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2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 解析版
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2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．（3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
5．（3分）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
77
81
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．81，80 B．80，2 C．81，2 D．80，80
7．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③
9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
10．（3分）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截至2020年7月2日，全球新冠肺炎确诊病例已超过1051万例，其中数据1051万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）计算：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝ ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
18．（9分）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝ ，该班女生一周复习时间的中位数为 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 °；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
20．（8分）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
21．（9分）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
22．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：实数﹣的绝对值是：．
故选：A．
2．（3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，从而得出答案．
【解答】解：由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，
符合这一条件的是C选项几何体，
故选：C．
3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为，
故选：C．
4．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣3ab2）2＝9a2b4，原式计算正确，不合题意；
B、﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2，原式计算正确，不合题意；
C、（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，原式计算正确，不合题意；
D、（x+1）2＝x2++2x+1，原式计算错误，符合题意．
故选：D．
5．（3分）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故选：B．
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
77
81
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．81，80 B．80，2 C．81，2 D．80，80
【分析】设丙的成绩为x，根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，据此可得第1个被遮盖的数据，再利用众数的定义可得第2个被遮盖的数据，从而得出答案．
【解答】解：设丙的成绩为x，
则＝80，
解得x＝80，
∴丙的成绩为80，
在这5名学生的成绩中80出现次数最多，
所以众数为80，
所以被遮盖的两个数据依次是80，80，
故选：D．
7．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝．
故选：A．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③
【分析】分别根据黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义分别判断可得．
【解答】解：①的值约为0.618，大于，此说法正确；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径，此说法正确；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，此说法错误；
④∵s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，∴s2甲＞s2乙，故乙的射击成绩比甲稳定，此说法正确；
故选：B．
9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
10．（3分）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【分析】设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式；把y＝2500代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【解答】解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截至2020年7月2日，全球新冠肺炎确诊病例已超过1051万例，其中数据1051万用科学记数法表示为 1.051×107． ．
【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．
【解答】解：1051万＝10510000＝1.051×107．
故答案为：1.051×107．
12．（3分）计算：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝ 10 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+9﹣3+1
＝10．
故答案为：10．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 12 ．
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），
∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，
∴k＝1，
∴k＝12．
故答案为12．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 2 ．
【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 ①②③④ （把所有正确结论的序号都填上）．
【分析】①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．
②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．
③正确．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．
④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．
【解答】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝2HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+2a＝15，整体代入计算可得．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x＞﹣，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最小整数解为﹣2；
（2）原式＝[+]÷
＝（+）•
＝•
＝
＝，
∵a2+2a﹣15＝0，
∴a2+2a＝15，
则原式＝．
18．（9分）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝ 7 ，该班女生一周复习时间的中位数为 2.5 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 72 °；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为＝2.5（小时），
故答案为：7，2.5；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600×（+20%）＝300（名）；
答：估计一周复习时间为4小时的学生有300名．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，
∴恰好选中B和D的概率为P＝＝．
答：恰好选中B和D的概率为．
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
20．（8分）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而取出后OG即可．
【解答】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF＝146°﹣90°﹣26°＝30°，AB＝8，
则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
21．（9分）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为 （x+3）2+（y+1）2＝3 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由圆的方程的定义可求解；
（2）①由“SAS”可证△CBE≌△OBE，可得∠BCE＝∠BOE＝90°，可得结论；
②如图，连接CQ，QO，由余角性质可得∠AOC＝∠BEO，由锐角三角函数可求EO的长，可得点E坐标，由QB＝QC＝QE＝QO，可得点Q是BE中点，由中点坐标公式可求点Q坐标，即可求解．
【解答】解：（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为（x+3）2+（y+1）2＝3，
故答案为：（x+3）2+（y+1）2＝3；
（2）①∵OE是⊙B切线，
∴∠BOE＝90°，
∵CB＝OB，BD⊥CO，
∴∠CBE＝∠OBE，
又∵BC＝BO，BE＝BE，
∴△CBE≌△OBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BOE＝90°，
∴BC⊥CE，
又∵BC是半径，
∴EC是⊙B的切线；
②如图，连接CQ，QO，
∵点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，
∴∠AOC＝∠BEO，
∵sin∠AOC＝．
∴sin∠BEO＝＝，
∴BE＝5，
∴OE＝＝＝4，
∴点E（0，4），
∵QB＝QC＝QE＝QO，
∴点Q是BE的中点，
∵点B（﹣3，0），点E（0，4），
∴点Q（﹣，2），
∴以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程为（x+）2+（y﹣2）2＝9．
22．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
23．（10分）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．
②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，
∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．（3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
5．（3分）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
77
81
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．81，80 B．80，2 C．81，2 D．80，80
7．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③
9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
