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2020物理二轮教师用书：第1部分专题3第1讲电场的性质 带电粒子在电场中的运动
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第1讲 电场的性质 带电粒子在电场中的运动
[高考统计·定方向] (教师授课资源)
考点
考向
五年考情汇总
1.电场的理解与应用
考向1.电场的叠加与场强的计算
2019·全国卷Ⅰ T15
2018·全国卷Ⅰ T16
考向2.电场能的性质
2018·全国卷Ⅰ T21
2018·全国卷Ⅱ T21
2016·全国卷Ⅲ T15
考向3.电场的综合应用
2019·全国卷Ⅱ T20
2017·全国卷Ⅲ T21
2.带电粒子在匀强电场中的运动
考向1.带电粒子在电场中的运动
2019·全国卷Ⅱ T24
2018·全国卷ⅢT21
2015·全国卷ⅡT24
考向2.带电粒子在电场、重力场中的运动
2019·全国卷Ⅲ T24
2017·全国卷Ⅰ T25
2017·全国卷Ⅱ T25
电场的理解与应用(5年7考)
❶分析近五年高考题可以看出，高考命题热点主要集中在场强的叠加、电场线和等势面的用途、电场力做功、电势能的变化、电势高低的判断、匀强电场中电势差与电场强度的关系、带电粒子在电场中的运动等。题型以选择题为主。
❷预计2020年命题还会以选择题为主，考查场强、电势、电势能等基本概念的理解。
1．(2019·全国卷Ⅰ·T15)如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
D [对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，匀强电场对它的电场力应水平向左，与Q对它的库仑力平衡，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项D正确，C错误。]
2．(多选)(2019·全国卷Ⅱ·T20)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
AC [在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点内静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于在M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误。]
3．(2018·全国卷Ⅰ·T16)如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin 37°＝Fbcos 37°，解得＝，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得＝，B错误，D正确。]
4．(多选)(2018·全国卷Ⅱ·T21)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
BD [由题意得，(φa－φb)q＝W1，(φc－φd)q＝W2，只能得出a、b两点间和c、d两点间的电势关系，无法确定场强的方向，选项A错误；若c、d之间的距离为L，因无法确定场强的方向，故无法确定场强的大小，选项C错误；由于φM＝、φN＝、WMN＝q(φM－φN)，上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为WMN＝，所以B正确；若W1＝W2，有φa－φb＝φc－φd，变形可得φa－φc＝φb－φd，又φa－φM＝φa－＝，φb－φN＝φb－＝，所以φa－φM＝φb－φN，D正确。]
[教师备选题]
1.(多选)(2018·全国卷Ⅰ·T21)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]
2.(多选)(2017·全国卷Ⅰ)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea∶Eb＝4∶1 B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1 D．Wbc∶Wcd＝1∶3
AC [A对：由题图知，a、b、c、d四个点距点电荷的距离依次增大，且rb＝2ra，由E＝知，Ea∶Eb＝4∶1。
B错：rd＝2rc，由E＝知，Ec∶Ed＝4∶1。
C对：在移动电荷的过程中，电场力做的功与电势能的变化量大小相等，则Wab∶Wbc＝q(φa－φb)∶q(φb－φc)＝3∶1。
D错：Wbc∶Wcd＝q(φb－φc)∶q(φc－φd)＝1∶1。]
3．(2016·全国卷Ⅲ·T15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
4．(多选)(2016·全国卷Ⅱ·T20)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
AB [带电油滴在电场中受重力、电场力作用，据其轨迹的对称性可知，电场力方向竖直向上，且电场力大于重力，电场力先做负功后做正功。则电场强度方向向下，Q点的电势比P点高，选项A正确；油滴在P点的速度最小，选项B正确；油滴在P点的电势能最大，选项C错误；油滴运动的加速度大小不变，选项D错误。]
1．电场线的应用
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判受力：从轨迹的弯曲方向判断受力方向，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)判做功：结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)判动能：根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化。
3．电场力做功的计算方法
考向1 电场的叠加与场强计算
1．(易错题)(2019·河南2月模拟)水平面上有一边长为L的正方形，其a、b、c三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q，将一个电荷量为＋q的点电荷分别放在正方形中心点O点和正方形的另一个顶点d点处，两处相比，下列说法正确的是( )
A．q在d点所受的电场力较大
B．q在d点所具有的电势能较大
C．d点的电势高于O点的电势
D．q在两点所受的电场力方向相同
