湖南省长郡中学2021届高三入学摸底考 数学（word版含答案） 试卷
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长郡中学2021届高三开学摸底考试
数学
本试题卷共8页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈N|<2x＋1<16}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B＝
A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}
2.已知复数z满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为
A.－2 B.－2i C.1 D.i
3.f(x)＝的部分图象大致是
4.饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期。有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B的概率为
A. B. C. D.
5.已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为
A. B. C. D.
6.命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得－e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是
A.(－2，－) B.(－2，－)∪[－1，＋∞) C.[－，－1) D.(2，－)∪[1，＋∞)
7.已知A(2，1)B(，0)，C，D四点均在函数f(x)＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是
A. B. C. D.
8.设数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，an，n＋，an＋1成等差数列，若Sn＝2020，且a2<3，则n的最大值为
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，右图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图。则
A.2022年我国5G用户规模年增长率最高
B.2022年我国5G用户规模年增长户数最多
C.从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D.这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
10.如图已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，∠OCB＝，|OA|＝2，|AD|＝。则下列说法正确的有
A.f(x)的最小正周期为12 B.φ＝－
C.f(x)的最大值为 D.f(x)在区间(14，17)上单调递增
11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在直线l上，则
A.B1C//l
B.B1C⊥l
C.点M到平面BCC1B1的距离等于线段AB的长度
D.直线BM与直线CD所成角的余弦值的最大值是
12.若存在实常数k和b，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：F(x)≥kx＋b和G(x)≤kx＋b恒成立，则称此直线y＝kx＋b为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x2(x∈R)，g(x)＝(x<0)，h(x)＝2elnx(e为自然对数的底数)，则
A.m(x)＝f(x)－g(x)在x∈(－，0)内单调递增
B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4
C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4，1]
D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x－e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则(2x＋)n展开式的常数项为 。(用数字作答)
14.设a，b，c为单位向量，向量a与b的夹角为120°，则(a－c)·(b－c)的取值范围是 。
15.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝2，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线y＝1相切。若存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P的坐标为 。
16.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α。当tanα的最大值为时，则三棱锥P－ABC的体积为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在①数列{an}为等差数列，且a3＋a7＝18；②数列{an}为等比数列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答。
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1， 。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在BC边上，且BD＝2DC，若sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，c＝2。
(I)求sinB的值；
(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为，求的值。
19.(本小题满分12分)
据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：
(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈10.03。记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54，80.63]之外的包装胶带个数，求P(X＝1)及X的数学期望(精确到0.001)；
(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t∈(1，4))
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由。
参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z≤μ＋σ)＝0.6827，P(µ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9973，0.818629≈0.0030，ln13≈2.6。
20.(本小题满分12分)
已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1在底面投影为AC边的中点O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G。
(1)证明：PG//平面A1B1C1；
(2)若AB＝6，AA1＝5，点M为棱A1B1上的动点，当直线AM与平面A1FC所成角的正弦值为时，求点M的位置。
21.(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|＝4。
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l过点A(2，0)且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S1，△RNB的面积为S2，求的最小值。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数。
(1)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x03＋3x0)成立。试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论。
