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2020届二轮复习（理）专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案
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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线方程)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为，准线方程为x＝∓；
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为，准线方程为y＝∓.
3．弦长问题
(1)弦长公式
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|
＝或
|AB|＝|y1－y2|
＝.
(2)过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点考向探究
考向1 圆锥曲线的定义和标准方程
例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且＝3，若OM⊥FN，则C的离心率为( )
A．2 B. C．3 D.
答案 B
解析 设双曲线的右焦点为F′，取MN的中点P，连接F′P，F′M，F′N，如图所示，由＝3，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又O为FF′的中点，可知OM∥PF′.∵OM⊥FN，
∴PF′⊥FN.∴PF′为线段MN的垂直平分线．∴|NF′|＝|MF′|.设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，则3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a.在Rt△MF′P中，|PF′|＝＝＝2a，∴|OM|＝|PF′|＝a.
在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，
∴4a2＋3a2＝c2⇒e＝.故选B.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝3x
C．y2＝x
D．y2＝9x
答案 B
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.
在直角三角形ACE中，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.
∵BD∥FG，∴＝，求得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
(3)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 解法一：设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos60°，得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选C.
解法二：设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，不妨设|PF1|＝1，则|FP|＝2，|FF1|＝2c＝＝＝，根据椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选C.
圆锥曲线的定义、标准方程的关注点
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．
(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．
1．(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则△AF1F2的面积是( )
A. B．2
C. D．4
答案 C
解析 画出图形如图所示，AD⊥F1D，根据抛物线的定义可知|AF2|＝|AD|＝，
故cos∠F1AD＝，
也即cos∠AF1F2＝，在△AF1F2中，由余弦定理得＝，解得|F1F2|＝2或|F1F2|＝3，由于∠AF2F1为钝角，故|AD|>|F1F2|，所以|F1F2|＝3舍去，故|F1F2|＝2.而sin∠AF1F2＝＝，所以S△AF1F2＝××2×＝.故选C.
2．(2019·宣城市高三第二次调研)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A.－ B.－1 C.－ D．2－
答案 A
解析 PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t,2t＋t＝4a，则t＝2a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2,4(6－4)a2＋(12－8)a2＝4c2，化为c2＝(9－6)a2，可得e＝＝－.故选A.
3．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋
C．4＋ D．2＋1
答案 D
解析 如图所示，设双曲线右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最值为2a＋1＝2＋1.故选D.
考向2 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
答案 A
解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，
∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝a，
∴b＝＝a.
∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选A.
(2)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 设|QF1|＝x，则|PF1|＝3x，|PQ|＝2x，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|PF2|＝3x－2a，|QF2|＝x＋2a，在Rt△QPF2中，|QP|2＋|PF2|2＝|QF2|2，即(2x)2＋(3x－2a)2＝(2a＋x)2，可得x＝a.
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3x)2＋(3x－2a)2＝(2c)2，整理可得c2＝5a2，所以e＝＝.故选A.
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法
解决此类问题的关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
③利用渐近线的斜率k求离心率e，双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e2＝1＋k2.
1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|＝2|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的短轴的长为( )
A．5 B．2
C．10 D.
答案 B
解析 ∵AF2⊥x轴，l在y轴上的截距为1，∴A(c,2)，又|AF1|＝2|F1B|，∴B(－2c，－1)，则
∴－＝3，即b2＝5，∴b＝，故选B.
2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意得，F(－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－x，将x＝－c代入y＝－x得y＝，∴＝2a，即bc＝2a2，∴4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，∴e4－e2－4＝0，解得e2＝，故选A.
考向3 直线与圆锥曲线
角度1 弦中点、弦分点问题
例3 (1)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为( )
A．2x＋9y－10＝0 B．2x－9y－10＝0
C．2x＋9y＋10＝0 D．2x－9y＋10＝0
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简整理得＝－×，而x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2，所以＝－×＝，直线l的方程为y－1＝，即2x－9y＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2
解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且＝3，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2.
