第08讲 分式方程及其应用（解析版） 试卷

第8讲　分式方程及其应用

1．分式方程定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程解法

分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．

3．分式方程的增根

使最简公分母为0的根．

注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．

4．分式方程的实际应用

(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：

①工程问题：

工作效率＝；工作时间＝；

②销售问题：售价＝标价×折扣；

③行程问题：时间＝.

(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：

①审：审清题意；

②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；

③找：找出各量之间的等量关系；

④列：根据等量关系，列出分式方程；

⑤解：解这个分式方程；

⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；

⑦答：写出答案．

审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．

考点1：分式方程的解法

【例题1】解方程：－1＝.

【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x－1)＝3.

解得x＝.

检验：当x＝时，2(3x－1)≠0，

∴x＝是原分式方程的解．

方法二：设3x－1＝y则原方程可化为－1＝，

去分母，得4－2y ＝3.

解得y＝.

∴3x－1＝.解得x＝.

检验：当x＝时，6x－2≠0，

∴x＝是原分式方程的解．

方法三：移项，得－＝1.

通分，得＝1.

由分式的性质，得6x－2＝1.

解得x＝.

检验：当x＝时，6x－2≠0，

∴x＝是原分式方程的解．

归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根．

考点2：分式方程的应用

【例题2(2018·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．

解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．

冰冰：＝

庆庆：－＝20

根据以上信息，解答下列问题．

(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；

庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所用时间；

(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；

(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．

【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；

庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)．

(3)选冰冰的方程：＝，解得x＝40.

经检验，x＝40是原方程的根．

答：甲队每天修路的长度为40米．

选庆庆的方程：－＝20，解得y＝10.

经检验，y＝10是原方程的根．

∴＝40.

答：甲队每天修路的长度为40米．

归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．

考点3：分式方程与其它问题的综合应用

【例题3】（2019•山东潍坊•10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？

（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）

【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：，求得x即可

（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．

【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元

∴

整理得x2﹣19x﹣120＝0

解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）

故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．

（2）设每千克的平均售价为m元，依题意

由（1）知平均批发价为24元，则有

w＝（m﹣24）（×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240

整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260

∵a＝﹣60＜0

∴抛物线开口向下

∴当m＝35元时，w取最大值

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元

归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

一、选择题：

1. （2019，山东淄博，4分）解分式方程﹣2时，去分母变形正确的是（　　）

A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） 

C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）

【答案】D

【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

故选：D．

2. （2019•山东省聊城市•3分）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0

【答案】B

【解答】解：根据题意，得

|x|﹣1＝0且x+1≠0，

解得，x＝1．

故选：B．

3. （2018海南）（3.00分）分式方程=0的解是（　　）

A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解

【答案】B

【解答】两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，

解得：x=1或x=﹣1，

当x=1时，x+1≠0，是方程的解；

当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；

所以原分式方程的解为x=1，

故选：B．

4. （2019•湖南株洲•3分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

【答案】B

【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，

解得：x＝﹣2，

经检验x＝﹣2是分式方程的解，

故选：B．

5. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为(   )

A． -3              B． -2           C．1         D．2

【答案】C

解析：解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意

A点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C

二、填空题：

6. （2019•湖南岳阳•4分）分式方程的解为x＝　1　．

【答案】1．

【解答】解：方程两边同乘x（x+1），

得x+1＝2x，

解得x＝1．

将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．

所以x＝1是原方程的解．

7. （2018黑龙江齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为　     ．

【答案】﹣1或5或﹣．

【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3，

可得：（m+1）x=5m﹣1，

当m+1=0时，一元一次方程无解，

此时m=﹣1，

当m+1≠0时，

则x= =±4，

解得：m=5或﹣，

综上所述：m=﹣1或5或﹣，

故答案为：﹣1或5或﹣．

8. （2019，四川巴中，4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　1　．

【答案】1

【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，m＝1

故m的值是1，

故答案为1

三、解答题：

9. 解分式方程：＝1＋.

【解析】：方程两边同乘(x－5)，得x＋1＝x－5＋2x，

整理得，2x＝6，

解得x＝3.

检验：当x＝3时，x－5≠0，则x＝3是原分式方程的解

10. (2018·宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．

【解析】：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1＋50%)x万部，根据题意，得

－＝5，解得x＝20.

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．

∴(1＋50%)x＝30.

答：每月实际生产智能手机30万部．

11. (2018·河北模拟)甲、乙两地相距72千米，嘉嘉骑自行车往返两地一共用了7小时，已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快，求嘉嘉去时的平均速度是多少？

下框是淇淇同学的解法．

解：设嘉嘉去时的平均速度是x千米/时，则回时的平均速度是(1－)x千米/时，由题意，得

＋＝7，…

你认为淇淇同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等量关系，并完成剩下的步骤；若不正确，请说明原因，并正确地求出嘉嘉去时的平均速度．

【解析】淇淇同学的解法不正确；因为“去时的平均速度比返回时的平均速度快”并不等于“返回时的平均速度比去时的平均速度慢”．

设嘉嘉返回时的平均速度是x千米/时，则去时的平均速度是(1＋)x千米/时，

由题意得＋＝7，

解得x＝18.经检验，x＝18是方程的解，且符合题意．

(1＋)x＝24.所以嘉嘉去时的平均速度是24千米/时．

12. （2018•邵阳）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．

（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？

【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．

（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答．

解析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，

根据题意，得=，

解得x=120．

经检验，x=120是所列方程的解．

当x=120时，x+30=150．

答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；

（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，

根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，

解得a≥．

∵a是整数，

∴a≥14．

答：至少购进A型机器人14台．

13. （2019•山东威海•7分）列方程解应用题：

小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．

【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．

【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：

，

解得：x＝50，

经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，

答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．

14. （2018•宁波）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

解：：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．

根据题意，得， =，

解得 x=40．

经检验，x=40是原方程的解．

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为=50．

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，

解得 a≥20．

答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．

15. （2018·湖北省孝感·10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．

【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，

根据题意得：，

解得：m=2000，

经检验，m=2000是分式方程的解，

∴m﹣200=1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．

（2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000，

解得：x≤40．

W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000，

∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0，

∴W随x增大而增大，

∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，

∴W的最大值是（23800﹣40a）元．