（山东专用）2021版高考数学一轮复习第七章立体几何第七讲立体几何中的向量方法学案（含解析）

第七讲　立体几何中的向量方法

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　两个重要的向量
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有__无数__个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有__无数__个，它们是共线向量．
知识点二　空间位置关系的向量表示

位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇒n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔m·n＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α、β的法向量分别为n、m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0

知识点三　两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝　　(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
知识点四　直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝　　．

知识点五　求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝　，　．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝　　，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
知识点六　利用空间向量求距离

(1)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为d＝．
(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．
注意体积法在求点到平面距离时的应用．

1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．
2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论错误的是(　ACD　)
A．两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角
B．若两平面的法向量平行，则两平面平行
C．直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角
D．两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角
题组二　走进教材
2．(必修2P111T3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是__垂直__．

[解析]　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，
O(，，0)，N(，0,1)，
·＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，
∴ON与AM垂直．
3．(必修2P117A组T4)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是　　．

[解析]　分别取AC、A1C1的中点D、D1，连接BD，D1D，易知D1D⊥平面ABC，且BD⊥AC，故以D为坐标原点，AC、DB、DD1所成的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知B(0，，0)，C1(－，0，)，
∴＝(，，－)，
设BC1与侧面ACC1A1所成的角为θ，
∵平面ACC1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
∴sinθ＝||＝＝，∴θ＝．
题组三　考题再现
4．(2019·福建漳州质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为(　C　)

A． B．
C． D．
[解析]　如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2a，则＝(a，a，－2a)，显然可取平面AA1D1D的法向量n＝(0,1,0)，记直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sin θ＝＝＝.故选C．

5．(2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为　　．

[解析]　分别取AE、AB的中点O、F，连DO，OF，则OD、OA、OF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则＝(，0,0)，＝(，－，)，记AE与BD所成角为θ，则cos θ＝|cos，|＝＝．


KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　利用向量证明空间的平行与垂直——自主练透
例1　(2020·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．

[解析]　取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，

∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，)，A(，0,0)，B(－，，0)，D(－，0,0)，E(0,0,0)，C(－，，0)．
(1)＝(，0，－)，＝(0，－，0)，
∴·＝×0＋0×(－)＋(－)×0＝0，
∴⊥，即PA⊥BD．
(2)设线段AB上存在点G满足条件，
则＝λ＝(－λ，λ，0)(0≤λ≤1)，
＝－＝(－λ，λ，0)－(－，0,0)＝(－λ＋，λ，0)．
且＝m＋n，即(－，－，0)＝(－λm＋m，λm，－n)，
∴解得λ＝．
∴存在点G，当AG＝AB时，BC∥平面PEG．
注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n·＝0⇔n⊥⇔BC∥平面PEG判断解答．
名师点拨 ☞
(1)建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．
(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示
面面平行
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)
②转化为线面平行、线线平行问题

(3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题
两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直

〔变式训练1〕
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD．
[证明]　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．

设BA＝a，则A(a,0,0)，G(，1,4)，A1(a，0,4)．
(1)因为＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0．
所以⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD．
又BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．
因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD．
(2)因为＝(，1,1)，＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，
所以·＝0，·＝0．
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF．
因为EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF．
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD．
考点二　利用向量求空间的角——多维探究
角度1　向量法求异面直线所成的角
例2　(2019·豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　B　)
A． B．
C． D．－
[解析]　取BD的中点O，连AO，OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，得AO⊥BD，CO⊥BD，且OC＝，AO＝1.在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，故AO⊥OC，又知BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，∴＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)，设异面直线AB与CD所成角为θ，则cos θ＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故选B．

名师点拨 ☞
(1)求异面直线所成角的思路：
①选好基底或建立空间直角坐标系；
②求出两直线的方向向量v1，v2；
③代入公式|cosv1，v2|＝求解．
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围是θ∈(0，]，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
角度2　向量法求线面角
例3　(2019·湖北八校调研)如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

[解析]　(1)设AC与BD相交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC中点，
∵FA＝FC，∴AC⊥FO，
又FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF．
(2)连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD的中点，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，
∴FO⊥平面ABCD．
∴OA，OB，OF两两垂直，如图建立空间直角坐标系O－xyz，　

设AB＝2，∵四边形为ABCD为菱形，∠DAB＝60°，
∴BD＝2，AC＝2．
∵△DBF为等边三角形，∴OF＝．
∵A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，
∴＝(－，－1,0)，＝(－，0，)，＝(－，1,0)．
设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，，1)．
设直线AD与平面ABF所成角为θ，
则sin θ＝|cos，n|＝＝．
名师点拨 ☞
向量法求线面角的两大途径
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量．
角度3　向量法求二面角
例4　(2019·课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
[解析]　(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
(2)由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，
＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，
＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，
则
所以可取m＝(，1,0)．
设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，
则
所以可取n＝(2,0，－1)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
所以二面角A－MA1－N的正弦值为．
名师点拨 ☞
利用向量法确定二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2018·江苏高考题改编)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．则异面直线BP与AC1所成角的余弦值为　　．
(2)(角度2)(2020·广东中山期末)如图，在三棱台ABC－DEF中，二面角B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，AD＝DF＝FC＝AC＝1．

①求证：AB⊥平面ACFD；
②求二面角F－BE－D的平面角的余弦值．
(3)(角度3)(2019·广东省肇庆市统测)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1＝60°，E是棱BB1的中点，CA＝CB，F在线段AC上，且AF＝2FC．

①证明：CB1∥平面A1EF；
②若CA⊥CB，平面CAB⊥平面ABB1A1，求二面角F－A1E－A的余弦值．
[解析]　(1)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