(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题．
(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，
则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由
两式相减得，＝，
则＝＝，由直线AB的斜率k＝＝1，所以＝1，则＝，双曲线的离心率e＝＝ ＝，所以双曲线C的离心率为.故选B.
2．(2019·汉中市重点中学高三联考)已知抛物线C：y2＝6x，直线l过点P(2,2)，且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)代入C：y2＝6x，得
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．因为线段MN的中点恰好为点P，所以从而4(y1－y2)＝6(x1－x2)，即l的斜率为＝.故选C.
角度2 弦长问题
例4 (2019·宜宾市高三第二次诊断)已知点M到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A，B两点，求证：△FAB的周长为定值．
解 (1)设M(x，y)，由题意得＝，
∴＋＝1为点M的轨迹C的方程．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知k>0，m<0，
∵直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切，
∴＝3，
即m2＝9(k2＋1)，
把y＝kx＋m代入＋＝1，得(25k2＋9)x2＋50kmx＋25m2－225＝0，
显然Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝，
|FA|＋|FB|＝5－x1＋5－x2＝10－(x1＋x2)＝10＋＝10－，
∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10，
∴△FAB的周长为定值10.
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝·，其中k为弦AB所在直线的斜率．
(2019·云南省高三第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点，左焦点F1、右焦点F2都在x轴上，点M是椭圆E上的动点，△F1MF2的面积的最大值为，在x轴上方使·＝2成立的点M只有一个．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(－1,0)的两直线l1，l2分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且l1⊥l2，比较12(|AB|＋|CD|)与7|AB||CD|的大小．
解 (1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
在x轴上方使·＝2成立的点M只有一个，
∴在x轴上方使·＝2成立的点M是椭圆E的短轴的端点．
当点M是短轴的端点时，由已知得
解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
若直线AB的斜率为0或不存在时，|AB|＝2a＝4且|CD|＝＝3或|CD|＝2a＝4且|AB|＝＝3.
由12(|AB|＋|CD|)＝12×(3＋4)＝84，
7|AB||CD|＝7×3×4＝84，得12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
若AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：y＝k(x＋1)(k≠0)，
由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是|AB|＝|x2－x1|
＝
＝.
同理可得|CD|＝＝.
∴＋＝＝.
∴12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
综上，12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，＝2，得B.由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案 D
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
4．(2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′.根据题意|AF|＝＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝.
根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，
所以|BF′|＝.
在△AFF′中，由余弦定理得
cos∠F′AF＝＝.
在△AF′B中，由余弦定理得
cos∠F′AB＝＝，
所以＝，解得a＝c，所以椭圆离心率为e＝＝.故选B.
5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B.
C．2 D．3
答案 A
解析 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
『金版押题』
6．已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案 (0，－1)
解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2.当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的离心率为________．
答案
解析 设右焦点F(c,0)，渐近线OM，ON的方程分别为y＝x，y＝－x.不失一般性，设过F的垂线为x＝－y＋c.
由得yN＝.由
得yM＝.因为2M＝，所以－2yM＝yN，
即＝，易解得＝，
所以e＝ ＝ ＝.
配套作业
一、选择题
1．(2019·抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右顶点为A，O为坐标原点，若|OA|<2，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D．(1，)
答案 C
解析 双曲线C：－y2＝1(a>0)中，右顶点为A(，0)，∴|OA|＝<2，∴1
∴
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 因为圆锥曲线C的离心率为2，故为双曲线，所以m<0，方程为x2－＝1，所以a2＝1，b2＝－，c2＝1－，e＝2，∴1－＝4，∴m＝－.故选C.
3．(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则抛物线的方程为( )
A．x2＝－4y B．x2＝－8y
C．x2＝2y D．x2＝－4y或x2＝4y
答案 B
解析 圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，抛物线x2＝2py(p≠0)的准线为y＝－，∵抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，∴－＝2，解得p＝－4.抛物线方程为x2＝－8y.故选B.
