2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题二第1讲　三角函数的图象与性质

第1讲　三角函数的图象与性质

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1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

2．主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.　　　        B.　　　　     C.　　　　     D．1

解析：B　[∵cos 2α＝cos2α－sin2 α＝＝＝，∴tan2 α＝，∴tan α＝±，当tan α＝时，a＝＝，∴a＝，b＝，∴|a－b|＝；当tan α＝－时，a＝＝－，∴a＝－，b＝－，∴|a－b|＝.]

2．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在单调递减

解析：D　[当x∈时，x＋∈，函数在该区间内不单调．本题选择D选项．]

3．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0) 两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2                B.               C．1                 D.

解析：A　[由正弦函数图象可知＝x2－x1＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝＝2.]

4．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A．－2  B．－

C.  D．2

解析：C　[在x＝0处有定义的奇函数必有f(0)＝0.f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asin φ＝0，

由|φ|＜π可得φ＝0；

把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝Asinωx，

由g(x)的最小正周期为2π可得ω＝2，

由g＝，可得A＝2，

所以f(x)＝2sin 2x，f＝2sin＝.故选C.]

[主干整合]

1．三角函数的图象及性质

2.三角函数图象的两种变换方法

热点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[题组突破]

1．(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，则tan等于(　　)

A．－7　　　　　　　　　　 B．－

C.  D．7

解析：A　[由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，

可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，

∴tan 2α＝＝＝，

∴tan＝＝＝－7.]

2．(2020·衡水调研卷)已知sin (3π＋α)＝2sin，则等于(　　)

A.   B.

C.  D．－

解析：D　[∵sin(3π＋α)＝2sin，

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，

则＝

＝＝＝－.]

3．(2020·衡水信息卷)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：A　[由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，

∴tan α＝f′(1)＝－2，

cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)

＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α

＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α

＝＝

＝＝.]

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

热点二　三角函数的图象及应用

[例1]　(1)(2020·东营模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[解析]　A　[由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，

所以ω＝2，

即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x，

把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.]

(2)(2020·厦门模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.

[解析]　由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，

则A＝2，＝－＝，解得T＝π，

所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，

当x＝时，f＝2sin＝0，

又|φ|＜π，解得φ＝－，

所以f(x)＝2sin，

因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，

所以g(x)＝2sin＝2cos 2x，

若函数g(x)在上的值域为[－1,2]，

则2cos 2θ＝－1即θ＝kπ＋，k∈Z或θ＝kπ＋，k∈Z，故θ＝.

[答案]　

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

(1)(2020·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：C　[f(x)＝cos－cos 2x＝cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin＝2sin 2，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象，故选C.]

(2)

(2019·哈尔滨三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A(0，)，B，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝  B．x＝

C．x＝  D．x＝

解析：A　[∵f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，又|φ|＜π，∴φ＝或，又f＝2sin＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴ω＝×＝6k－2(k∈Z)，或ω＝×＝6k－4(k∈Z)，又ω＞0，且＝＝＞，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝，∴f(x)＝2sin，将其图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝2sin＝2sin，g(x)图象的对称轴方程满足2x＋＝kπ＋(k∈Z)，

∴x＝＋(k∈Z)，故选A.]

热点三　三角函数的性质及应用

[例2]　(1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x|　　　 　 B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos|x|  D．f(x)＝sin|x|

[解析]　

A　[作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．

由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．

同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.]

(2)(2019·保定三模)已知函数f(x)＝2cos(ω＞0)满足：f＝f，且在区间内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题：

p1：f(x)在区间[0,2π]上单调递减；

p2：f(x)在最小正周期是4π；

p3：f(x)的图象关于直线x＝对称；

p4：f(x)的图象关于点对称．

其中的真命题是(　　)

A．p1，p2  B．p1，p3

C．p2，p4  D．p3，p4

[解析]　C　[由题意得，当x＝＝时，f(x)取得最大值，则cos＝1，＋＝2kπ，ω＝(k∈N*)，又易知T＝≥－＝2π，0＜ω≤1，

所以k＝1，ω＝，f(x)＝2cos.

故f(x)的最小正周期T＝＝4π，p2是真命题，

又f＝0，因此f(x)的图象关于点对称，p4是真命题．故选C.]

(3)(2019·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．

[解析]　∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，

∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.

[答案]　π

求解函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入的方法求解．

①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．

②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．

③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论．

(1)(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：B　[(1)本题考查三角函数的图象和性质．由f(α)＝－1，f(β)＝1可知f(x)的图象关于直线x＝α对称，关于点(β，1)对称，所以最小正周期T＝4|α－β|min＝3π＝，则ω＝，又f＝2sin＋1＝1，则sin＝0，又|φ|＜，则φ＝－，则f(x)＝2sin＋1，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z，故选B.]

(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数　②f(x)在区间单调递增　③f(x)在[－π，π]有4个零点　④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④  B．②④

C．①④  D．①③

解析：C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|，

∴f(x)是偶函数，①对；

f(x)在区间上单调递减，②错；

f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错；

f(x)的最大值为2，④对．故选C.]