10．（3分）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截至2020年7月2日，全球新冠肺炎确诊病例已超过1051万例，其中数据1051万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）计算：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝ ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
18．（9分）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝ ，该班女生一周复习时间的中位数为 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 °；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
20．（8分）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
21．（9分）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
22．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
2020年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：实数﹣的绝对值是：．
故选：A．
2．（3分）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，从而得出答案．
【解答】解：由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，
符合这一条件的是C选项几何体，
故选：C．
3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为，
故选：C．
4．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3ab2）2＝9a2b4 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（x+1）2＝x2+1
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣3ab2）2＝9a2b4，原式计算正确，不合题意；
B、﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2，原式计算正确，不合题意；
C、（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，原式计算正确，不合题意；
D、（x+1）2＝x2++2x+1，原式计算错误，符合题意．
故选：D．
5．（3分）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故选：B．
6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
77
81
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．81，80 B．80，2 C．81，2 D．80，80
【分析】设丙的成绩为x，根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，据此可得第1个被遮盖的数据，再利用众数的定义可得第2个被遮盖的数据，从而得出答案．
【解答】解：设丙的成绩为x，
则＝80，
解得x＝80，
∴丙的成绩为80，
在这5名学生的成绩中80出现次数最多，
所以众数为80，
所以被遮盖的两个数据依次是80，80，
故选：D．
7．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝．
故选：A．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
①的值大于；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；
④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．
A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③
【分析】分别根据黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义分别判断可得．
【解答】解：①的值约为0.618，大于，此说法正确；
②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径，此说法正确；
③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，此说法错误；
④∵s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，∴s2甲＞s2乙，故乙的射击成绩比甲稳定，此说法正确；
故选：B．
9．（3分）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（ ）
A． B．22018 C．22018+ D．1010
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
10．（3分）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【分析】设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式；把y＝2500代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【解答】解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截至2020年7月2日，全球新冠肺炎确诊病例已超过1051万例，其中数据1051万用科学记数法表示为 1.051×107． ．
【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．
【解答】解：1051万＝10510000＝1.051×107．
故答案为：1.051×107．
12．（3分）计算：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝ 10 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+9﹣3+1
＝10．
故答案为：10．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝ ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 12 ．
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵BC∥x轴，
∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），
∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，
∴k＝1，
∴k＝12．
故答案为12．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 2 ．
【分析】首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2），
连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案为2．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 ①②③④ （把所有正确结论的序号都填上）．
【分析】①正确．证明∠ADM＝30°，即可得出结论．
②正确．证明△DHM是等腰直角三角形即可．
③正确．首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DM＞CD即可判断．
④正确．证明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断．
【解答】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝2HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为①②③④．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+2a＝15，整体代入计算可得．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x＞﹣，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最小整数解为﹣2；
（2）原式＝[+]÷
＝（+）•
＝•
＝
＝，
∵a2+2a﹣15＝0，
∴a2+2a＝15，
则原式＝．
18．（9分）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝ 7 ，该班女生一周复习时间的中位数为 2.5 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 72 °；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为＝2.5（小时），
故答案为：7，2.5；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600×（+20%）＝300（名）；
答：估计一周复习时间为4小时的学生有300名．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，
∴恰好选中B和D的概率为P＝＝．
答：恰好选中B和D的概率为．
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
20．（8分）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而取出后OG即可．
【解答】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF＝146°﹣90°﹣26°＝30°，AB＝8，
则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
21．（9分）我们知道，顶点坐标为（h，k）的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为（a，b），半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P（﹣2，1），半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．
（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为 （x+3）2+（y+1）2＝3 ．
（2）如图，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由圆的方程的定义可求解；
（2）①由“SAS”可证△CBE≌△OBE，可得∠BCE＝∠BOE＝90°，可得结论；
②如图，连接CQ，QO，由余角性质可得∠AOC＝∠BEO，由锐角三角函数可求EO的长，可得点E坐标，由QB＝QC＝QE＝QO，可得点Q是BE中点，由中点坐标公式可求点Q坐标，即可求解．
【解答】解：（1）以M（﹣3，﹣1）为圆心，为半径的圆的方程为（x+3）2+（y+1）2＝3，
故答案为：（x+3）2+（y+1）2＝3；
（2）①∵OE是⊙B切线，
∴∠BOE＝90°，
∵CB＝OB，BD⊥CO，
∴∠CBE＝∠OBE，
又∵BC＝BO，BE＝BE，
∴△CBE≌△OBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BOE＝90°，
∴BC⊥CE，
又∵BC是半径，
∴EC是⊙B的切线；
②如图，连接CQ，QO，
∵点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，
∴∠AOC＝∠BEO，
∵sin∠AOC＝．
∴sin∠BEO＝＝，
∴BE＝5，
∴OE＝＝＝4，
∴点E（0，4），
∵QB＝QC＝QE＝QO，
∴点Q是BE的中点，
∵点B（﹣3，0），点E（0，4），
∴点Q（﹣，2），
∴以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程为（x+）2+（y﹣2）2＝9．
22．（8分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
23．（10分）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝ 45 °．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．
②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，
∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．
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