4．(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P(x0，y0)，又F1(－c,0)，F2(c,0)，则△PF1F2的重心G.因为IG∥F1F2，所以△PF1F2的内心I的纵坐标为.即△PF1F2的内切圆半径为.由△PF1F2的面积S＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r，S＝|F1F2||y0|及椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，得(2a＋2c)＝×2c|y0|，解得e＝.故选D.
5．过双曲线－＝1(b>0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是( )
A．(0,2] B．(0,2)
C．(0，] D．(0，)
答案 D
解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，|AB|＝6，且可作两条，则要求<6，a＝2，即b2<6，又b>0，故b的取值范围为(0，)，故选D.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2，则|AB|＝( )
A．24 B．8
C．12 D．16
答案 A
解析 由题意可知斜率k存在，设直线斜率为k，即y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.∵O到AB的距离d＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴2＝··，∴k2＝，∴|AB|＝＝24.故选A.
7．已知双曲线－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是( )
A．4 B．3
C. D．2
答案 D
解析 ∵双曲线右焦点为(2,0)，
∴抛物线焦点为(2,0)，∴y2＝8x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝＝＝2.
∴直线AB斜率为2，又过点M(2,2)，
∴直线AB方程为y＝2x－2.将直线AB方程与y2＝8x联立得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝×＝2.又∵O到AB的距离d＝＝.∴S△AOB＝×2×＝2.故选D.
8．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，过C1的焦点F的直线从上至下依次交C1，C2于点A，B，C，D.若|FD|＝|AB|，O为坐标原点，则·＝( )
A．－2 B．1
C．4 D．2
答案 B
解析 由题可设A(a2,2a)，D(d2,2d)，其中a>0，d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|＝1＋d2，|FA|＝1＋a2，所以|AB|＝|FA|－|FB|＝a2，由题得1＋d2＝a2，所以a2－d2＝1.所以·＝(1,0)·(a2－d2,2a－2d)＝a2－d2＝1，所以·＝1.故选B.
二、填空题
9．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
答案 2
解析 当k不存在时，直线与抛物线不会交于两点．
当k存在时(如图)，设直线AB的方程为y＝kx＋，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，D.
则有x＝2py1，x＝2py2，
联立直线与抛物线方程得
整理得x2－2pkx－p2＝0，
所以x1x2＝－p2，x1＋x2＝2pk，
所以y1y2＝＝，
＝，＝
又AB⊥AD，所以－x1(－x1)＋＝0，
整理得x＋y＝，即2py1＋y＝，
解得y1＝p.
因为y1y2＝，所以y2＝p，
又|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，
代入|BF|＝|AF|＋4得，
y2＋＝y1＋＋4.解得p＝2.
10．已知椭圆＋＝1上的两点A，B关于直线2x－2y－3＝0对称，则弦AB的中点坐标为________．
答案
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x0，y0)，由题意得两式相减得＋＝0，因为点A，B关于直线2x－2y－3＝0对称，所以kAB＝＝－1，故－＝0，即x0＝4y0.又点M(x0，y0)在直线2x－2y－3＝0上，所以x0＝2，y0＝，即弦AB的中点坐标为.
三、解答题
11．(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．
解 (1)由题意可得解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程＋y2＝1整理可得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，
Δ＝(8k)2－16(1＋4k2)>0，解得k>或k<－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴·<0，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝(1＋k2)·＋k＋2<0，解得k<－或k>.
故直线l斜率的取值范围为∪.
12．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线L：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点M(5,0)的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4.
(1)求抛物线L的方程；
(2)记△ABC，△AFM的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最小值．
解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC|min＝2p＝4，
∴p＝2，∴抛物线L的方程为y2＝4x.
(2)如图，设直线AB：x＝ty＋5，
直线AC：x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由整理得y2－4ty－20＝0，
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－20，
同理可得y1y3＝－4，从而C，
点C到AB的距离
d＝＝，
|AB|＝|y1－y2|＝，
∴S1＝··
＝2·＝·(y＋20)．
又S2＝×4×|y1|＝2|y1|，
∴S1·S2＝4(y＋20)＝4≥4×(8＋24)＝96＋32.