(3)(多选题)关于函数f(x)＝2sin ＋1，下列叙述正确的是(　　)

A．其图象关于直线x＝对称

B．其图象可由y＝2sin ＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到

C．其图象关于点对称

D．其值域[－1,3]

解析：BD　[本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换．f＝2sin ＋1＝＋1，不是函数的最值，因此函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；y＝2sin ＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到f(x)＝2sin ＋1的图象，故B正确；设y＝2sin ，则当x＝时，y＝2sin ＝2sin π＝0，即函数y＝2sin ＋1的图象关于点对称，故C错误；当sin ＝1时，函数f(x)取得最大值3，当sin ＝－1时，函数f(x)取得最小值－1，即函数f(x)的值域是[－1,3]，故D正确，故选BD.]

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tan θ的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C．－  D.

解析：A　[设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tan θ＝－－＝－.]

2．(2019·青岛三模)如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图②，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是(　　)

参考值：tan 55°≈1.428，tan 60°≈1.732，tan 65°≈2.145，≈1.414

A．120°  B．130°

C．135°  D．140°

解析：C　[由题意可得，α1，α2，α3，α4都是锐角，且α1＝45°，tan α2＝＝，tan α3＝＝，所以α3＝30°，tan α4＝＝，所以α1＋α3＝75°.又tan(α2＋α4)＝＝≈1.87，接近tan 60°，故α2＋α4接近60°，故与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是135°.]

3．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.   B.

C．π  D．2π

解析：C　[由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.]

4．(2019·成都二诊)将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：A　[由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，故φ的最小值为，选A.]

5．(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：B　[通解：因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，所以又ω＞0，所以0＜ω≤，选B.

优解：取ω＝1，f＝sin＝－sin＜0，f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，不满足题意，排除A，C，D，选B.]

6．(2019·洛阳统考)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则y＝f(x)在的值域为(　　)

A．[－，0]  B．[－2,0]

C．(－，0)  D．(－2,0)

解析：A　[由题意得函数f(x)＝2sin，因为其图象关于直线x＝0对称，所以2×0＋＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，f(x)＝2sin＝2cos 2x.当≤x≤时，≤2x≤，所以y＝f(x)在上的值域为[－，0]．]

7．(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析：A　[由函数图象平移变换的性质可知：

将y＝sin 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

y＝sin＝2sin x.

则函数的单调递增区间满足：2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) ，

令k＝1可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z) ，

令k＝1可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项．]

8．(2020·贵阳监测)函数f(x)＝Asin(ω＞0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g(x)＝Asin ωx的图象，只要将f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位  B．向右平移个单位

C．向左平移个单位  D．向右平移个单位

解析：D　[正弦函数图象与x轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即d＝＝，又因为d＝，所以ω＝2，则f(x)＝Asin＝Asin，所以只要将函数f(x)的图象向右平移个单位就能得到g(x)＝sin ωx的图象．]

9.

(2019·德州三模)如图是函数f(x)＝Asin(2x＋φ)图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)

A．f(x)在区间内单调递增

B．f(x)在区间内单调递减

C．f(x)在区间内单调递增

D．f(x)在区间内单调递减

解析：A　[根据图象得出：A＝2，对称轴方程为x＝，所以2sin(x1＋x2＋φ)＝2⇒x1＋x2＋φ＝，

所以x1＋x2＝－φ，因为f(x1＋x2)＝，

所以2sin＝，即sin(π－φ)＝，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，因为－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即为f(x)的单调递增区间．]

10．(2019·辽宁省五校协作体联考)设ω＞0，将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：C　[通解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos的图象，由已知得2cos＝2sin，所以cos＝sin，当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos＝sin，所以ω的最小值为.故选C.

优解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos＝2cos的图象，由已知得cos＝sin，所以sin＝sin，所以＋＋2kπ＝ωx＋，k∈Z，所以ω＝＋10k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为.故选C.]

11．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)

A．sin α＋cos α  B．sin α－cos α

C．sin αcos α  D.

解析：CD　[本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断．由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，

∴sin x＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.]

12．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；

③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①④  B．②③

C．①②③  D．①③④

解析：

D　[∵f(x)＝sin(ω＞0)，在[0,2π]有且仅有5个零点．∴0≤x≤2π，≤ωx＋≤2πω＋，5π≤2πω＋＜6π，≤ω＜，④正确．如图x1，x2，x3为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个. ②不正确．

当0＜x＜时，＜ωx＋＜＋，当ω＝时，＋＝＋＝＜.

∴③正确，故选D.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

解析：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x，

∴f(x)min＝－4.

答案：－4

14．(2019·吉林三模)将函数f(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是____________．

解析：由题意可知，函数f(x)在区间和上均单调递增，根据f(x)＝2cos 2x的图象可知，－≤0且≤2a－≤π，解得≤a≤.

答案：

15．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos (ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：本题考查三角函数．∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos ＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴ω的最小值为.

答案：

16．(2019·烟台三模)函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sinx(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.

解析：如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.

答案：