D [由点电荷的电场及场的叠加可知，在O点，b、c两处的点电荷产生的电场相互抵消，O点处的场强等于a处点电荷所产生的场强，即，方向由a指向O；而在d点处Ed＝cos 45°×2＋＝，方向也沿aO方向，选项A错误，选项D正确。ad是b、c两处点电荷连线的中垂线，由两等量正电荷的电场中电势分布可知，在b、c两点电荷的电场中，O点电势高于d点电势，而在点电荷a的电场中O点电势也高于d点电势，再由电势叠加可知O点电势高，而正电荷在电势越高处电势能越大，选项B、C皆错误。]
易错点评：对于场强的比较，不少同学由对称性直接得出a、b、c、d四点的相关物理量的关系，而忽视了题中给出的是a、b、c三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q，并不是在O点固定一个点电荷。
2．(2019·天一大联考)真空中有一点电荷Q，MN是这个点电荷电场中的一条水平直线，如图所示，A、B、C是直线MN上的三个点，B是A、C的中点，点电荷Q位于A点正上方O处(未画出)。设A、B、C三点场强大小分别为EA、EB、EC，且EB＝EA，则EC的值为( )
A.EA B.EA C.EA D.EA
C [点电荷Q位于A点正上方O处，则在直线MN上A点的场强最大，而MN是这个点电荷电场中的一条直线，设点电荷Q距离A点x，AB和BC的间距为L；根据点电荷电场强度的计算公式可得： EA＝k，EB＝k，EC＝k，EB＝EA，解得L＝x，则：EC＝k＝EA，故C正确，A、B、D错误。]
考向2 电场能的性质
3．(2019·无锡期末联考)避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电场线分布如图所示，图中中央的竖直黑线AB代表了避雷针，CD为水平地面。MN是电场线中两个点，下列说法正确的是( )
A．M点的场强比N点的场强大
B．试探电荷从M点沿直线移动到N点，电场力做功最少
C．M点的电势比N点的电势高
D．CD的电势为零，但其表面附近的电场线有些位置和地面不垂直
C [N点处的电场线比M点密集，可知M点的场强比N点的场强小，选项A错误；由于MN两点的电势差一定，可知无论试探电荷沿什么路径从M点到N点，电场力做功都是相同的，选项B错误；沿电场线电势逐渐降低，可知M点的电势比N点的电势高，选项C正确；CD的电势为零，地面为等势面，则CD表面附近的电场线与地面都是垂直的，选项D错误。]
4．如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN，下列判断正确的是( )
A．vM
考向3 电场的综合应用
5．(2019·四川资阳诊断)如图所示，一带正电的粒子以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角，粒子只受电场力的作用。下列说法中正确的是( )
A．点电荷Q带正电
B．a点的电势低于b点电势
C．从a到b，系统的电势能减小
D．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
C [根据轨迹弯曲方向判断出，粒子在运动的过程中，一直受库仑引力作用，因粒子带正电，所以点电荷带负电，故A错误；由图可知，点电荷Q位于Ea方向延长线与Eb方向延长线的交点处，且b点与a点相比，b点离负点电荷较近，b点处电势较低，所以B错误；由E＝qφ可知正点电荷在电势低处，电势能较小，所以正点电荷在a处时，系统具有的电势能较大，因此C正确；根据点电荷电场线的分布，b点处电场线分布较密，电场强度较大，粒子加速度较大，所以D错误。]
6．(多选)(2019·山东德州联考)如图甲所示，电场中的一条电场线与x轴重合，方向沿x轴负方向，O点为坐标原点，M点坐标为3 cm；此电场线上各点的电场强度大小E随x变化的规律如图乙所示，对于此电场，以下说法正确的是( )
A．此电场为匀强电场
B．沿 x 轴正方向电势逐渐升高
C．M点的电势是O点电势的2倍
D．将一电子自O点移至M点，其电势能减小90 eV
BD [由图乙可知，电场强度E随x增加而增大，可知电场不是匀强电场，选项A错误；因电场线方向沿x轴负方向，可知沿x轴正方向电势逐渐升高，选项B正确；因零电势点不确定，则不能比较MO两点的电势关系，选项C错误；由U＝Ex可知，MO两点的电势差等于Ex图象的“面积”，则UOM＝－(2＋4)×103×3×10－2 V＝－90 V，则将一电子自O点移至M点，其电势能减小90 eV，选项D正确；故选B、D。]
7．(2019·内蒙古鄂尔多斯联考)空间存在着平行于x轴方向的静电场，P、M、O、N、Q为x轴上的点，P、Q之间各点的电势φ随位置坐标x的变化如图所示。一个带电粒子仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴正方向运动，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．P点的电势低于M点的电势
C．M点的电场强度小于N点的电场强度
D．粒子从M点向N点运动的过程中，电势能一直减小
D [由图可知，粒子从M到Q，电势逐渐降低，且粒子由静止开始运动，因此电场线方向由P到Q点，所以粒子带正电，故A错误；由于电场线方向由P到Q，则沿着电场线方向，电势降低，那么P点的电势高于M点的电势，故B错误；根据Δφ＝EΔx，可知，图象的斜率的绝对值大小表示电场强度的大小，那么M点的电场强度大于N点的电场强度，故C错误；因带电粒子仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动，电场力做正功，则电势能一直减小，故D正确。]
带电粒子在匀强电场中的运动 (5年6考)
❶分析近五年的高考题可以看出，带电体在电场中的运动问题是高考命题的重点和热点，主要考查带电体在电场中的加速和偏转模型，处理方法主要是应用动力学观点，动量观点和能量观点。
❷预计2020年仍会以选择题形式考查带电粒子在匀强电场中运动，复习中也要关注带电体在交变电场中的运动。
1.(多选)(2018·全国卷Ⅲ·T21)如图所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等。现同时释放a、b，它们由静止开始运动。在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确的是( )
A．a的质量比b的大
B．在t时刻，a的动能比b的大
C．在t时刻，a和b的电势能相等
D．在t时刻，a和b的动量大小相等