当且仅当y＝4，即A(，±2)时，S1·S2有最小值96＋32.
13．(2019·河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2，椭圆O的离心率为.
(1)求椭圆O的标准方程；
(2)过B点作圆E：x2＋(y－2)2＝r2(0
所以解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆O的标准方程为＋＝1.
(2)设过点B(2,0)与圆E相切的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，
因为直线与圆E：x2＋(y－2)2＝r2相切，
所以d＝＝r，
即得(4－r2)k2＋8k＋4－r2＝0.
设两切线的斜率分别为k1，k2(k1≠k2)，则k1k2＝1，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由整理得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，
∴2x1＝，即x1＝，∴y1＝，
同理x2＝＝，y2＝＝.
∴kCD＝＝＝，
所以直线CD的方程为y＋＝.
整理得y＝x－＝(x－14)，所以直线CD恒过定点(14,0)．
14．(2019·日照市高三联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2.
(1)若M，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求|NF|的值；
(2)设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
解 (1)∵点H(1，t)在抛物线E上，∴1＋＝2，解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝4x，
所以当x＝1时，t＝2或t＝－2(舍去)，
∴直线MH的方程为y＝x＋，联立y2＝4x可得，xN＝，|NF|＝xN＋＝1＋＝.
(2)①证明：设直线AB：x＝my＋t，A，B，联立抛物线方程可得y2－4my－4t＝0，
y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
由·＝得，＋y1y2＝，解得y1y2＝－18或y1y2＝2(舍去)，即－4t＝－18，可得t＝，
所以直线AB过定点Q.
②由①得|AB|＝|y2－y1|＝·
同理得，|GD|＝ |y4－y3|＝·.
则四边形AGBD的面积S＝|AB|·|GD|
＝ ···
＝4 .
令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝4是关于μ在μ∈[2，＋∞)上的增函数，
故当μ＝2时，Smin＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88.
「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线方程)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为，准线方程为x＝∓；
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为，准线方程为y＝∓.
3．弦长问题
(1)弦长公式
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|
＝或
|AB|＝|y1－y2|
＝.
(2)过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点考向探究
考向1 圆锥曲线的定义和标准方程
例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且＝3，若OM⊥FN，则C的离心率为( )
A．2 B. C．3 D.
答案 B
解析 设双曲线的右焦点为F′，取MN的中点P，连接F′P，F′M，F′N，如图所示，由＝3，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又O为FF′的中点，可知OM∥PF′.∵OM⊥FN，
∴PF′⊥FN.∴PF′为线段MN的垂直平分线．∴|NF′|＝|MF′|.设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，则3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a.在Rt△MF′P中，|PF′|＝＝＝2a，∴|OM|＝|PF′|＝a.
在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，
∴4a2＋3a2＝c2⇒e＝.故选B.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝3x
C．y2＝x
D．y2＝9x
答案 B
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.
在直角三角形ACE中，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.
∵BD∥FG，∴＝，求得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
(3)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 解法一：设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos60°，得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选C.
解法二：设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，不妨设|PF1|＝1，则|FP|＝2，|FF1|＝2c＝＝＝，根据椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选C.
圆锥曲线的定义、标准方程的关注点
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．
(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．
1．(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则△AF1F2的面积是( )
A. B．2
C. D．4
答案 C
解析 画出图形如图所示，AD⊥F1D，根据抛物线的定义可知|AF2|＝|AD|＝，
故cos∠F1AD＝，
也即cos∠AF1F2＝，在△AF1F2中，由余弦定理得＝，解得|F1F2|＝2或|F1F2|＝3，由于∠AF2F1为钝角，故|AD|>|F1F2|，所以|F1F2|＝3舍去，故|F1F2|＝2.而sin∠AF1F2＝＝，所以S△AF1F2＝××2×＝.故选C.
2．(2019·宣城市高三第二次调研)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A.－ B.－1 C.－ D．2－
答案 A
解析 PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，则|QF2|＝t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t,2t＋t＝4a，则t＝2a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2,4(6－4)a2＋(12－8)a2＝4c2，化为c2＝(9－6)a2，可得e＝＝－.故选A.
