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2020届二轮复习 解三角形学案（全国通用）
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2020届二轮复习 解三角形 学案
五年高考
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A
2.(2018天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
3.(2018浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
答案 ;
4.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
答案
5.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.
(1)求b和sin A的值;
(2)求sin的值.
解析 (1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.
由正弦定理=,得sin A==.
所以,b的值为,sin A的值为.
(2)由(1)及a
故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.
6.(2018北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
教师用书专用(7—21)
7.(2018辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
答案 A
8.(2018天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
答案 C
9.(2018湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于( )
A. B. C. D.
答案 D
10.(2018天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .
答案 8
11.(2018重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .
答案
12.(2018广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .
答案 1
13.(2018福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
14.(2018广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则= .
答案 2
15.(2018天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .
答案 -
16.(2018福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .
答案 2
17.(2018安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .
答案 π
18.(2018浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
答案
19.(2018辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析 (1)由·=2得c·acos B=2,
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===,
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
20.(2018山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B==,
由正弦定理得sin A==.
因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.
因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
21.(2018重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
(1)求C;
(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.
解析 (1)因为a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cos C===-,
故C=.
(2)由题意得
=,
因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①
因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,
因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.
由①得tan2α-5tan α+4=0,
解得tan α=1或tan α=4.
考点二 正、余弦定理的应用
1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
A. B. C.- D.-
答案 C
2.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.
所以b=2.
3.(2018浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0
(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,
因sin B≠0,得sin C=cos B.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
4.(2018山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
解析 (1)证明:由题意知2=+,
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B.
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.
(2)由(1)知c=,
所以cos C==
=-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.
教师用书专用(5—16)
5.(2018江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3 B.
C. D.3
答案 C
6.(2018重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案 A
7.(2018湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
答案 100
8.(2018福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
答案
9.(2018江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
解析 (1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.
记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.
因为AC=10,AM=40,
所以MC==30,从而sin∠MAC=.
记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,
则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)
(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.
因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.
设∠EGG1=α,∠ENG=β,
则sin α=sin=cos∠KGG1=.
因为<α<π,所以cos α=-.
在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.
因为0<β<,所以cos β=.
于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)
=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.
记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)
10.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
解析 (1)由余弦定理及题设得cos B===.
又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)
(2)由(1)知∠A+∠C=.
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A
=cos.(11分)
因为0<∠A<,
所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)
11.(2018课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
12.(2018浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解析 (1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
解得tan C=2.
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.
又因为sin B=sin(A+C)=sin,
所以sin B=.
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.
13.(2018陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解析 (1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=,
由于0
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC的面积为absin C=.
14.(2018江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin 2C的值.
解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,
所以BC=.
(2)由正弦定理知,=,
所以sin C=·sin A==.
因为AB
15.(2018安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
解析 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于0
16.(2018陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
解析 (1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.
三年模拟
A组 2018—2018年模拟·基础题组
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=( )
A.2 B.3 C.3 D.4
答案 B
2.(2018安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.36π
答案 C
3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( )
A.1 B. C.2 D.4
答案 C
4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则= .
答案 1
5.(2018江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD= .
答案
考点二 正、余弦定理的应用
6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300 m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=( )
A.150 m B.75 m
C.150 m D.300 m
答案 C
8.(2018福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(-1)m D.5(+1)m
答案 D
9.(2018河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 .
答案 20或24
B组 2018—2018年模拟·提升题组
(满分:40分 时间:30分钟)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2018湖北武昌一模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是( )
A.4 B.3 C.8 D.6
答案 C
3.(2018河南开封四模,9)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是( )
A.2 B. C. D.4
答案 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC面积的最大值为 .
答案 3
5.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
答案
6.(2018山西四校第一次联考,15)已知△ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则△ABC的面积为 .
答案
三、解答题(共10分)
7.(2018湖北荆州一模,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.
(1)若C=,△ABC的面积为,求c的值;
(2)若B=,求2c-a的取值范围.
解析 (1)由三角形的面积公式,得absin C=.
因为C=,b=,所以a=2.
所以c==.
(2)由正弦定理,得===2,
故a=2sin A,c=2sin C.
因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.
于是2c-a=3sin C-cos C=2sin.
因为C∈,
所以C-∈,
所以sin∈,
故2c-a的取值范围为(-,2).
C组 2018—2018年模拟·方法题组
方法1 解三角形的常见题型及求解方法
1.(2018广东海珠调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=( )
A. B.
C. D.
答案 A
2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为 .
答案
3.(2018河北石家庄二中3月模拟,16)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA= .
答案 2
方法2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
4.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则这个三角形必含有( )
A.90°的内角 B.60°的内角
C.45°的内角 D.30°的内角
答案 B
5.(2018河南郑州质检,5)在△ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案 B
6.(2018宁夏育才中学月考,14)在△ABC中,若=,则△ABC的形状一定是 .