BD [两微粒只受电场力qE作用且两电场力大小相等，由x＝a0t2，知微粒a的加速度大，由qE＝ma0，知微粒a的质量小，A错误。由动能定理qEx＝Ek得，位移x大的动能大，B正确。在同一等势面上，a、b两微粒电荷量虽相等，但电性相反，故在t时刻，a、b的电势能不相等，C错误。由动量定理qEt＝mv得，在t时刻，a、b的动量大小相等，D正确。]
2．(2019·全国卷Ⅲ·T24)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q＞0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能。
[解析] (1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿运动定律、运动学公式和题给条件，有
mg＋qE＝ma ①
a2＝gt2 ②
解得E＝。 ③
(2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有
Ek－mv＝mgh＋qEh ④
且有
v1＝v0t ⑤
h＝gt2 ⑥
联立③④⑤⑥式得
Ek＝2m(v＋g2t2)。 ⑦
[答案] (1) (2)2m(v＋g2t2)
3．(2019·全国卷Ⅱ·T24)如图所示，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为φ(φ＞0)。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
[解析] (1)PG、QG间场强大小相等，均为E。粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有
E＝ ①
F＝qE＝ma ②
设粒子第一次到达G时动能为Ek，由动能定理有
qEh＝Ek－mv ③
设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移大小为l，则有
h＝at2 ④
l＝v0t ⑤
联立①②③④⑤式解得
Ek＝mv＋qh ⑥
l＝v0。 ⑦
(2)若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L＝2l＝2v0。⑧
[答案] (1)mv＋qh v0 (2)2v0
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅱ·T25)如图所示，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量均为m、电荷量分别为q和－q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
(2)A点距电场上边界的高度；
(3)该电场的电场强度大小。
[解析] (1)设小球M、N在A点水平射出时的初速度大小为v0，则它们进入电场时的水平速度仍然为v0。M、N在电场中运动的时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2。由题给条件和运动学公式得
v0－at＝0 ①
s1＝v0t＋at2 ②
s2＝v0t－at2 ③
联立①②③式得＝3。 ④
(2)设A点距电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，由运动学公式得
v＝2gh ⑤
H＝vyt＋gt2 ⑥
M进入电场后做直线运动，由几何关系知
＝ ⑦
联立①②⑤⑥⑦式可得
h＝H。 ⑧
(3)设电场强度的大小为E，小球M进入电场后做直线运动，则
＝ ⑨
设M、N离开电场时的动能分别为Ek1、Ek2，由动能定理得
Ek1＝m(v＋v)＋mgH＋qEs1⑩
Ek2＝m(v＋v)＋mgH－qEs2⑪
由已知条件
Ek1＝1.5Ek2 ⑫
联立④⑤⑦⑧⑨⑩⑪⑫式得
E＝。 ⑬
[答案] (1)3∶1 (2)H (3)
2．(2015·全国卷Ⅱ·T24)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。
[解析] 设带电粒子在B点的速度大小为vB。粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin 30°＝v0sin 60° ①
由此得vB＝v0 ②
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有
qUAB＝m(v－v) ③
联立②③式得
UAB＝。 ④
[答案]
3．(2017·全国卷Ⅰ·T25)真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0。在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
(1)求油滴运动到B点时的速度；
(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
[解析] (1)设油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正。油滴在电场强度大小为E1的匀强电场中做匀速直线运动，故油滴所受电场力方向向上。在t＝0时，电场强度突然从E1增加至E2时，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小a1满足
qE2－mg＝ma1 ①
油滴在时刻t1的速度为
v1＝v0＋a1t1 ②
电场强度在时刻t1突然反向，油滴做匀变速运动，加速度方向向下，大小a2满足
qE2＋mg＝ma2 ③
油滴在时刻t2＝2t1的速度为
v2＝v1－a2t1 ④
由①②③④式得
v2＝v0－2gt1。 ⑤
(2)由题意，在t＝0时刻前有
qE1＝mg ⑥
油滴从t＝0到时刻t1的位移为
s1＝v0t1＋a1t ⑦
油滴在从时刻t1到时刻t2＝2t1的时间间隔内的位移为
s2＝v1t1－a2t ⑧
由题给条件有
v＝2g(2h) ⑨
式中h是B、A两点之间的距离。
若B点在A点之上，依题意有
s1＋s2＝h ⑩
由①②③⑥⑦⑧⑨⑩式得
E2＝E1 ⑪
为使E2>E1，应有
2－2＋2>1 ⑫
即当
0
才是可能的；条件⑬式和⑭式分别对应于v2>0和v2<0两种情形。
若B点在A点之下，依题意有
s1＋s2＝－h ⑮
由①②③⑥⑦⑧⑨⑮式得
E2＝E1 ⑯
为使E2>E1，应有
2－2－2>1 ⑰
即t1> ⑱
另一解为负，不合题意，已舍去。