设AC，A1C1的中点分别为O，O1，
则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O－xyz．
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)．
因为P为A1B1的中点，所以P(，－，2)．
从而＝(－，－，2)，＝(0,2,2)．
故|cos，|＝＝＝．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
(2)①连结CD，过D作DG⊥AC交AC于点G，如图所示，

∵AD＝DF＝FC＝AC＝1，且DF∥AC，
∴ACFD为等腰梯形，
∴AG＝，DG＝，CG＝，
∴CD＝，∴AD2＋CD2＝AC2，
∴CD⊥AD．
又∵二面角B－AD－C是直二面角，CD⊂平面ACFD，
∴CD⊥平面ABED，
又∵AB⊂平面ABED，∴AB⊥CD，
∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACFD，
∴AB⊥平面ACFD．
②在平面ACFD中，过点A作AH⊥AC，
由①可知AB⊥AH，因为AB⊥平面ACFD，故以A为原点，，，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

则B(3,0,0)，D(0，，)，F(0，，)，C(0,2,0)，
∴＝(－3,2,0)，＝(0，－，)，
设n＝(x，y，z)是平面FBE的一个法向量，
则，∴，
取x＝2，则y＝3，z＝，即n＝(2,3，)，
由(1)可知CD⊥平面BED，
∴＝(0，－，)是平面BDE的一个法向量，
∴cos〈n，〉＝＝－＝－，
又∵二面角F－BE－D的平面角为锐角，
∴二面角F－BE－D的平面角的余弦值为．
(3)①连接AB1交A1E于点G，连接FG．
因为△AGA1∽△B1GE，所以＝＝2，
又因为＝2，所以＝，所以FG∥CB1，
又CB1⊄平面A1EF，FG⊂平面A1EF，所以CB1∥平面A1EF．
②过C作CO⊥AB于O，因为CA＝CB，所以O是线段AB的中点，
因为平面CAB⊥平面ABB1A1，平面CAB∩平面ABB1A1＝AB，所以CO⊥平面ABA1．
连接OA1，因为△ABA1是等边三角形，O是线段AB的中点，所以OA1⊥AB．
如图以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

不妨设AB＝2，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0,1)，B(－1，0,0)，F(，0，)，
由＝，得B1(－2，，0)，
BB1的中点E(－，，0)，＝(－，－，0)，＝(，－，)．
设平面A1FE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则，即，
不妨取y1＝，则n1＝(－1，，5)，
又平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
记二面角F－A1E－A的大小为θ，
由图可知cos θ＝cosn1，n2＝＝．
所以二面角F－A1E－A的余弦值为．
考点三　利用向量求空间的距离——师生共研
例5　(2019·广东广州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD的边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且PA＝PD，AD＝PB．

(1)求证：AD⊥PB；
(2)求点A到平面PBC的距离．
[解析]　(1)证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，
因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以AD＝AB＝BD．
因为O为AD的中点，所以BO⊥AD．
在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，
所以PO⊥AD．
因为BO∩PO＝O，所以AD⊥平面POB．
因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB．
(2)由题意及(1)易知OP＝1，BO＝，PB＝2，
∴OP2＋BO2＝PB2，∴OP⊥OB，
∴OP、OA、OB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，P(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(0，，－1)，＝(－2，－1)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则，∴，
不妨取y＝1，则n＝(0,1，)，
∴点A到平面PBC的距离d＝＝．
名师点拨 ☞
求点到平面距离的方法有：
①直接作出点到面的垂线段，再计算；
②平行转移法．即通过线面平行，转化为其它点到平面的距离；
③等体积法；④向量法．
即已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝||·|cos，n|＝．
〔变式训练3〕
(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝PD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB＝AD＝AP＝2，求点N到平面PAC的距离．
[解析]　(1)∵ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
(2)∵AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又PA＝PD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，
取BC的中点M，则NP、NA、NM两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，)，A(1,0,0)，C(－1,2,0)，N(0,0,0)，
从而＝(0,0，)，＝(－1,0，)，＝(－2,2,0)，
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨取x＝，则n＝(，，1)
∴点N到平面PAC的距离
d＝＝＝．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
利用向量法解答立体几何中的探究型问题
例6　(2019·河南省开封市模拟)如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．

(1)求证：平面ABCD⊥平面ABE；
(2)线段AD上是否存在一点F，使二面角A－BF－E所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，
BC⊂平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴AE∩AB＝A，∴BC⊥平面ABE，
又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE．
(2)如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，

∵AE＝1，AB＝2，AE⊥BE，∴BE＝．
假设线段AD上存在一点F满足题意，
E(，，0)，B(0,2,0)，F(0,0，h)，(0≤h≤2)，
易知：平面ABF的一个法向量为m＝(1,0,0)，
∵＝(，－，0)，＝(0，－2，h)，
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，
取y＝1，得n＝(，1，)，
则cosm，n＝＝＝，∴h＝1．
∴点F为线段AD的中点时，二面角A－BF－E所成角的余弦值为．
名师点拨 ☞
对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．
〔变式训练4〕
(2019·广东汕头模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC中点，F是PC上的点．

(1)求证：平面AEF⊥平面PAD．
(2)若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，
∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，
又PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PAD．
(2)以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

不妨设AB＝AP＝2，则AE＝，
则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，M(0,1,1)，
设＝λ＝λ(，1，－2)，
则＝＋＝(0,0,2)＋λ(，1，－2)＝(λ，λ，2－2λ)，
又＝(，0,0)，设n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则
，
取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ)，
设直线EM与平面AEF所成角为θ，由＝(－，1,1)，得：
sin θ＝|cos，n＝＝＝．
化简得：10λ2－13λ＋4＝0，解得λ＝或λ＝，
故存在点F满足题意，此时＝或．