3．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋
C．4＋ D．2＋1
答案 D
解析 如图所示，设双曲线右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最值为2a＋1＝2＋1.故选D.
考向2 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
答案 A
解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，
∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝a，
∴b＝＝a.
∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选A.
(2)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 设|QF1|＝x，则|PF1|＝3x，|PQ|＝2x，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|PF2|＝3x－2a，|QF2|＝x＋2a，在Rt△QPF2中，|QP|2＋|PF2|2＝|QF2|2，即(2x)2＋(3x－2a)2＝(2a＋x)2，可得x＝a.
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3x)2＋(3x－2a)2＝(2c)2，整理可得c2＝5a2，所以e＝＝.故选A.
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法
解决此类问题的关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
③利用渐近线的斜率k求离心率e，双曲线－＝1(a>0，b>0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e2＝1＋k2.
1．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为1，若|AF1|＝2|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的短轴的长为( )
A．5 B．2
C．10 D.
答案 B
解析 ∵AF2⊥x轴，l在y轴上的截距为1，∴A(c,2)，又|AF1|＝2|F1B|，∴B(－2c，－1)，则
∴－＝3，即b2＝5，∴b＝，故选B.
2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意得，F(－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－x，将x＝－c代入y＝－x得y＝，∴＝2a，即bc＝2a2，∴4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，∴e4－e2－4＝0，解得e2＝，故选A.
考向3 直线与圆锥曲线
角度1 弦中点、弦分点问题
例3 (1)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为( )
A．2x＋9y－10＝0 B．2x－9y－10＝0
C．2x＋9y＋10＝0 D．2x－9y＋10＝0
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简整理得＝－×，而x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2，所以＝－×＝，直线l的方程为y－1＝，即2x－9y＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2
解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且＝3，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2.
(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题．
(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，
则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由
两式相减得，＝，
则＝＝，由直线AB的斜率k＝＝1，所以＝1，则＝，双曲线的离心率e＝＝ ＝，所以双曲线C的离心率为.故选B.
2．(2019·汉中市重点中学高三联考)已知抛物线C：y2＝6x，直线l过点P(2,2)，且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)代入C：y2＝6x，得
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．因为线段MN的中点恰好为点P，所以从而4(y1－y2)＝6(x1－x2)，即l的斜率为＝.故选C.
角度2 弦长问题
例4 (2019·宜宾市高三第二次诊断)已知点M到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A，B两点，求证：△FAB的周长为定值．
解 (1)设M(x，y)，由题意得＝，
∴＋＝1为点M的轨迹C的方程．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知k>0，m<0，
∵直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝9相切，
∴＝3，
即m2＝9(k2＋1)，
把y＝kx＋m代入＋＝1，得(25k2＋9)x2＋50kmx＋25m2－225＝0，
显然Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝，
|FA|＋|FB|＝5－x1＋5－x2＝10－(x1＋x2)＝10＋＝10－，
∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝10，
∴△FAB的周长为定值10.
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝·，其中k为弦AB所在直线的斜率．
(2019·云南省高三第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点，左焦点F1、右焦点F2都在x轴上，点M是椭圆E上的动点，△F1MF2的面积的最大值为，在x轴上方使·＝2成立的点M只有一个．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(－1,0)的两直线l1，l2分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且l1⊥l2，比较12(|AB|＋|CD|)与7|AB||CD|的大小．
解 (1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.
在x轴上方使·＝2成立的点M只有一个，
∴在x轴上方使·＝2成立的点M是椭圆E的短轴的端点．
当点M是短轴的端点时，由已知得
解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
若直线AB的斜率为0或不存在时，|AB|＝2a＝4且|CD|＝＝3或|CD|＝2a＝4且|AB|＝＝3.
由12(|AB|＋|CD|)＝12×(3＋4)＝84，
7|AB||CD|＝7×3×4＝84，得12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
若AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：y＝k(x＋1)(k≠0)，
由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是|AB|＝|x2－x1|
＝
＝.