[答案] (1)v0－2gt1 (2)见解析
(2019·重庆九校联考)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50 N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2 m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场。质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋1×10－2 C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入电场，通过第Ⅰ象限后，从x轴上的A点进入第Ⅳ象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)、(0.4,0)，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小。
[思路点拨] (1)小球进入竖直方向的匀强电场后做类平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，分别列位移方程，即可求解；
(2)小球在第四象限恰好做直线运动，合外力的方向与速度方向在一条直线上，根据＝可求电场强度，根据U＝EL可求A、B间的电势差；
(3)对小球运动的全过程，由动能定理，可求小球经过B点时的速度大小。
[解析] (1)小球进入竖直方向的匀强电场后做类平抛运动，小球带正电，受到的电场力竖直向上，根据牛顿第二定律，加速度a＝ 解得a＝5 m/s2
根据平抛运动规律，小球沿水平方向做匀速运动，有xA＝v0t
沿竖直方向有： yP＝at2
v0＝xA，解得v0＝1 m/s。
(2)设水平电场的电场强度大小为E，因未进入电场前，带电小球做类平抛运动，所以进入电场时竖直方向的速度vy＝
因为小球在该电场区域恰好做直线运动，所以合外力的方向与速度方向在一条直线上，即速度方向与合外力的方向相同，有＝ 解得E＝50 N/C
设小球在水平电场中运动的水平距离为L
＝ 根据U＝EL 解得UAB＝5 V。
(3)设小球在B点的速度大小为v，对小球运动的全过程，由动能定理，有
mv2－mv＝mg(yP＋d)＋qUAB－qE0yP
解得v＝ m/s。
[答案] (1)1 m/s (2)5 V (3) m/s
反思：处理带电体在电场和重力场作用下运动的方法
(1)根据带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点来处理问题，分析带电体的能量转化情况时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的转化，但应注意总的能量保持不变。
考向1 带电粒子在电场中的运动
1．(2019·河南示范性高中联考)某静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示。一质量m＝4×10－10 kg、电荷量q＝2×10－9 C的带负电粒子(不计重力)，从(－1 m,0)点由静止开始，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。则该粒子运动的周期为( )
A. s B．0.6 s
C．0.1 D. s
B [粒子先沿x轴正方向先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，然后反向运动；由E1＝＝ V/m＝10 V/m，a1＝＝50 m/s2；由x1＝a1t，解得粒子沿x轴正方向运动的时间为t1＝＝ s＝0.2 s；同理可得粒子沿x轴正方向做匀减速运动的时间为t2＝0.1 s；且粒子到达x＝0.5 m处的速度恰好为零，反向运动的时间为t1＋t2＝0.3 s；则粒子运动的周期为T＝2(t1＋t2)＝0.6 s；故选B。]
2.(2019·河南重点中学联考)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，有一个半圆形轨道，圆心为O。一带电粒子质量为m、电荷量为＋q(重力不计)，从与圆心等高的轨道上A点以水平速度v0向右入射，落在 轨道C点，已知OC连线与OB的夹角为θ，则带电粒子从A点运动到C点的时间为( )
A.cos B.tan
C.cos D.tan
B [AC之间的水平距离x＝R＋Rcos θ，竖直高度h＝Rsin θ，带电粒子在电场中运动受到的电场力F＝qE，加速度a＝，设带电粒子从A点运动到C点的时间为t，由类平抛运动规律，x＝v0t，h＝at2，联立解得：t＝tan ，选项B正确。]
考向2 带电粒子在电场、重力场中的运动
3．(2019·浙江杭州模拟)如图为一有界匀强电场，场强方向为水平方向(虚线为电场线)，一带负电微粒以某一角度θ从电场的a点斜向上方射入，沿直线运动到b点，则可知( )
A．电场中a点的电势低于b点的电势
B．微粒在a点时的动能与电势能之和与在b点时的动能与电势能之和相等
C．微粒在a点时的动能小于在b点时的动能，在a点时的电势能大于在b点时的电势能
D．微粒在a点时的动能大于在b点时的动能，在a点时的电势能小于在b点时的电势能
D [粒子沿直线运动到b点，粒子的合力与速度在同一直线上，重力竖直向下，则受到的电场力水平向左，电场方向水平向右，则a点的电势高于b点的电势，故A错误；根据能量守恒，粒子的重力势能、动能、电势能总量不变，重力势能增大，则动能与电势能之和减小，故B错误；粒子从a到b，电场力做负功，动能减小，电势能增大。C错误，D正确。]
4.(多选)如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带上等量异种电荷。一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A．若微粒带负电荷，则A板可能带正电荷
B．微粒从M点运动到N点，电势能可能增加
C．微粒从M点运动到N点，机械能一定增加
D．微粒从M点运动到N点，动能一定增加
ABD [粒子在电场力和重力的合力作用下做类平抛运动，合力向下，电场力可能向上而小于重力，也可能向下，故无法判断A板的带电情况，故A正确；电场力可能向上，也可能向下，故微粒从M点运动到N点，电势能可能增加，也可能减小，故B正确；电场力可能向上，也可能向下，所以微粒从M点运动到N点过程，电场力可能做负功，也可能做正功，所以机械能不一定增加，故C错误；粒子在电场力和重力的合力作用下做类平抛运动，电场力和重力的合力向下，故从M到N动能一定增加，故D正确。]
