2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题六（文）第2讲　概率与统计的综合应用


(文)第2讲　概率与统计的综合应用
[考情考向·高考导航]
1．以客观题的形式、考查古典概型、几何概型的简单应用，难度中低档．
2．在解答题中以实际生活为背景，考查概率与统计的实际应用，概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．

[真题体验]
1．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3　　　　　　　　　 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：B　[设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因为P(A)＝0.45，P(AB)＝0.15，P(A∪B)＝0.45＋P(B)＋0.15＝1，所以P(B)＝0.4.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：B　[不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝，选B.]
3．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分别有72人，108人，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
　　　　　员工
项目　　　　
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F，享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
(ⅱ)由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝.
[主干整合]
1．随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)＜1.
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
2．互斥事件、对立事件的概率公式
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)P(A)＝1－P(B)．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
4．几何概型的概率公式
P(A)＝.

1．区分互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．关注条件：概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

热点一　几何概型
数学
建模
素养
数学建模——几何概型中的核心素养
以几何概型为基础，把数学中的实际问题转化为几何概型，建立数学模型，从而解决实际问题.
[题组突破]
1．(2019·日照三模)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
解析：B　[如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.]
2．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[

如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，由几何概型的概率公式可得＝，故π＝.]
3．(2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析：A　[设直角三角形ABC的边AB＝a，AC＝b，则BC＝，
则区域Ⅰ的面积SⅠ＝ab，区域Ⅲ的面积
SⅢ＝π2－ab＝(a2＋b2)－ab，
区域Ⅱ的面积SⅡ＝π2＋π2－SⅢ
＝(a2＋b2)－(a2＋b2)＋ab＝ab.
∴SⅠ＝SⅡ，SⅡ＋SⅢ＝(a2＋b2)≠SⅠ，
由几何概型的概率公式可知p1＝p2，故选A.]
　
求解几何概型的关注点
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
热点二　古典概型
[例1]　(1)(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
[解析]　B　[设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.]
(2)(2019·昆明二模)某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．
①求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；
②求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．
[解析]　将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．
①被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．
记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，
则P(A)＝＝.
②记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3,4,5,6)．
所以P()＝，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

利用古典概型求事件概率的关键及注意点
(1)关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．
(2)注意点：①对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．
②当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．

(1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[输入一次密码能成功开机的概率P＝＝.故选C.]
(2)(天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：C　[从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.]
热点三　概率与统计的综合问题
数据
分析
素养
数据分析——概率与统计中的核心素养
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.
　　　概率与数字特征、统计图表的交汇
[例2－1]　某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工月收入(单位：元)的频数分布表以及B企业员工月收入(单位：元)的统计图如下．
A企业员工月收入的频数分布表
月收入/元
人数
[2 000,3 000)
5
[3 000,4 000)
10
[4 000,5 000)
20
[5 000,6 000)
42
[6 000,7 000)
18
[7 000,8 000)
3
[8 000,9 000)
1
[9 000,10 000]
1
B企业员工月收入的统计图

(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工月收入不低于5 000元的概率．
(2)(ⅰ)若从A企业的月收入在[2 000,5 000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则这2人月收入都不在[3 000,4 000)的概率是多少？
(ⅱ)若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业？并说明理由．
[审题指导]　(1)由题中B企业员工月收入的统计图知100人中月收入超过5 000元的人数，即可得所求概率．(2)(ⅰ)由古典概型的概率计算公式可得所求概率；(ⅱ)分别求出A，B两企业员工的平均月收入，结合所求说出合理理由即可．
[解析]　(1)由题中B企业员工月收入的统计图知100人中月收入不低于5 000元的有68人，故所求概率为＝0.68.
(2)(ⅰ)A企业月收入在[2 000,3 000)，[3 000,4 000)，[4 000,5 000)的人数比为1∶2∶4，则按分层抽样的方法抽取的7人中，月收入在[3 000,4 000)的人数为2，设月收入在[3 000,4 000)的2人分别为A，B，其余5人分别为a，b，c，d，e，从这7人中抽取2人共有21种情况，分别为(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，符合抽取的2人月收入都不在[3 000,4 000)的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，故所求事件的概率为.
(ⅱ)A企业员工的平均月收入为
×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)．
B企业员工的平均月收入为
×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．
[参考答案1]　选B企业，B企业员工的平均月收入高．
[参考答案2]　选A企业，A企业员工的平均月收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8 000元以上的高收入是有可能的．
[参考答案3]　选B企业，B企业员工的平均月收入高，且低收入人数少．(如有其他情况，只要理由充分，也可)
概率与统计案例的交汇
[例2－2]　(2020·武汉模拟)2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会于2019年10月18日至27日在美丽的江城武汉举行，有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：
(注：答卷满分为100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)

(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；
(2)求下面列联表中a，b，c，d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？

男
女
总计
优秀
a
b
a＋b
非优秀
c
d
c＋d
总计
1 000
1 000
2 000
(3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较．
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
[审题指导]　(1)根据频率分布直方图求解即可；(2)首先由条件完成列联表，然后由公式求得K2，从而与临界表比较得出结论；(3)从中位数与成绩分布的集中程度进行分析得出结论．
[解析]　(1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，
女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P1＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.
(2)

