课时作业(二十四) 解三角形应用举例 练习

课时作业(二十四)　解三角形应用举例

一、选择题

1．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A．8 km/h　　　　 B．6 km/h

C．2 km/h     D．10 km/h

解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.

答案：B

2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)

A．11.4 km  B．6.6 km

C．6.5 km   D．5.6 km

解析：∵AB＝1 000×1 000×＝m，

∴BC＝·sin 30°＝m.

∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km.

∴山高为18－11.4＝6.6 km.

答案：B

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10海里  B．10海里

C．20海里  D．20海里

解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里)．

答案：A

4．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高度为(　　)

A．10 米    B．10米

C．10米  D．10米

解析：由题意知∠ACB＝60°，∠BCD＝105°，又∠BDC＝45°，则∠DBC＝30°.在△BCD中，＝，所以BC＝＝10，所以AB＝BCtan ∠BCA＝10×tan 60°＝10(米)．

答案：D

5．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．75°

解析：依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

答案：B

6．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)

A.      B.

C．－    D．－

解析：解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos ∠BAC＝＝＝－，故选C.

解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，

在Rt△ADC中，AC＝BC，sin∠DAC＝，

cos∠DAC＝，又因为∠B＝，

所以cos ∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－，故选C.

解法三：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，

AB＝BC，AC＝BC，而·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝BC2－BC2＝－BC2，

所以cos∠BAC＝＝＝－，故选C.

解法四：过A作AD⊥BC，垂足为D，设BC＝3a(a>0)，结合题意知AD＝BD＝a，DC＝2a.以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(－a,0)，C(2a,0)，A(0，a)，所以＝(－a，－a)，＝(2a，－a)，所以||＝a，||＝a，所以cos ∠BAC＝＝＝－，故选C.

答案：C

二、填空题

7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船距离为3 km，则B到C的距离为________km.

解析：由条件知：∠ACB＝80°＋40°＝120°，

设BC＝x km

则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，

∵x>0，∴x＝－1.

答案：－1

8．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.

解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，

∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，

∴BS＝＝3(km)．

答案：3

9．(2017·洛阳统考)如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.

解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，

则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①

因为∠ADB与∠CDB互补，

所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，

所以＝－，

所以3b2－a2＝－6，②

联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.

在△ABC中，cos∠C＝＝＝.

答案：

三、解答题

10．(2017·河南六市联考，17)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．

(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；

(2)求P到海防警戒线AC的距离．

解析：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.

在△PAB中，AB＝20，cos ∠PAB＝＝＝，

同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.

∵cos ∠PAB＝cos ∠PAC，∴＝，

解得x＝31.

(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，

由cos∠PAD＝，

得sin∠PAD＝＝，

∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.

故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．

11．(2017·黑龙江哈尔滨六中开学考试)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．

(1)求B、C两救援中心间的距离；

(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．

解析：(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形

在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝，

在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝，

又∠CAB＝90°，BC＝＝万米．

(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝，cos∠ACD＝－，

又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，

在△ADC中，由正弦定理，＝，

AD＝＝万米．

12．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？

解析：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，

则有CD＝10t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，

利用余弦定理可得BC＝.

由正弦定理，得

sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，

得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直，

于是∠CBD＝120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD＝

＝＝，

得∠BCD＝30°，

∴∠BDC＝30°.

又＝，＝，得t＝.

所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．