第1讲 电场的性质 带电粒子在电场中的运动
[高考统计·定方向] (教师授课资源)
考点
考向
五年考情汇总
1.电场的理解与应用
考向1.电场的叠加与场强的计算
2019·全国卷Ⅰ T15
2018·全国卷Ⅰ T16
考向2.电场能的性质
2018·全国卷Ⅰ T21
2018·全国卷Ⅱ T21
2016·全国卷Ⅲ T15
考向3.电场的综合应用
2019·全国卷Ⅱ T20
2017·全国卷Ⅲ T21
2.带电粒子在匀强电场中的运动
考向1.带电粒子在电场中的运动
2019·全国卷Ⅱ T24
2018·全国卷ⅢT21
2015·全国卷ⅡT24
考向2.带电粒子在电场、重力场中的运动
2019·全国卷Ⅲ T24
2017·全国卷Ⅰ T25
2017·全国卷Ⅱ T25
电场的理解与应用(5年7考)
❶分析近五年高考题可以看出，高考命题热点主要集中在场强的叠加、电场线和等势面的用途、电场力做功、电势能的变化、电势高低的判断、匀强电场中电势差与电场强度的关系、带电粒子在电场中的运动等。题型以选择题为主。
❷预计2020年命题还会以选择题为主，考查场强、电势、电势能等基本概念的理解。
1．(2019·全国卷Ⅰ·T15)如图所示，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
D [对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，匀强电场对它的电场力应水平向左，与Q对它的库仑力平衡，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项D正确，C错误。]
2．(多选)(2019·全国卷Ⅱ·T20)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
AC [在两个同种点电荷的电场中，一带同种电荷的粒子在两电荷的连线上自M点内静止开始运动，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等；仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于在M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误。]
3．(2018·全国卷Ⅰ·T16)如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin 37°＝Fbcos 37°，解得＝，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得＝，B错误，D正确。]
4．(多选)(2018·全国卷Ⅱ·T21)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
BD [由题意得，(φa－φb)q＝W1，(φc－φd)q＝W2，只能得出a、b两点间和c、d两点间的电势关系，无法确定场强的方向，选项A错误；若c、d之间的距离为L，因无法确定场强的方向，故无法确定场强的大小，选项C错误；由于φM＝、φN＝、WMN＝q(φM－φN)，上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为WMN＝，所以B正确；若W1＝W2，有φa－φb＝φc－φd，变形可得φa－φc＝φb－φd，又φa－φM＝φa－＝，φb－φN＝φb－＝，所以φa－φM＝φb－φN，D正确。]
[教师备选题]
1.(多选)(2018·全国卷Ⅰ·T21)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]
2.(多选)(2017·全国卷Ⅰ)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea∶Eb＝4∶1 B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1 D．Wbc∶Wcd＝1∶3
AC [A对：由题图知，a、b、c、d四个点距点电荷的距离依次增大，且rb＝2ra，由E＝知，Ea∶Eb＝4∶1。
B错：rd＝2rc，由E＝知，Ec∶Ed＝4∶1。
C对：在移动电荷的过程中，电场力做的功与电势能的变化量大小相等，则Wab∶Wbc＝q(φa－φb)∶q(φb－φc)＝3∶1。
D错：Wbc∶Wcd＝q(φb－φc)∶q(φc－φd)＝1∶1。]
3．(2016·全国卷Ⅲ·T15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
4．(多选)(2016·全国卷Ⅱ·T20)如图所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
AB [带电油滴在电场中受重力、电场力作用，据其轨迹的对称性可知，电场力方向竖直向上，且电场力大于重力，电场力先做负功后做正功。则电场强度方向向下，Q点的电势比P点高，选项A正确；油滴在P点的速度最小，选项B正确；油滴在P点的电势能最大，选项C错误；油滴运动的加速度大小不变，选项D错误。]
1．电场线的应用
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判受力：从轨迹的弯曲方向判断受力方向，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)判做功：结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)判动能：根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化。
3．电场力做功的计算方法
考向1 电场的叠加与场强计算
1．(易错题)(2019·河南2月模拟)水平面上有一边长为L的正方形，其a、b、c三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q，将一个电荷量为＋q的点电荷分别放在正方形中心点O点和正方形的另一个顶点d点处，两处相比，下列说法正确的是( )
A．q在d点所受的电场力较大
B．q在d点所具有的电势能较大
C．d点的电势高于O点的电势
D．q在两点所受的电场力方向相同
