3，a8＝6时等号成立，所以＋的最小值是1.
12．过抛物线y＝x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若 △ABC为正三角形，则其边长为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 由题意可知，焦点F(0,1)，
易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立消去y，得x2－4kx－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
设线段AB的中点为M，则M(2k,2k2＋1)，
|AB|＝
＝＝4(1＋k2)．
设C(m，－1)，连接MC，
∵△ABC为等边三角形，
∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，
点C(m，－1)到直线y＝kx＋1的距离|MC|＝＝|AB|，
∴＝×4(1＋k2)，
即＝2(1＋k2)，
解得k＝±，
∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.
答案：5
14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．
解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；
若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；
若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．
答案：乙
15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：由F(－c,0)，A(0，b)，
得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，
所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
答案：
16．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．
解析：记该直角三角形为△ABC，且AC为斜边．
法一：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
取AC的中点O，连接BO，∴BO＝AC，
∴AC取得最小值即BO取得最小值，即点B到平面ADEF的距离．
∵△AHD是边长为2的正三角形，
∴点B到平面ADEF的距离为，
∴AC的最小值为2.
法二：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
设BH＝m(m≥0)，CD＝n(n≥0)，
∴AB2＝4＋m2，BC2＝4＋(n－m)2，AC2＝4＋n2.
∵AC为Rt△ABC的斜边，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即4＋m2＋4＋(n－m)2＝4＋n2，
∴m2－nm＋2＝0，
∴m≠0，n＝＝m＋，
∴AC2＝4＋2≥4＋8＝12，当且仅当m＝，即m＝时等号成立，
∴AC≥2，故AC的最小值为2.
答案：2
“12＋4”限时提速练(三)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a，b∈R，复数a＋bi＝，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选C 因为a＋bi＝＝＝＝－1＋i，
所以a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
2．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D 由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为sin ＝sin＝sin ＝，cos ＝cos ＝－cos ＝ －，
所以点在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r＝＝1，
所以sin α＝－.
4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．
根据该统计图判断，下列结论正确的是( )
A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差
D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图，该四棱锥的高h＝，底面ABCD是边长分别为2，的矩形，所以该四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×h＝×2××＝2.故选D.
6．在如图所示的程序框图中，如果输入a＝1，b＝1，则输出的S＝( )
A．7 B．20
C．22 D．54
解析：选B 执行程序，a＝1，b＝1，S＝0，k＝0，k≤4，S＝2，a＝2，b＝3；k＝2，k≤4，S＝7，a＝5，b＝8；k＝4，k≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝6，不满足k≤4，退出循环．则输出的S＝20.
7．已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A．3＋或3－ B．3＋2或3－2
C．9或－3 D．8或－2
解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，|AC|＝，∠ACD＝60°，所以|CD|＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±.
8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0
A. B.
C. D.
解析：选B 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
所以bn＝log2an＝
当n≥2时，＝＝－，
所以＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－＝.
10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
解析：选C 法一：当x≥1时，由ln x＋1＝2，得x＝e.由方程f(x)＝2有两个解知，当 x＜1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，所以当x＜1时，g(x)＝0有唯一解，
则g(1)＜0，得a＜5，故选C.
法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x＜1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则a－3<2，得a<5.
11．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义得|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，
所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，
在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos 60°，
化简得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A f′(x)＝＋＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝2或ex＝kx2(x＞0)．
由x＝2是函数f(x)的唯一极值点知ex≥kx2(x＞0)恒成立或ex≤kx2(x＞0)恒成立，
由y＝ex(x＞0)和y＝kx2(x＞0)的图象可知，只能是ex≥kx2(x＞0)恒成立．
当x＞0时，由ex≥kx2，得k≤.
设g(x)＝，则k≤g(x)min.
由g′(x)＝，得当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)min＝g(2)＝，所以k≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
解析：法一：因为|2a＋b|＝2，
所以4a2＋4a·b＋b2＝8.
因为a⊥b，所以a·b＝0.
又|a|＝1，所以4×1＋4×0＋b2＝8，所以|b|＝2.
法二：如图，作出＝2a，＝b，＝2a＋b，
因为a⊥b，所以OA⊥OB，
因为|a|＝1，|2a＋b|＝2，
所以||＝2，||＝2，
所以||＝|b|＝2.
