（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题八立体几何8.2空间点、线、面的位置关系试题（含解析）

§8.2　空间点、线、面的位置关系

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点　空间点、线、面的位置关系

1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(　　)

A.直线CC1　　　B.直线C1D1　　　C.直线HC1　　　D.直线GH

答案　C

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)

A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7

答案　C

3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:

①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;　　　　　②若m∥n,m∥β,则n∥β;

③若m∥α,m∥β,则α∥β;　　　　　④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.

其中真命题的个数为(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

答案　A

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　B

5.在三棱锥A-BCD中,AC=BC=CD=BD=2,AB=AD=,则AB与CD夹角的余弦值为　　　　. 

答案　

6.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则异面直线AD与GF所成的角的余弦值为　　　　. 

答案　

7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:

(1)E、C、D1、F四点共面;

(2)CE、D1F、DA三线共点.

证明　(1)如图所示,连接EF、CD1、A1B.

∵E、F分别是AB,AA1的中点,

∴EF∥BA1,又A1B∥D1C,∴EF∥D1C,

∴E、C、D1、F四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,

∴CE与D1F必相交,设交点为P.

则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD,同理,P∈平面ADD1A1,又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA.

∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点.

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　平面的基本性质及应用

1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是(　　)

A.a∥b,b⊂α,则a∥α

B.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b

C.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β

D.α∥β,a⊂α,则a∥β

答案　D

2.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且Cl,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(　　)

A.点A　　　　　          B.点B

C.点C但不过点M　　　　　D.点C和点M

答案　D

3.(2018河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是(　　)

A.相交　　　B.平行　　　C.异面　　　D.以上都有可能

答案　B

4.(2018皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为　　　　. 

答案　

考法二　求异面直线所成角的方法

5.(2018河北、山西、河南三省4月联考,10)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A

6.(2019江西八校联考,10)在四面体ABCD中,BD⊥AD,CD⊥AD,BD⊥BC,BD=AD=1,BC=2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　D

7.(2019豫西南五校3月联考,8)已知矩形ABCD,AB=2,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,(　　)

A.存在某个位置,使得直线BD与直线AC垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置,使得直线BC与直线AD垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直

答案　B

【五年高考】

考点　空间点、线、面的位置关系

1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)

A.m∥l　　　B.m∥n　　　C.n⊥l　　　D.m⊥n

答案　C

2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　A

3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

答案　D

4.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.(　　)

A.若l⊥β,则α⊥β　　　　　B.若α⊥β,则l⊥m

C.若l∥β,则α∥β　　　　　D.若α∥β,则l∥m

答案　A

5.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

6.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A

7.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

答案　B

8.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

解析　(1)交线围成的正方形EHGF如图:

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.

因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.

于是MH==6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.

思路分析　(1)由于AE==<10,EB>10,知H不在AA1或BB1上,分别在AB,CD上取点H,G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则四边形EFGH即为所求.(2)作EM⊥AB于M点,易得MH==6,则AH=10.所求两个几何体的体积之比即为两等高梯形的面积之比.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共65分)

1.(2020届福建三明一中10月月考,5)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(　　)

A.若l∥α,l∥β,则α∥β　　　　　B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β

C.若l⊥α,l∥β,则α∥β　　　　　D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

答案　B

2.(2020届上海七宝中学10月月考,14)下列命题正确的是(　　)

A.如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行

B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面

C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面

D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行

答案　D

3.(2019黑龙江哈师大附中期中,5)若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是　(　　)

A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n

B.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β

C.α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β

D.α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n⇒α∥β

答案　C

4.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是(　　)

A.若c⊂平面α,则a⊥α

B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α

C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α

D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α

答案　C

5.(2020届湖南长沙一中第二次月考,9)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1的中点为M,BC的中点为N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与MN所成角的正弦值为(　　)

A.1　　　B.　　　C.　　　D.0

答案　A

6.(2020届山东济南济钢高级中学10月月考)已知m,n为直线,α为平面,且m⊂α,则“n⊥m”是“n⊥α”的(　　)

A.充分而不必要条件　　　　　B.必要而不充分条件

C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　B

7.(2018黑龙江哈师大附中三模,11)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AD的中点,过点B1且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为(　　)

A.5　　　B.2　　　C.2　　　D.6

答案　C

8.(2019甘肃兰州一中模拟,6)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)

A.4条　　　B.6条　　　C.8条　　　D.12条

答案　B

9.(2019辽宁沈阳四校联考,3)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(　　)

A.α⊥β,α∩β=m,m⊥n⇒n⊥β

B.α⊥β,α∩β=n,m⊂α,m∥β⇒m∥n

C.m⊥n,m⊂α,n⊂β⇒α⊥β

D.m∥α,n⊂α⇒m∥n

答案　B

10.(2019豫南豫北精英对抗赛,6)在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.-

答案　B

11.(2019湘东六校12月联考,9)如图为一个正四面体的表面展开图,G为BF的中点,则在原正四面体中,直线EG与直线BC所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

12.(2018内蒙古赤峰4月模拟,8)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为(　　)

A.90°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.30°

答案　C

13.(2020届广东百校联考,10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为(　　)

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°

答案　C

二、多项选择题(共5分)

14.(2020届山东夏季高考模拟,11)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则(　　)

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

答案　BC

三、填空题(共5分)

15.(2020届广东广雅中学、执信中学、六中、深外四校八月联考,16)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'称为图形M在这个平面上的射影.如图,在长方体ABCD-EFGH中,AB=5,AD=4,AE=3.则△EBD在平面EBC上的射影的面积是　　　　. 

答案　2