D [由点电荷的电场及场的叠加可知，在O点，b、c两处的点电荷产生的电场相互抵消，O点处的场强等于a处点电荷所产生的场强，即，方向由a指向O；而在d点处Ed＝cos 45°×2＋＝，方向也沿aO方向，选项A错误，选项D正确。ad是b、c两处点电荷连线的中垂线，由两等量正电荷的电场中电势分布可知，在b、c两点电荷的电场中，O点电势高于d点电势，而在点电荷a的电场中O点电势也高于d点电势，再由电势叠加可知O点电势高，而正电荷在电势越高处电势能越大，选项B、C皆错误。]
易错点评：对于场强的比较，不少同学由对称性直接得出a、b、c、d四点的相关物理量的关系，而忽视了题中给出的是a、b、c三个顶点上分别固定了三个等量的正点电荷Q，并不是在O点固定一个点电荷。
2．(2019·天一大联考)真空中有一点电荷Q，MN是这个点电荷电场中的一条水平直线，如图所示，A、B、C是直线MN上的三个点，B是A、C的中点，点电荷Q位于A点正上方O处(未画出)。设A、B、C三点场强大小分别为EA、EB、EC，且EB＝EA，则EC的值为( )
A.EA B.EA C.EA D.EA
C [点电荷Q位于A点正上方O处，则在直线MN上A点的场强最大，而MN是这个点电荷电场中的一条直线，设点电荷Q距离A点x，AB和BC的间距为L；根据点电荷电场强度的计算公式可得： EA＝k，EB＝k，EC＝k，EB＝EA，解得L＝x，则：EC＝k＝EA，故C正确，A、B、D错误。]
考向2 电场能的性质
3．(2019·无锡期末联考)避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电场线分布如图所示，图中中央的竖直黑线AB代表了避雷针，CD为水平地面。MN是电场线中两个点，下列说法正确的是( )
A．M点的场强比N点的场强大
B．试探电荷从M点沿直线移动到N点，电场力做功最少
C．M点的电势比N点的电势高
D．CD的电势为零，但其表面附近的电场线有些位置和地面不垂直
C [N点处的电场线比M点密集，可知M点的场强比N点的场强小，选项A错误；由于MN两点的电势差一定，可知无论试探电荷沿什么路径从M点到N点，电场力做功都是相同的，选项B错误；沿电场线电势逐渐降低，可知M点的电势比N点的电势高，选项C正确；CD的电势为零，地面为等势面，则CD表面附近的电场线与地面都是垂直的，选项D错误。]
4．如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN，下列判断正确的是( )
A．vM
考向3 电场的综合应用
5．(2019·四川资阳诊断)如图所示，一带正电的粒子以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角，粒子只受电场力的作用。下列说法中正确的是( )
A．点电荷Q带正电
B．a点的电势低于b点电势
C．从a到b，系统的电势能减小
D．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
C [根据轨迹弯曲方向判断出，粒子在运动的过程中，一直受库仑引力作用，因粒子带正电，所以点电荷带负电，故A错误；由图可知，点电荷Q位于Ea方向延长线与Eb方向延长线的交点处，且b点与a点相比，b点离负点电荷较近，b点处电势较低，所以B错误；由E＝qφ可知正点电荷在电势低处，电势能较小，所以正点电荷在a处时，系统具有的电势能较大，因此C正确；根据点电荷电场线的分布，b点处电场线分布较密，电场强度较大，粒子加速度较大，所以D错误。]
6．(多选)(2019·山东德州联考)如图甲所示，电场中的一条电场线与x轴重合，方向沿x轴负方向，O点为坐标原点，M点坐标为3 cm；此电场线上各点的电场强度大小E随x变化的规律如图乙所示，对于此电场，以下说法正确的是( )
A．此电场为匀强电场
B．沿 x 轴正方向电势逐渐升高
C．M点的电势是O点电势的2倍
D．将一电子自O点移至M点，其电势能减小90 eV
BD [由图乙可知，电场强度E随x增加而增大，可知电场不是匀强电场，选项A错误；因电场线方向沿x轴负方向，可知沿x轴正方向电势逐渐升高，选项B正确；因零电势点不确定，则不能比较MO两点的电势关系，选项C错误；由U＝Ex可知，MO两点的电势差等于Ex图象的“面积”，则UOM＝－(2＋4)×103×3×10－2 V＝－90 V，则将一电子自O点移至M点，其电势能减小90 eV，选项D正确；故选B、D。]
7．(2019·内蒙古鄂尔多斯联考)空间存在着平行于x轴方向的静电场，P、M、O、N、Q为x轴上的点，P、Q之间各点的电势φ随位置坐标x的变化如图所示。一个带电粒子仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴正方向运动，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．P点的电势低于M点的电势
C．M点的电场强度小于N点的电场强度
D．粒子从M点向N点运动的过程中，电势能一直减小
D [由图可知，粒子从M到Q，电势逐渐降低，且粒子由静止开始运动，因此电场线方向由P到Q点，所以粒子带正电，故A错误；由于电场线方向由P到Q，则沿着电场线方向，电势降低，那么P点的电势高于M点的电势，故B错误；根据Δφ＝EΔx，可知，图象的斜率的绝对值大小表示电场强度的大小，那么M点的电场强度大于N点的电场强度，故C错误；因带电粒子仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动，电场力做正功，则电势能一直减小，故D正确。]
带电粒子在匀强电场中的运动 (5年6考)
❶分析近五年的高考题可以看出，带电体在电场中的运动问题是高考命题的重点和热点，主要考查带电体在电场中的加速和偏转模型，处理方法主要是应用动力学观点，动量观点和能量观点。
❷预计2020年仍会以选择题形式考查带电粒子在匀强电场中运动，复习中也要关注带电体在交变电场中的运动。
1.(多选)(2018·全国卷Ⅲ·T21)如图所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等。现同时释放a、b，它们由静止开始运动。在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确的是( )
A．a的质量比b的大
B．在t时刻，a的动能比b的大
C．在t时刻，a和b的电势能相等
D．在t时刻，a和b的动量大小相等
BD [两微粒只受电场力qE作用且两电场力大小相等，由x＝a0t2，知微粒a的加速度大，由qE＝ma0，知微粒a的质量小，A错误。由动能定理qEx＝Ek得，位移x大的动能大，B正确。在同一等势面上，a、b两微粒电荷量虽相等，但电性相反，故在t时刻，a、b的电势能不相等，C错误。由动量定理qEt＝mv得，在t时刻，a、b的动量大小相等，D正确。]
