第07讲 一元二次方程及其应用（原卷版）

第7讲　一元二次方程及其应用1．定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．2．解法(1)直接开平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形式；(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)2＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，将a，b，c的值代入得x＝        ；(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根．3．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b2－4ac(或记为“Δ”)． (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根； (4)b2－4ac≥0⇔方程有实数根．4．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)n＝b.(2)几何图形问题：①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)；②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；考点1：一元二次方程的解法【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：x2＋x＝－，……第一步x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步(x＋)2＝，……第三步x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步x＝.……第五步(1)嘉淇的解法从第   步开始出现错误；事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是                 ；(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.     考点2：一元二次方程的实际应用【例题2】(2019•湖北宜昌•10分)HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．      考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用【例题3】（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．      一、选择题：1. （2018•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=2. （2019•湖南怀化•4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝23. （2019•河北省•2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根4. 2019•山东省聊城市•3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠25. （2018•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长二、填空题：6. （2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．7. （2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为　 　．8.（2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　　．9. （2018•黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　 　． 三、解答题：10. 解方程：x2－1＝2(x＋1)．    11. 已知，一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．     12. （2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？    13. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值)    14. （2019•四川省广安市•10分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.    15. (2018·张家口一模)已知n边形的对角线共有条(n是不小于3的整数)；(1)五边形的对角线共有5条；(2)若n边形的对角线共有35条，求边数n；(3)若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n.       16. （2018东营）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．