法三：因为a⊥b，所以以O为坐标原点，以a，b的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b＝(0，y)(y＞0)，则2a＋b＝(2，y)，因为|2a＋b|＝2，所以4＋y2＝8，解得y＝2，所以|b|＝2.
答案：2
14．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，4)时，目标函数z＝x＋3y取得最大值，且zmax＝12.
答案：12
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：由＝及正弦定理，得＝，即tan A＝tan B，所以A＝B，即a＝b.由cos C＝且c＝3，结合余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，得a＝b＝，又sin C＝＝，所以△ABC的面积S＝absin C＝.
答案：
16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．
解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，
∴PA＝PB＝2.
∵C，D分别为PA，AB的中点，
∴PC＝CD＝且PC⊥CD.
连接PG，P′G，∵G为CD的中点，∴PG＝P′G＝.
连接HG，
∵点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，
∴P′H⊥平面α，∴P′H⊥HG，∴HG＜P′G＝.
易知点G到线段AB的距离为，
∴HG≥，∴≤HG＜.
又P′H＝，
∴0＜P′H≤.
答案：
“12＋4”限时提速练(四)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z＝的共轭复数对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 复数z＝＝＝＝＋i，
则复数z的共轭复数为＝－i，
所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是，该点位于第四象限．
2．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[0,1] D．(0,2]
解析：选B 由≥1得≤0，
解得0
则N＝{y|y≤1}，
因此M∩N＝{x|0
A．52 B．78
C．104 D．208
解析：选C 依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝ －2x，则f(1)＋f(4)等于( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，
又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，
又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，
所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选C 依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.
7．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，故所求概率P(y≤2x)＝＝.
8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，2，4，则其外接球的表面积为( )
A．48π B．32π
C．20π D．12π
解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝ ＝2，因此三棱锥外接球的表面积为4πR2＝32π.
9．已知点P，A，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，P(x 2，y 2)，则B(－x1，－y 1)，所以两式相减得＝，即＝，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB＝·＝＝＝，所以双曲线的离心率为e＝＝ ＝.
10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 依题意得，函数y＝sin＝sin是奇函数，则sin＝0，又|φ|<，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以f(x)＝sin∈，所以f(x)＝sin在上的最小值为－.
11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝x3－3x，则方程f[f(x)]＝1的实根的个数是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
解析：选A 依题意得f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1
在平面直角坐标系内画出直线y＝1与函数y＝f(x)的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，
记这三个交点的横坐标由小到大依次为x1，x2，x3，
则－
所以方程f[f(x)]＝1的实根个数是9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________.
解析：因为当x<0时，f(x)＝2x，令x>0，则－x<0，故f(－x)＝2－x，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－2－x，又因为log49＝log23>0，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.
答案：－
14．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，
所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝，
两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
15．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△ABC的面积为，则抛物线的方程为________．
解析：如图，可得|BF|＝，则由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，所以××＝，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
16．在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.设cn＝＋，则数列{cn}的前2 018项和为________．
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，所以＝2，
所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
即an＋bn＝2n，将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘，得＝2，
所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以anbn＝2n－1，因为cn＝＋，
所以cn＝＝＝2，
数列{cn}的前2 018项和为2×2 018＝4 036.
答案：4 036
板块(一) 集合与常用逻辑用语
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；
A＝A∩A，A⊆A∪B，B⊆A∪B；
A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
2．特称命题真假的判断
(1)要判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可．
(2)要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立．
3．充分条件与必要条件的重要结论
(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．
(3)如果p⇒q，但qp，那么p是q的充分不必要条件．
(4)如果q⇒p，且pq，那么p是q的必要不充分条件．
(5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要条件．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
2．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
3．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.
3．已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1,2,5}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{2} B．{1,3,4,5}
C．{1,2,3,4,5} D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
解析：选B 因为U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝ {x∈Z|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}．因为A＝{1,2,5}，B＝{2,4}，所以A∩B＝{2}，由图可知，阴影部分所表示的集合为∁U(A∩B)＝{1,3,4,5}，故选B.
4．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中真命题的个数是( )
①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C 因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数是2，故选C.