2．(2019·全国卷Ⅲ·T24)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q＞0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能。
[解析] (1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿运动定律、运动学公式和题给条件，有
mg＋qE＝ma ①
a2＝gt2 ②
解得E＝。 ③
(2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有
Ek－mv＝mgh＋qEh ④
且有
v1＝v0t ⑤
h＝gt2 ⑥
联立③④⑤⑥式得
Ek＝2m(v＋g2t2)。 ⑦
[答案] (1) (2)2m(v＋g2t2)
3．(2019·全国卷Ⅱ·T24)如图所示，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为φ(φ＞0)。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
[解析] (1)PG、QG间场强大小相等，均为E。粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有
E＝ ①
F＝qE＝ma ②
设粒子第一次到达G时动能为Ek，由动能定理有
qEh＝Ek－mv ③
设粒子第一次到达G时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移大小为l，则有
h＝at2 ④
l＝v0t ⑤
联立①②③④⑤式解得
Ek＝mv＋qh ⑥
l＝v0。 ⑦
(2)若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度L＝2l＝2v0。⑧
[答案] (1)mv＋qh v0 (2)2v0
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅱ·T25)如图所示，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量均为m、电荷量分别为q和－q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；
(2)A点距电场上边界的高度；
(3)该电场的电场强度大小。
[解析] (1)设小球M、N在A点水平射出时的初速度大小为v0，则它们进入电场时的水平速度仍然为v0。M、N在电场中运动的时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2。由题给条件和运动学公式得
v0－at＝0 ①
s1＝v0t＋at2 ②
s2＝v0t－at2 ③
联立①②③式得＝3。 ④
(2)设A点距电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，由运动学公式得
v＝2gh ⑤
H＝vyt＋gt2 ⑥
M进入电场后做直线运动，由几何关系知
＝ ⑦
联立①②⑤⑥⑦式可得
h＝H。 ⑧
(3)设电场强度的大小为E，小球M进入电场后做直线运动，则
＝ ⑨
设M、N离开电场时的动能分别为Ek1、Ek2，由动能定理得
Ek1＝m(v＋v)＋mgH＋qEs1⑩
Ek2＝m(v＋v)＋mgH－qEs2⑪
由已知条件
Ek1＝1.5Ek2 ⑫
联立④⑤⑦⑧⑨⑩⑪⑫式得
E＝。 ⑬
[答案] (1)3∶1 (2)H (3)
2．(2015·全国卷Ⅱ·T24)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。
[解析] 设带电粒子在B点的速度大小为vB。粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin 30°＝v0sin 60° ①
由此得vB＝v0 ②
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有
qUAB＝m(v－v) ③
联立②③式得
UAB＝。 ④
[答案]
3．(2017·全国卷Ⅰ·T25)真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0。在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
(1)求油滴运动到B点时的速度；
(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
[解析] (1)设油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正。油滴在电场强度大小为E1的匀强电场中做匀速直线运动，故油滴所受电场力方向向上。在t＝0时，电场强度突然从E1增加至E2时，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小a1满足
qE2－mg＝ma1 ①
油滴在时刻t1的速度为
v1＝v0＋a1t1 ②
电场强度在时刻t1突然反向，油滴做匀变速运动，加速度方向向下，大小a2满足
qE2＋mg＝ma2 ③
油滴在时刻t2＝2t1的速度为
v2＝v1－a2t1 ④
由①②③④式得
v2＝v0－2gt1。 ⑤
(2)由题意，在t＝0时刻前有
qE1＝mg ⑥
油滴从t＝0到时刻t1的位移为
s1＝v0t1＋a1t ⑦
油滴在从时刻t1到时刻t2＝2t1的时间间隔内的位移为
s2＝v1t1－a2t ⑧
由题给条件有
v＝2g(2h) ⑨
式中h是B、A两点之间的距离。
若B点在A点之上，依题意有
s1＋s2＝h ⑩
由①②③⑥⑦⑧⑨⑩式得
E2＝E1 ⑪
为使E2>E1，应有
2－2＋2>1 ⑫
即当
0
才是可能的；条件⑬式和⑭式分别对应于v2>0和v2<0两种情形。
若B点在A点之下，依题意有
s1＋s2＝－h ⑮
由①②③⑥⑦⑧⑨⑮式得
E2＝E1 ⑯
为使E2>E1，应有
2－2－2>1 ⑰
即t1> ⑱
另一解为负，不合题意，已舍去。
[答案] (1)v0－2gt1 (2)见解析
