2020届高考数学二轮教师用书：第三章第4节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示．

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义

当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中各个字母的含义

A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移个单位，简称为相位变换．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　 )

(2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　 )

(3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．(　　 )

(4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　　 )

(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

[小题查验]

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　 )

解析：A　[令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.]

2．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．1

C.  D．2

解析：D　[根据题意平移后函数的解析式为

y＝sin ω，

将代入得sin ＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为2.]

3．(教材改编)函数y＝sin的振幅为　________　，周期为　________　，初相为　________　.

答案：　4π　－

4．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0) 两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2  B.

C．1  D.

解析：A　[由正弦函数图象可知＝x2－x1＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝＝2.]

5．把函数y＝sin 的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为　________　.

解析：将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．

答案：y＝sin

考点一　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主练透)

[题组集训]

1．(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　 )

A．y＝2sin　　　　 B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

解析：A　[由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.]

2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f等于(　　 )

A．2＋  B.

C.  D．2－

解析：B　[由图形知，T＝＝2＝，∴ω＝2.

由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z.

又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，

知A＝1，∴f(x)＝tan，

∴f＝tan ＝tan＝.]

3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)图象的最高点的纵坐标是4，相邻的两对称中心的距离为，图象经过点，则函数f(x)的解析式为　________　.

解析：由题意知A＝4，T＝2×＝π(相邻两对称中心的距离是半个周期)，∴＝π，则ω＝2，

∴f(x)＝4sin(2x＋φ)．又函数图象经过点，

∴4sin＝0，

∴φ＋＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．

又|φ|<π，∴φ＝－或φ＝.

∴f(x)＝4sin或f(x)＝4sin.

答案：f(x)＝4sin或f(x)＝4sin

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；

(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

考点二　由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(子母变式)

[母题]　(2016·全国Ⅰ卷)将函数y＝2 sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

[解析]　D　[函数y＝2sin的周期为T＝＝π，所以函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即为函数y＝2sin 的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y＝2sin，

即y＝2sin，故选D.]

[子题1]　将母题变为：由函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到y＝2sin的图象？

解：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝

2sin的图象．

[子题2]　将母题中函数y＝2sin 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为　________　.

解析：把y＝2sin图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝2sin [2(x＋m)＋]的图象，此图象关于y轴对称．则2m＋＝kπ＋(k∈Z)，m＝kπ＋(k∈Z)，m＞0，∴m的最小值为.

答案：

[子题3]　将母题变为：若将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为　________　.

解析：将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝tan(ω＞0)的图象，与函数y＝tan的图象重合，所以－＝＋kπ(k∈Z)，所以k＝0时，ω的最小值为.

答案：

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法

(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

易错警示：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

考点三　三角函数模型及其应用(师生共研)

数学建模——三角函数实际问题中的核心素养

数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．

[典例]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cos t－sint，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

[思维导引]　利用辅助角公式将f(t)＝10－cost－sint化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式就可以转化为求f(t)的最值问题和解不等式f(t)>11求t的取值范围问题．

解：(1)因为f(t)＝10－2

＝10－2sin，

又0≤t<24，所以≤t＋<，

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值是12 ℃，取得最小值8 ℃.

故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，

故有10－2sin>11，

即sin<－.

又0≤t<24，因此<t＋<，

即10<t<18.

故在10时至18时实验室需要降温．

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．

[跟踪训练]

如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

(2)观察图象，可知从8～14时的图象是y＝

Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．

∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.

∴＝14－8＝·，∴ω＝，

∴y＝10sin＋40.

将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．

1．(2020·惠州市模拟)将函数y＝sin 的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增(　　 )

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：C　[函数y＝sin 的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象；再往上平移1个单位，得到函数y＝sin ＋1的图象；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，所得图象对应的函数在区间上单调递增．故选C.]

2．(2020·吴忠市模拟)已知函数f(x)＝sin ，要得到g(x)＝cos x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　 )

A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位

解析：D　[将函数y＝f(x)＝sin 的图象向左平移个单位，可得y＝sin ＝cos x的图象，故选D.]

3．(2020·长沙市一模)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点(3，)，则f的值为(　　 )

A.  B.

C．2  D．2

解析：A　[由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T＝π，那么ω＝2，角φ的终边经过点(3，)，在第一象限．即tan φ＝，∴φ＝.故得f(x)＝sin ，

则f＝sin ＝cos ＝.]

4．(2020·永州市模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　 )

A.  B.

C．－  D．－

解析：D　[函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到函数

y＝sin ＝sin 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－，f(x)＝sin .由题意x∈，得2x－∈，∴sin ∈

∴函数y＝sin 在区间的最小值为－.]

5．(2020·呼伦贝尔市一模)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，那么中午12时温度的近似值(精确到1℃)是(　　 )

A．25 ℃  B．26 ℃

C．27 ℃  D．28 ℃

解析：C　[由函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的图象，可得b＝20，A＝＝10，·＝14－6，得ω＝.再根据五点法作图可得·6＋φ＝，φ＝，故 y＝10sin ＋20.

令x＝12，求得y＝5＋20≈27，故选C.]

6．函数y＝sin x－ cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移　______　个单位长度得到．

解析：∵y＝sin x－cos x＝2sin ，

f(x)＝2sin x，

∴f(x－φ)＝2sin (x－φ)(φ＞0)，

依题意可得2sin(x－φ)＝2sin，

∴－φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝－2kπ＋(k∈Z)，

当k＝0时，正数φmin＝.

答案：

7．(2020·安顺市模拟)函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(0)＝　________　.

解析：由函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝，T＝4×＝π，∴ω＝＝2.

又x＝时，f＝sin ＝－，

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z；

∴φ＝－＋2kπ，k∈Z；

∴f(x)＝sin＝sin ；

∴f(0)＝sin＝－.

答案：－

8．(2020·黄山市一模)将函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为　________　.

解析：函数 f(x)＝2sin (ω＞0)的图象向右平移个单位，

得到函数y＝g(x)＝2sin ＝2sin ωx，

y＝g(x)在上为增函数，

所以≥，即×≥，ω≤2，所以ω的最大值为2.

答案：2

9．(2020·玉溪市模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋2cos2x，x∈R

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x的图象经过怎样的变换得到？

解：(1)f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋2cos2x

＝sin 2x＋cos2x＋1

＝sin 2x＋＋1＝sin ＋，

函数的最小正周期为T＝＝π.

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，

函数的单调递减区间为(k∈Z)．

(2)函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin 的图象，再将函数图象向上平移个单位得到f(x)＝sin ＋的图象．

10．(2020·西城区期末)已知函数f(x)＝sin .

(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值；

(3)写出f(x)的单调递增区间．

解：(1)令X＝2x＋，则y＝sin ＝sin X.

列表：

描点，画出函数f(x)在上的图象：

(2)因为≤x≤，所以≤2x＋≤，

当2x＋＝，即x＝时，sin 最大值等于1，即f(x)的最大值等于1；

当2x＋＝，即x＝时，sin 最小值等于－，即f(x)的最小值等于－.

所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.

(3)根据函数的图象知，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．