板块(二) 函数与导数
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．基本导数公式
(sin x)′＝cos x；
(cos x)′＝－sin x；
(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex；
(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝.
2．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；
f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
3．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，T＝2a.
②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
5．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
2．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
4．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出．
5．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a2＋1，则实数a＝( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或3
解析：选D 由题意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋2a，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3，故选D.
2．(2018·益阳、湘潭调研)函数f(x)＝的图象大致是( )
解析：选B 易知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝＞0，排除D；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝＜0，排除A、C.故选B.
3．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：选C 由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减；当x＞5或－1＜x＜3时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误．
4．(2018·武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝ 2－x＋x2，则f(2)＝________.
解析：法一：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8.
法二：当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝2－(－x)＋(－x)2＝2x＋x2，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2，
∴f(2)＝－22－22＝－8.
答案：－8
5．(2018·郑州第一次质量测试)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0,5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.
答案：
板块(三) 不 等 式
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
4．线性规划中的两个重要结论
(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
2．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．
3．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2,3)，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C 由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
2．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．2 B．11
C．16 D．18
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A(1,1)，B(8,8)，C.分析知当直线z＝3x－y经过点B(8,8)时，z取得最大值，且zmax＝3×8－8＝16，故选C.
3．已知点C在直线AB上，且平面内的任意一点O，满足＝x＋y，x＞0，y＞0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B ∵点C在直线AB上，故存在实数λ使得＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，故选B.
4．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.
∴a的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
板块(四) 三角函数与平面向量
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．由sin α±cos α符号判断α的位置
(1)sin α－cos α＞0⇔α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)；
(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋ cos α>1)．
2．三点共线的判定
A，B，C三点共线⇔，共线；
向量， ，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
3．中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， ＝⇔P为P1P2的中点，中点P的坐标为.
(2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是.
4．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
5．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．
6．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选D 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
2．(2018·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为( )
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，
∴tan＝＝＝±2.
3．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝ cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C f(x)＝ cos－cos 2x＝ cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin ＝2sin ，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象．故选C.
4．已知△ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，若a＝2，sin C＝2sin B且sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B，则c的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B可化为sin Acos B＋sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B，即sin＝，∴A＝，又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即cos B＋sin B＝2sin B，则tan B＝，B＝，则C＝，c＝＝，故选D.
5．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是( )
A. B.
C．6 D．7
解析：选B 不妨设＝＋，＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋ ·＝×(32＋32)＋×＝，故选B.
6．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，c＝(7,1)，若a∥b，则b·c＝________.
解析：∵向量a＝(－1,2)，b＝(2，m)，a∥b，
∴－m－2×2＝0，解得m＝－4，∴b＝(2，－4)，
∵c＝(7,1)，∴b·c＝2×7－4×1＝10.
答案：10
板块(五) 数 列
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．等差数列的重要规律与推论
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(4)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列．
(5)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶， 则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
2．等比数列的重要规律与推论
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.
(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．
(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．
(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(5)等比数列前n项和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；
②＝(q≠±1)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．
3．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
4．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．
5．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．
6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为( )
A．12 B．11
C．10 D．9
解析：选A 由题意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.
2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选D 设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2,3,4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝⇒aq3＝，两式相除得
＝＋＋＋＝2.
3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
A．2 B.
C. D．1或2
解析：选B 设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠ －1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.
答案：2
板块(六) 立体几何
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征
(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥．
(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥．
(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥．
(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱．
(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．
2．长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
3．棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点P是A1B1上一动点(异于A1，B1)，则该三棱柱的侧视图是( )
解析：选C 由正视图与俯视图知，A1B1垂直于投影面，且侧视图为长方形，PC的投影线为虚线，故选C.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )
A．6∶5 B．5∶4
C．4∶3 D．3∶2
解析：选D 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1，S2，则S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝.
3．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B.
C．2＋ D．4＋
解析：选B 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V＝π×13＋π×12×2＝π.
4．(2018·惠州调研)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于①，若l⊥α，则l与α不可能平行，l也不可能在α内，所以l与α相交，①正确；对于②，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则有可能是l⊂α，故②错误；对于③，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正确；对于④，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正确．选C.