同理可得|CD|＝＝.
∴＋＝＝.
∴12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
综上，12(|AB|＋|CD|)＝7|AB||CD|.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，＝2，得B.由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案 D
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
4．(2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′.根据题意|AF|＝＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝.
根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，
所以|BF′|＝.
在△AFF′中，由余弦定理得
cos∠F′AF＝＝.
在△AF′B中，由余弦定理得
cos∠F′AB＝＝，
所以＝，解得a＝c，所以椭圆离心率为e＝＝.故选B.
5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B.
C．2 D．3
答案 A
解析 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
『金版押题』
6．已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案 (0，－1)
解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2.当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的离心率为________．
答案
解析 设右焦点F(c,0)，渐近线OM，ON的方程分别为y＝x，y＝－x.不失一般性，设过F的垂线为x＝－y＋c.
由得yN＝.由
得yM＝.因为2M＝，所以－2yM＝yN，
即＝，易解得＝，
所以e＝ ＝ ＝.
配套作业
一、选择题
1．(2019·抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右顶点为A，O为坐标原点，若|OA|<2，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D．(1，)
答案 C
解析 双曲线C：－y2＝1(a>0)中，右顶点为A(，0)，∴|OA|＝<2，∴1
∴
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 因为圆锥曲线C的离心率为2，故为双曲线，所以m<0，方程为x2－＝1，所以a2＝1，b2＝－，c2＝1－，e＝2，∴1－＝4，∴m＝－.故选C.
3．(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则抛物线的方程为( )
A．x2＝－4y B．x2＝－8y
C．x2＝2y D．x2＝－4y或x2＝4y
答案 B
解析 圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，抛物线x2＝2py(p≠0)的准线为y＝－，∵抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，∴－＝2，解得p＝－4.抛物线方程为x2＝－8y.故选B.
4．(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P(x0，y0)，又F1(－c,0)，F2(c,0)，则△PF1F2的重心G.因为IG∥F1F2，所以△PF1F2的内心I的纵坐标为.即△PF1F2的内切圆半径为.由△PF1F2的面积S＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r，S＝|F1F2||y0|及椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，得(2a＋2c)＝×2c|y0|，解得e＝.故选D.
5．过双曲线－＝1(b>0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是( )
A．(0,2] B．(0,2)
C．(0，] D．(0，)
答案 D
解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，|AB|＝6，且可作两条，则要求<6，a＝2，即b2<6，又b>0，故b的取值范围为(0，)，故选D.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2，则|AB|＝( )
A．24 B．8
C．12 D．16
答案 A
解析 由题意可知斜率k存在，设直线斜率为k，即y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.∵O到AB的距离d＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴2＝··，∴k2＝，∴|AB|＝＝24.故选A.
7．已知双曲线－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是( )
A．4 B．3
C. D．2
答案 D
解析 ∵双曲线右焦点为(2,0)，
∴抛物线焦点为(2,0)，∴y2＝8x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝＝＝2.
∴直线AB斜率为2，又过点M(2,2)，
∴直线AB方程为y＝2x－2.将直线AB方程与y2＝8x联立得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝×＝2.又∵O到AB的距离d＝＝.∴S△AOB＝×2×＝2.故选D.
8．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，过C1的焦点F的直线从上至下依次交C1，C2于点A，B，C，D.若|FD|＝|AB|，O为坐标原点，则·＝( )
A．－2 B．1
C．4 D．2
答案 B
解析 由题可设A(a2,2a)，D(d2,2d)，其中a>0，d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|＝1＋d2，|FA|＝1＋a2，所以|AB|＝|FA|－|FB|＝a2，由题得1＋d2＝a2，所以a2－d2＝1.所以·＝(1,0)·(a2－d2,2a－2d)＝a2－d2＝1，所以·＝1.故选B.
二、填空题
9．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
答案 2
解析 当k不存在时，直线与抛物线不会交于两点．
当k存在时(如图)，设直线AB的方程为y＝kx＋，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，D.