(2019·重庆九校联考)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50 N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2 m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场。质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋1×10－2 C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入电场，通过第Ⅰ象限后，从x轴上的A点进入第Ⅳ象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0,0.4)、(0.4,0)，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小。
[思路点拨] (1)小球进入竖直方向的匀强电场后做类平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，分别列位移方程，即可求解；
(2)小球在第四象限恰好做直线运动，合外力的方向与速度方向在一条直线上，根据＝可求电场强度，根据U＝EL可求A、B间的电势差；
(3)对小球运动的全过程，由动能定理，可求小球经过B点时的速度大小。
[解析] (1)小球进入竖直方向的匀强电场后做类平抛运动，小球带正电，受到的电场力竖直向上，根据牛顿第二定律，加速度a＝ 解得a＝5 m/s2
根据平抛运动规律，小球沿水平方向做匀速运动，有xA＝v0t
沿竖直方向有： yP＝at2
v0＝xA，解得v0＝1 m/s。
(2)设水平电场的电场强度大小为E，因未进入电场前，带电小球做类平抛运动，所以进入电场时竖直方向的速度vy＝
因为小球在该电场区域恰好做直线运动，所以合外力的方向与速度方向在一条直线上，即速度方向与合外力的方向相同，有＝ 解得E＝50 N/C
设小球在水平电场中运动的水平距离为L
＝ 根据U＝EL 解得UAB＝5 V。
(3)设小球在B点的速度大小为v，对小球运动的全过程，由动能定理，有
mv2－mv＝mg(yP＋d)＋qUAB－qE0yP
解得v＝ m/s。
[答案] (1)1 m/s (2)5 V (3) m/s
反思：处理带电体在电场和重力场作用下运动的方法
(1)根据带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点来处理问题，分析带电体的能量转化情况时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的转化，但应注意总的能量保持不变。
考向1 带电粒子在电场中的运动
1．(2019·河南示范性高中联考)某静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示。一质量m＝4×10－10 kg、电荷量q＝2×10－9 C的带负电粒子(不计重力)，从(－1 m,0)点由静止开始，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。则该粒子运动的周期为( )
A. s B．0.6 s
C．0.1 D. s
B [粒子先沿x轴正方向先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，然后反向运动；由E1＝＝ V/m＝10 V/m，a1＝＝50 m/s2；由x1＝a1t，解得粒子沿x轴正方向运动的时间为t1＝＝ s＝0.2 s；同理可得粒子沿x轴正方向做匀减速运动的时间为t2＝0.1 s；且粒子到达x＝0.5 m处的速度恰好为零，反向运动的时间为t1＋t2＝0.3 s；则粒子运动的周期为T＝2(t1＋t2)＝0.6 s；故选B。]
2.(2019·河南重点中学联考)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，有一个半圆形轨道，圆心为O。一带电粒子质量为m、电荷量为＋q(重力不计)，从与圆心等高的轨道上A点以水平速度v0向右入射，落在 轨道C点，已知OC连线与OB的夹角为θ，则带电粒子从A点运动到C点的时间为( )
A.cos B.tan
C.cos D.tan
B [AC之间的水平距离x＝R＋Rcos θ，竖直高度h＝Rsin θ，带电粒子在电场中运动受到的电场力F＝qE，加速度a＝，设带电粒子从A点运动到C点的时间为t，由类平抛运动规律，x＝v0t，h＝at2，联立解得：t＝tan ，选项B正确。]
考向2 带电粒子在电场、重力场中的运动
3．(2019·浙江杭州模拟)如图为一有界匀强电场，场强方向为水平方向(虚线为电场线)，一带负电微粒以某一角度θ从电场的a点斜向上方射入，沿直线运动到b点，则可知( )
A．电场中a点的电势低于b点的电势
B．微粒在a点时的动能与电势能之和与在b点时的动能与电势能之和相等
C．微粒在a点时的动能小于在b点时的动能，在a点时的电势能大于在b点时的电势能
D．微粒在a点时的动能大于在b点时的动能，在a点时的电势能小于在b点时的电势能
D [粒子沿直线运动到b点，粒子的合力与速度在同一直线上，重力竖直向下，则受到的电场力水平向左，电场方向水平向右，则a点的电势高于b点的电势，故A错误；根据能量守恒，粒子的重力势能、动能、电势能总量不变，重力势能增大，则动能与电势能之和减小，故B错误；粒子从a到b，电场力做负功，动能减小，电势能增大。C错误，D正确。]
4.(多选)如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带上等量异种电荷。一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A．若微粒带负电荷，则A板可能带正电荷
B．微粒从M点运动到N点，电势能可能增加
C．微粒从M点运动到N点，机械能一定增加
D．微粒从M点运动到N点，动能一定增加
ABD [粒子在电场力和重力的合力作用下做类平抛运动，合力向下，电场力可能向上而小于重力，也可能向下，故无法判断A板的带电情况，故A正确；电场力可能向上，也可能向下，故微粒从M点运动到N点，电势能可能增加，也可能减小，故B正确；电场力可能向上，也可能向下，所以微粒从M点运动到N点过程，电场力可能做负功，也可能做正功，所以机械能不一定增加，故C错误；粒子在电场力和重力的合力作用下做类平抛运动，电场力和重力的合力向下，故从M到N动能一定增加，故D正确。]
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