2020届二轮复习(理)第3部分策略14.转化与化归思想学案
展开4.转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. |
应用1 直接转化
【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________．
(2)(2019·福州模拟)函数f(x)＝cos 2x＋a(sin x－cos x)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(1)3 (2)[，＋∞) [(1)由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋＝，即x1＝3，代入得y＝18，则|MO|＝＝3(O为坐标原点)，故填3.
(2)因为f(x)＝cos 2x＋a(sin x－cos x)在区间上单调递增，所以f′(x)＝－2sin 2x＋a(cos x＋sin x)≥0在区间上恒成立，因为x∈，所以cos x＋sin x＞0，a≥在区间上恒成立．令g(x)＝＝，令t＝sin x＋cos x，则4sin xcos x＝2(t2－1)，又t＝sin x＋cos x＝sin，x∈，所以t∈，故函数h(t)＝＝2t－，函数h(t)在t∈[1，]时单调递增，所以当t＝时，h(t)取到最大值，h(t)max＝，故g(x)max＝，所以a≥.所以实数a的取值范围为[，＋∞)．]
【对点训练1】(1)若sin＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
(2)(2019·安庆二模)将展开后，常数项是________．
(1)D (2)－160 [(1)∵sin＝，∴cos＝，∴cos＝cos 2＝2cos2－1＝－，故选D.
(2)＝，展开后的通项是C()6－k·＝(－2)kC·()6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.]
应用2 等价转化
【典例2】(1)已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
(2)函数y＝cos2x－sin x在x∈上的最大值为________．
(1)2 (2)1 [(1)由4y－＝1，得x＋2y＝4xy，即＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝1＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．
所以x＋2y的最小值为2.
(2)y＝cos2x－sin x＝－sin2x－sin x＋1.
令t＝sin x，又x∈，∴t∈，
∴y＝－t2－t＋1，t∈.
∵函数y＝－t2－t＋1在上单调递减，
∴t＝0时，ymax＝1.]
【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体ABC1M的体积( )
A. B.
C. D.
C [在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，∵M为CD中点，
∴S△ABM＝×1×1＝，
∴VABC1M＝VC1ABM＝××1＝.故选C.]
应用3 正与反的相互转化
【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．
(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
(1) (2)－＜m＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为＝＝.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为÷2＝.
(2)由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，则m≤－.
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－＜m＜－5.]
【对点训练3】(1)由命题“存在x0∈R，使e－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
(2)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
(1)C (2) [(1)命题“存在x0∈R，使e－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
(2)若在区间[－1,1]内不存在c满足f(c)＞0，
且Δ＝36p2≥0恒成立，
则即
解得p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，
即为满足条件的P的取值范围．
所以满足题意的实数p的取值范围是.]
应用4 一般与特殊的转化
【典例4】(1)在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则tan tan 的值为( )
A. B.
C. D.
(2)过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于( )
A．2a B.
C．4a D.
(1)C (2)C [(1)令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意(取满足条件的三边)．
则由C＝90°，得tan ＝1.
由tan A＝，得＝，
解得tan ＝.
所以tan ·tan ＝×1＝.
(2)取直线PQ平行于x轴，易知PQ的方程为：y＝，如图所示，则PF＝FQ＝，
∴＋＝2a＋2a＝4a.故选C.]
【对点训练4】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
(2)如图，在三棱锥SABC中，E，F，G，H分别为SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将该三棱锥分成的两部分的体积之比＝________.
(1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD为矩形，建系如图．
由＝3，＝2，知M(6,3)，N(4,4)，所以＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2＋3×(－1)＝9.
(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]
应用5 常量与变量的转化
【典例5】 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，则实数x的取值范围为________．
[由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.
对－1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即φ(a)＜0，
∴即
解得－＜x＜1.
故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0.]
【对点训练5】(1)若不等式x2－ax＋1≥0对一切a∈[－2,2]恒成立，则x的取值范围为________．
(2)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是________．
(1)R (2)∪(8，＋∞) [(1)∵x2－ax＋1≥0对一切a∈[－2,2]恒成立，
即a·(－x)＋x2＋1≥0对一切a∈[－2,2]恒成立．
令f(a)＝a·(－x)＋x2＋1
则即
∴x∈R.
(2)设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)＞0恒成立，
则即
解得log2x＜－1或log2x＞3，即0＜x＜或x＞8，
故实数x的取值范围是∪(8，＋∞)．]
应用6 形体位置关系的相互转化
【典例6】 已知在三棱锥PABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为( )
A．40 B．80
C．160 D．240
C [因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC.
易知三棱锥PABC的各棱分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得
⇒
从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDC－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4×××6×8×10＝160.]
【对点训练6】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
5 [连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．
通过计算可得AB＝A1B1＝，A1B＝，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.
由余弦定理可求得A1C＝5.]