5．已知三棱柱ABCA1B1C1的三视图如图所示，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________．
解析：把三视图还原成直观图如图1中三棱柱ABCA1B1C1所示，三棱柱底面为直角三角形，将三棱柱侧面沿AA1剪开，展成如图2所示的矩形A1AA′A′1，连接AA′1，当质点从A沿侧面绕行一周到达点A1的路线为展开图中的线段AA′1时，绕行的路线最短，由三视图得AA1＝5，AA′＝12，所以AA′1＝13.
答案：13
6.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．
解析：设所给半球的半径为R，则四棱锥的高h＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.
答案：π
板块(七) 解析几何
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d
2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
3．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.
4．通径：
(1)椭圆通径长为；
(2)双曲线通径长为；
(3)抛物线通径长为2p.
5．抛物线焦点弦的常用结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．
5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，选A.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )
A．± B．±1
C．± D．±
解析：选A 设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±， 选A.
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的左、右两个焦点，M是双曲线与椭圆＋＝1的一个公共点，则△MF1F2的面积等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 法一：由得不妨设点M是两曲线在第一象限的交点，则有M，点M到x轴的距离为，由已知可得|F1F2|＝2c＝2，故△MF1F2的面积等于×2×＝4，故选B.
法二：依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点M是两曲线在第一象限的交点，则有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F1F2|2，故△MF1F2是直角三角形，其面积为×4×2＝4.故选B.
4．(2018·福州期末)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，
所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，
又e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.
故双曲线C的方程为x2－＝1.
5．(2018·合肥质检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦长为2，则该双曲线的离心率等于________．
解析：不妨取双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝，又d＝＝，∴＝，化简得a2＝2b2，∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝.
答案：
6．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：如图所示，令|PF1|＝1，
在Rt△PF1F2中，由∠F1PF2＝60°，可知|PF2|＝2，|F1F2|＝，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3,2c＝，所以e＝＝.
答案：
板块(八) 概率与统计
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．直方图的三个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
2．线性回归方程
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
3．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．(2018·南昌调研)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，
则基本事件有：(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P＝＝.故选C.
2．(2018·重庆调研)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－，]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1
A．24 B．12
C．6 D．48
解析：选A 由频率分布直方图，可知[102,104)与[104,106]上的频率分别为0.125×2＝0.25,0.075×2＝0.15，设样本容量为x，则由题意知x×0.25－x×0.15＝0.1x＝12，所以x＝120.
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
因为2a＋2b＋2c＝1－0.25－0.15＝0.6，
所以b＝0.1.
故数据在区间[98,100)上的频率为2b＝2×0.1＝0.2，该区间上的数据个数共有120×0.2＝24.
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
解析：选D 对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为33－17＝16，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲运动员得分的数据从小到大排列：18,18,19,20,21,26,30,32,33,35,40,41,47，位于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理得乙运动员得分的数据的中位数是26，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，不难得出甲运动员得分的平均值约为29.2，乙运动员得分的平均值为25.0，因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值，故C正确；对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定，可以算出甲的方差s≈×[(19－29.2)2＋(18－29.2)2＋…＋(40－29.2)2]≈88.18，同理，得乙的方差s≈29.54，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．
5．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由表可得回归直线方程＝x＋中的＝－5，据此模型预测零售价为20.5元时，每天的销售量为________个．
解析：因为＝－5x＋，且＝17.5，＝39，所以39＝－5×17.5＋，所以＝126.5，把x＝20.5代入回归方程＝－5x＋126.5中，得＝－5×20.5＋126.5＝24.
答案：24
6．(2018·武汉调研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为________.
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.
答案：6
板块(九) 复数、算法、推理与证明
(一)巧用解题结论，考场快速抢分
1．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)若ω＝－±i，则ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
2．关于复数模的运算性质
(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；
(2)|z|n＝|zn|；
(3)＝.
(二)明辨易错易混，谨防无谓失分
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．
3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．
(三)演练经典小题，做好考前热身
1．(2018·太原模拟)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．2i D．－2i
解析：选A ∵＝i，∴z＝＝＝－i，∴＝i.
2．(2018·石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为1，则输出的k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 开始，k＝0，a＝1，所以b＝1；第一次循环，a＝－＝－，此时a≠b；第二次循环，k＝2，a＝－＝－2，此时a≠b；第三次循环，k＝4，a＝－＝1，此时a＝b，结束循环，输出k的值为4，故选D.