则有x＝2py1，x＝2py2，
联立直线与抛物线方程得
整理得x2－2pkx－p2＝0，
所以x1x2＝－p2，x1＋x2＝2pk，
所以y1y2＝＝，
＝，＝
又AB⊥AD，所以－x1(－x1)＋＝0，
整理得x＋y＝，即2py1＋y＝，
解得y1＝p.
因为y1y2＝，所以y2＝p，
又|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，
代入|BF|＝|AF|＋4得，
y2＋＝y1＋＋4.解得p＝2.
10．已知椭圆＋＝1上的两点A，B关于直线2x－2y－3＝0对称，则弦AB的中点坐标为________．
答案
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x0，y0)，由题意得两式相减得＋＝0，因为点A，B关于直线2x－2y－3＝0对称，所以kAB＝＝－1，故－＝0，即x0＝4y0.又点M(x0，y0)在直线2x－2y－3＝0上，所以x0＝2，y0＝，即弦AB的中点坐标为.
三、解答题
11．(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．
解 (1)由题意可得解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程＋y2＝1整理可得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，
Δ＝(8k)2－16(1＋4k2)>0，解得k>或k<－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴·<0，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝(1＋k2)·＋k＋2<0，解得k<－或k>.
故直线l斜率的取值范围为∪.
12．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线L：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点M(5,0)的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4.
(1)求抛物线L的方程；
(2)记△ABC，△AFM的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最小值．
解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC|min＝2p＝4，
∴p＝2，∴抛物线L的方程为y2＝4x.
(2)如图，设直线AB：x＝ty＋5，
直线AC：x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由整理得y2－4ty－20＝0，
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－20，
同理可得y1y3＝－4，从而C，
点C到AB的距离
d＝＝，
|AB|＝|y1－y2|＝，
∴S1＝··
＝2·＝·(y＋20)．
又S2＝×4×|y1|＝2|y1|，
∴S1·S2＝4(y＋20)＝4≥4×(8＋24)＝96＋32.
当且仅当y＝4，即A(，±2)时，S1·S2有最小值96＋32.
13．(2019·河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2，椭圆O的离心率为.
(1)求椭圆O的标准方程；
(2)过B点作圆E：x2＋(y－2)2＝r2(0
所以解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆O的标准方程为＋＝1.
(2)设过点B(2,0)与圆E相切的直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，
因为直线与圆E：x2＋(y－2)2＝r2相切，
所以d＝＝r，
即得(4－r2)k2＋8k＋4－r2＝0.
设两切线的斜率分别为k1，k2(k1≠k2)，则k1k2＝1，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由整理得(3＋4k)x2－16kx＋16k－12＝0，
∴2x1＝，即x1＝，∴y1＝，
同理x2＝＝，y2＝＝.
∴kCD＝＝＝，
所以直线CD的方程为y＋＝.
整理得y＝x－＝(x－14)，所以直线CD恒过定点(14,0)．
14．(2019·日照市高三联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上在第一象限内的点H(1，t)到焦点F的距离为2.
(1)若M，过点M，H的直线与该抛物线相交于另一点N，求|NF|的值；
(2)设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
解 (1)∵点H(1，t)在抛物线E上，∴1＋＝2，解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝4x，
所以当x＝1时，t＝2或t＝－2(舍去)，
∴直线MH的方程为y＝x＋，联立y2＝4x可得，xN＝，|NF|＝xN＋＝1＋＝.
(2)①证明：设直线AB：x＝my＋t，A，B，联立抛物线方程可得y2－4my－4t＝0，
y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
由·＝得，＋y1y2＝，解得y1y2＝－18或y1y2＝2(舍去)，即－4t＝－18，可得t＝，
所以直线AB过定点Q.
②由①得|AB|＝|y2－y1|＝·
同理得，|GD|＝ |y4－y3|＝·.
则四边形AGBD的面积S＝|AB|·|GD|
＝ ···
＝4 .
令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝4是关于μ在μ∈[2，＋∞)上的增函数，
故当μ＝2时，Smin＝88.当且仅当m＝±1时取到最小值88.
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