男
女
总计
优秀
580
530
1 110
非优秀
420
470
890
总计
1 000
1 000
2 000
∴a＝580，b＝530，c＝420，d＝470.
由K2＝得，
K2＝≈5.061＞5.024，
∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”．
(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．

以实际问题为背景，以统计图表为载体考查抽样方法、数字特征、概率、独立性检验等知识是高考常考点，处理的关键是仔细阅读题目，准确获取信息，成功地将应用问题转化为统计概率问题求解．

(2019·南昌二模)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：

某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．(用频率估计概率)
(1)根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；
(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支，若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的数量；
(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．
解析：(1)由题图可知，各组中值依次为3 100,3 300，3 500，3 700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 400(小时)．
(2)由题图可知，使用寿命不超过3 600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换5×0.8＝4(支)．
(3)若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；
若选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．
因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．

限时50分钟　满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.

(2020·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：B　[由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型．
由图可知，大圆的直径等于函数y＝3sinx的周期T.
设大圆的半径为R，则R＝＝×＝6，
则大圆面积为S1＝πR2＝36π.
两个小圆的半径都为1，故其面积和为S2＝π×12×2＝2π，
由几何概型可得，所求事件的概率P＝＝.故选B.]
2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：C　[从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.]
3．(2020·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：B　[他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是＝.]
4．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：D　[本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D.]
5．(2020·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
95
87
92
93
87
94
乙
88
80
85
78
86
72
丙
69
63
72
71
74
74
全班
88
72
81
80
75
77
则下列说法错误的是(　　)
A．甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定
B．乙同学的数学成绩平均值是81.5分
C．从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的概率为
D．在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为
解析：D　[由统计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；乙同学的数学成绩平均值是×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正确；从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为，故C正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为，故D不正确．故选D.]
6．(2019·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)

A. B.
C. D.
解析：B　[当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
7．已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________．
解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P＝＝.
答案：
8．(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种情况．
若选出的2名学生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种情况，
若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种情况，
所以所求的概率为＝.
答案：
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
9．(2020·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
投资金额x/万元
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长量y/万元
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)
(2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率．

解析：(1)＝6，＝8.3,7 ＝348.6，

＝＝＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，
所以回归直线方程为＝1.57x－1.13.
将x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，
即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元．
(2)由题意可知，
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
λ/万元
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
2013年至2019年这7年分别记为1,2,3,4,5,6,7，则总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，
抽出的两年都是λ＞2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，
所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P＝＝.
10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
　　　　支付金额
支付方式　　　　
不大于2 000元
大于2 000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，
由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有×1 000＝400(人)．
(2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2 000元，
所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为.
(3)由(2)知支付金额大于2 000元的概率为，
因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元，
依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．
答案：(1)400人　(2)　(3)见解析
11．(2020·辽宁六校协作体联考)十九大报告指出，坚决打赢脱贫攻坚战．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚测量它们的质量(单位：克)，其质量分布在区间[1 500,3 000]内，根据统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示．

(1)按分层抽样的方法从质量落在[1 750,2 000)，[2 000，2 250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2 000克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克的价格收购；
B．质量低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，质量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
解析：(1)由题意得蜜柚质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的比例为2∶3，
所以应分别从质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．
记抽取质量在[1 750,2 000)内的蜜柚为A1，A2，质量在[2 000,2 250)内的蜜柚为B1，B2，B3，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．
其中2个蜜柚的质量均小于2 000克的仅有{A1，A2}这1种情况，故所求概率为.
(2)方案A好，理由如下．
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1 500,1 750)内的频率为250×0.000 4＝0.1，
同理可得，蜜柚质量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.
若按方案A收购，
根据题意可得各组蜜柚的个数依次为500,500,750，2 000，1 000,250.
则总收益为(×500＋×500＋×750＋×2 000＋×1 000＋×250)×40÷1 000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1 000＝1 250×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)．
若按方案B收购，
易知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，
蜜柚质量不低于2 250的个数为5 000－1 750＝3 250.
所以总收益为1 750×60＋3 250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365 000(元)．
因为457 500＞365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以应该选择方案A.
(文)高考解答题·审题与规范(六)　概率与统计类考题
重在“辨析”“辨型”“辨图”
思维流程
概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型找到，问题便迎刃而解．而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复杂事件.

真题案例
审题指导
审题方法
(12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据．得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(1)利用频数计算出频率，然后根据频率/组距画出频率分布直方图；(2)计算出日用水量小于0.35 m3的频率即可估计概率；(3)首先计算出50天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数，再求出一年能节省的水量即可.
审图表、数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法.
规范解答
评分细则
[解析]　(1)
4分①
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，8分②
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分③
该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为
2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.10分④
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分⑤
第(1)问踩点得分
①画出频率分布直方图，正确得4分，有一处正确均得1分．
第(2)问踩点得分
②正确求出使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率得4分，写对式子得2分，计算正确再得2分．
第(3)问踩点得分
③计算出该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数，得1分．
④计算出该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数，得1分．
⑤计算结果正确得2分，结果错误不得分.