3．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是：，则5 288用算筹式可表示为( )
解析：选C 根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，故选C.
附：4套“12＋4”限时提速练
“12＋4”限时提速练(一)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
解析：选B ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故选B.
2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选C 因为(1＋i)z＝2i，
所以z＝＝＝1＋i.
3．设向量a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－3
解析：选A 因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，
所以2m＝m＋1，解得m＝1.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B 由题意可得，数列{an}的通项公式为an＝2n，
又am＝aq6＝210，所以m＝10.
5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝16 B．x2＋(y－6)2＝72
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C 由题意得圆C经过点(0，±2)，
设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由a2＋4＝r2，(6－a)2＝r2，
解得a＝，r2＝，
所以该圆的标准方程为2＋y2＝.
6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88，
所以＝88，
解得m＝3.
因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n＝9.
所以m，n的等差中项为＝＝6.
7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )
A．2 B．2
C．3 D.＋1
解析：选D 因为正方形的边长为，
所以正方形的对角线长为2，
设俯视图中圆的半径为R，
如图，可得R＝＋1.
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A．121 B．81
C．74 D．49
解析：选B 第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40，不满足a≤32，退出循环，输出S的值为81.
9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|≤的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
解析：选B 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤ ＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1AEFD的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选D 连接AF，易知四棱锥A1AEFD的体积为三棱锥FA1AD和三棱锥FA1AE的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则VFA1AD＝××a×h×a＝a2h，VFA1AE＝××a×h×a＝a2h，所以四棱锥A1AEFD的体积为a2h，又a2h＝36，所以四棱锥A1AEFD的体积为12.
11．函数f(x)＝(2x2＋3x)ex的图象大致是( )
解析：选A 由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；又f′(x)＝(2x2＋7x＋3)ex，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A.
12．已知函数f(x)＝ln x＋x与g(x)＝ax2＋ax－1(a＞0)的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设T(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－ax2－ax＋1，由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)·＝(x＋1)··(1－ax)．
因为a＞0，x＞0，
所以T(x)在上单调递增，
在上单调递减，如图，
当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，
所以T＝0，即ln ＋－－1＋1＝0，
所以ln＋＝0.
因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，
所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．
当a＝时，ln＋>0，
当a＝1时，ln ＋＝＞0，
当a＝时，ln＋＜0，
当a＝2时，ln ＋＜0，
所以a∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由f(x)＋f(－x)＝0，
得＋＝0，
即ax＝0，则a＝0.
答案：0
14．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，平移该直线，
当直线经过点A时，z取得最大值．
联立
解得所以zmax＝3×(－1)＋＝.
答案：
15．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线－y2＝1有相同渐近线，焦点位于x轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．
解析：与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－y2＝λ，
因为双曲线焦点在x轴上，故λ＞0，
又焦点到渐近线的距离为2，所以λ＝4，
所求方程为－＝1.
答案：－＝1
16．如图所示，在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，若BE＝2DE，S△ADE＝，则＝________.
解析：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，
由正弦定理得＝，
所以sin∠ABC＝.
又∠ABC为锐角，所以cos∠ABC＝.
因为BE＝2DE，所以S△ABE＝2S△ADE.
又因为S△ADE＝，所以S△ABD＝4.
因为S△ABD＝×BD×AB×sin∠ABC，所以BD＝6.
由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，可得AD＝4.
因为S△ABE＝×AB×AE×sin∠BAE，
S△DAE＝×AD×AE×sin∠DAE，
所以＝2×＝4.
答案：4
“12＋4”限时提速练(二)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，
所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
2．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B＝( )
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A ∵≤2x＜ ，∴－1≤x＜，
∴A＝.
∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，
∴A∩B＝.
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为函数y＝2x是R上的增函数，
所以函数f(x)的值域是(0,1)，
由几何概型的概率公式得，所求概率P＝＝.
4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则·＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，在上的投影||cos〈，〉＝||＝2，∴·＝||||cos〈，〉＝4.
5．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．－3 B.
C．3 D．4
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．由得所以B(2，－1)，故zmax＝2×2－1＝3.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是( )
A．i≤4? B．i≥4?
C．i≤5? D．i≥5?
解析：选C 执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.
7．将函数y＝2sincos的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意可得y＝sin，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.
8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )
A．82平方里 B．83平方里
C．84平方里 D．85平方里
解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝＝84(平方里)．故选C.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.
10．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，又函数f(x)在[－2,0]上单调递增，∴函数f(x)在[0,2]上单调递减，∵f(x－1)≤f(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴解得－1≤x≤.
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a4a12＝81，则＋的最小值是( )
A. B．9
C．1 D．3
解析：选C 因为{an}为等比数列，
所以a1a11＋2a5a9＋a4a12＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝81，
又因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a6＋a8＝9，
所以＋＝(a6＋a8)＝5＋＋≥＝1，
当且仅当＝，a6＋a8＝9，即a6＝3，a8＝6时等号成立，所以＋的最小值是1.
12．过抛物线y＝x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若 △ABC为正三角形，则其边长为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 由题意可知，焦点F(0,1)，
易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立消去y，得x2－4kx－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
设线段AB的中点为M，则M(2k,2k2＋1)，
|AB|＝
＝＝4(1＋k2)．
设C(m，－1)，连接MC，
∵△ABC为等边三角形，
∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，
点C(m，－1)到直线y＝kx＋1的距离|MC|＝＝|AB|，
∴＝×4(1＋k2)，
即＝2(1＋k2)，
解得k＝±，
∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.
答案：5
14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．
解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；
若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；
若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．
答案：乙
15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：由F(－c,0)，A(0，b)，
得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，
联立得消去x得，yB＝.
由＝3，得yB＝4b，
所以＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝.
答案：
16．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．
解析：记该直角三角形为△ABC，且AC为斜边．
法一：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
取AC的中点O，连接BO，∴BO＝AC，
∴AC取得最小值即BO取得最小值，即点B到平面ADEF的距离．
∵△AHD是边长为2的正三角形，
∴点B到平面ADEF的距离为，
∴AC的最小值为2.
法二：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
设BH＝m(m≥0)，CD＝n(n≥0)，
∴AB2＝4＋m2，BC2＝4＋(n－m)2，AC2＝4＋n2.
∵AC为Rt△ABC的斜边，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即4＋m2＋4＋(n－m)2＝4＋n2，
∴m2－nm＋2＝0，
∴m≠0，n＝＝m＋，
∴AC2＝4＋2≥4＋8＝12，当且仅当m＝，即m＝时等号成立，
∴AC≥2，故AC的最小值为2.
答案：2
“12＋4”限时提速练(三)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a，b∈R，复数a＋bi＝，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选C 因为a＋bi＝＝＝＝－1＋i，
所以a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
2．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D 由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为sin ＝sin＝sin ＝，cos ＝cos ＝－cos ＝ －，
所以点在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r＝＝1，
所以sin α＝－.
4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．
根据该统计图判断，下列结论正确的是( )
A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差
D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图，该四棱锥的高h＝，底面ABCD是边长分别为2，的矩形，所以该四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×h＝×2××＝2.故选D.
6．在如图所示的程序框图中，如果输入a＝1，b＝1，则输出的S＝( )
A．7 B．20
C．22 D．54
解析：选B 执行程序，a＝1，b＝1，S＝0，k＝0，k≤4，S＝2，a＝2，b＝3；k＝2，k≤4，S＝7，a＝5，b＝8；k＝4，k≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝6，不满足k≤4，退出循环．则输出的S＝20.
7．已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A．3＋或3－ B．3＋2或3－2
C．9或－3 D．8或－2
解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，|AC|＝，∠ACD＝60°，所以|CD|＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±.
8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0
A. B.
C. D.
解析：选B 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
所以bn＝log2an＝
当n≥2时，＝＝－，
所以＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－
＝2－＝.
10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
解析：选C 法一：当x≥1时，由ln x＋1＝2，得x＝e.由方程f(x)＝2有两个解知，当 x＜1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，所以当x＜1时，g(x)＝0有唯一解，
则g(1)＜0，得a＜5，故选C.
法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x＜1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则a－3<2，得a<5.
11．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义得|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，
所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，
在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos 60°，
化简得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A f′(x)＝＋＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝2或ex＝kx2(x＞0)．
由x＝2是函数f(x)的唯一极值点知ex≥kx2(x＞0)恒成立或ex≤kx2(x＞0)恒成立，
由y＝ex(x＞0)和y＝kx2(x＞0)的图象可知，只能是ex≥kx2(x＞0)恒成立．
当x＞0时，由ex≥kx2，得k≤.
设g(x)＝，则k≤g(x)min.
由g′(x)＝，得当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)min＝g(2)＝，所以k≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
解析：法一：因为|2a＋b|＝2，
所以4a2＋4a·b＋b2＝8.
因为a⊥b，所以a·b＝0.
又|a|＝1，所以4×1＋4×0＋b2＝8，所以|b|＝2.
法二：如图，作出＝2a，＝b，＝2a＋b，
因为a⊥b，所以OA⊥OB，
因为|a|＝1，|2a＋b|＝2，
所以||＝2，||＝2，
所以||＝|b|＝2.
法三：因为a⊥b，所以以O为坐标原点，以a，b的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b＝(0，y)(y＞0)，则2a＋b＝(2，y)，因为|2a＋b|＝2，所以4＋y2＝8，解得y＝2，所以|b|＝2.
答案：2
14．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，4)时，目标函数z＝x＋3y取得最大值，且zmax＝12.
答案：12
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：由＝及正弦定理，得＝，即tan A＝tan B，所以A＝B，即a＝b.由cos C＝且c＝3，结合余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，得a＝b＝，又sin C＝＝，所以△ABC的面积S＝absin C＝.
答案：
16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．
解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，
∴PA＝PB＝2.
∵C，D分别为PA，AB的中点，
∴PC＝CD＝且PC⊥CD.
连接PG，P′G，∵G为CD的中点，∴PG＝P′G＝.
连接HG，
∵点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，
∴P′H⊥平面α，∴P′H⊥HG，∴HG＜P′G＝.
易知点G到线段AB的距离为，
∴HG≥，∴≤HG＜.
又P′H＝，
∴0＜P′H≤.
答案：
“12＋4”限时提速练(四)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z＝的共轭复数对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 复数z＝＝＝＝＋i，
则复数z的共轭复数为＝－i，
所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是，该点位于第四象限．
2．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[0,1] D．(0,2]
解析：选B 由≥1得≤0，
解得0
则N＝{y|y≤1}，
因此M∩N＝{x|0
A．52 B．78
C．104 D．208
解析：选C 依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝ －2x，则f(1)＋f(4)等于( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，
又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，
又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，
所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选C 依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.
7．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，故所求概率P(y≤2x)＝＝.
8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，2，4，则其外接球的表面积为( )
A．48π B．32π
C．20π D．12π
解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝ ＝2，因此三棱锥外接球的表面积为4πR2＝32π.
9．已知点P，A，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，P(x 2，y 2)，则B(－x1，－y 1)，所以两式相减得＝，即＝，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB＝·＝＝＝，所以双曲线的离心率为e＝＝ ＝.
10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 依题意得，函数y＝sin＝sin是奇函数，则sin＝0，又|φ|<，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以f(x)＝sin∈，所以f(x)＝sin在上的最小值为－.
11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝x3－3x，则方程f[f(x)]＝1的实根的个数是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
解析：选A 依题意得f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1
在平面直角坐标系内画出直线y＝1与函数y＝f(x)的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，
记这三个交点的横坐标由小到大依次为x1，x2，x3，
则－
所以方程f[f(x)]＝1的实根个数是9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________.
解析：因为当x<0时，f(x)＝2x，令x>0，则－x<0，故f(－x)＝2－x，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－2－x，又因为log49＝log23>0，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.
答案：－
14．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，
所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝，
两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
15．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△ABC的面积为，则抛物线的方程为________．
解析：如图，可得|BF|＝，则由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，所以××＝，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
16．在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.设cn＝＋，则数列{cn}的前2 018项和为________．
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，所以＝2，
所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
即an＋bn＝2n，将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘，得＝2，
所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以anbn＝2n－1，因为cn＝＋，
所以cn＝＝＝2，
数列{cn}的前2 018项和为2×2 018＝4 036.
答案：4 036
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