答案 等腰三角形或直角三角形
方法3 正、余弦定理的实际应用策略
7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,AB间距84米,则塔高为( )
A.24米 B.12 米
C.12 米 D.36米
答案 C
8.(2018山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6 km,AC=3 km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为( )
A.3 km B. km C. km D.3 km
答案 B
9.(2018河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.
(1)求船的航行速度;
(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?
解析 (1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=.
在Rt△PAC中,∠APC=30°,
∴AC=.
在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,
∴BC===.
则船的航行速度为÷=2(千米/时).
(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,
sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,
sin∠CDA=sin(ACB-30°)
=sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30°
=·-·
=.
由正弦定理得=.
∴AD===.
故此时船距岛A千米.
五年高考
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A
2.(2018天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
3.(2018浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
答案 ;
4.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
答案
5.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.
(1)求b和sin A的值;
(2)求sin的值.
解析 (1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.
由正弦定理=,得sin A==.
所以,b的值为,sin A的值为.
(2)由(1)及a
故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.
6.(2018北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,
解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.
教师用书专用(7—21)
7.(2018辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
答案 A
8.(2018天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
答案 C
9.(2018湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于( )
A. B. C. D.
答案 D
10.(2018天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .
答案 8
11.(2018重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .
答案
12.(2018广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .
答案 1
13.(2018福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
14.(2018广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则= .
答案 2
15.(2018天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .
答案 -
16.(2018福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .
答案 2
17.(2018安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .
答案 π
18.(2018浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
答案
19.(2018辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析 (1)由·=2得c·acos B=2,
又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===,
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因a=b>c,所以C为锐角,
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
20.(2018山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B==,
由正弦定理得sin A==.
因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.
因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
21.(2018重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
(1)求C;
(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.
解析 (1)因为a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cos C===-,
故C=.
(2)由题意得
=,
因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①
因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,
因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.
由①得tan2α-5tan α+4=0,
解得tan α=1或tan α=4.
考点二 正、余弦定理的应用
1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
A. B. C.- D.-
答案 C
2.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.
所以b=2.
3.(2018浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0
(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,
因sin B≠0,得sin C=cos B.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
4.(2018山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
解析 (1)证明:由题意知2=+,
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B.
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.
(2)由(1)知c=,
所以cos C==
=-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.
教师用书专用(5—16)
5.(2018江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3 B.
C. D.3
答案 C
6.(2018重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案 A
7.(2018湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
答案 100
8.(2018福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
答案
9.(2018江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
解析 (1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.
记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.
因为AC=10,AM=40,
所以MC==30,从而sin∠MAC=.
记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,
则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)
(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.
因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.
设∠EGG1=α,∠ENG=β,
则sin α=sin=cos∠KGG1=.
因为<α<π,所以cos α=-.
在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.
因为0<β<,所以cos β=.
于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)
=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.
记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)
10.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
解析 (1)由余弦定理及题设得cos B===.
又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)
(2)由(1)知∠A+∠C=.
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A
=cos.(11分)
因为0<∠A<,
所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)
11.(2018课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
解析 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
12.(2018浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.
(1)求tan C的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
解析 (1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
解得tan C=2.
(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.
又因为sin B=sin(A+C)=sin,
所以sin B=.
由正弦定理得c=b,
又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.
13.(2018陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
解析 (1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又sin B≠0,从而tan A=,
由于0
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC的面积为absin C=.
14.(2018江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin 2C的值.
解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,
所以BC=.
(2)由正弦定理知,=,
所以sin C=·sin A==.
因为AB
15.(2018安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
解析 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于0
16.(2018陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
解析 (1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.
三年模拟
A组 2018—2018年模拟·基础题组
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=( )
A.2 B.3 C.3 D.4
答案 B
2.(2018安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为( )
A.4π B.8π C.9π D.36π
答案 C
3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( )
A.1 B. C.2 D.4
答案 C
4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则= .
答案 1
5.(2018江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD= .
答案
考点二 正、余弦定理的应用
6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300 m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=( )
A.150 m B.75 m
C.150 m D.300 m
答案 C
8.(2018福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(-1)m D.5(+1)m
答案 D
9.(2018河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 .
答案 20或24
B组 2018—2018年模拟·提升题组
(满分:40分 时间:30分钟)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2018湖北武昌一模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是( )
A.4 B.3 C.8 D.6
答案 C
3.(2018河南开封四模,9)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是( )
A.2 B. C. D.4
答案 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC面积的最大值为 .
答案 3
5.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
答案
6.(2018山西四校第一次联考,15)已知△ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则△ABC的面积为 .
答案
三、解答题(共10分)
7.(2018湖北荆州一模,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.
(1)若C=,△ABC的面积为,求c的值;
(2)若B=,求2c-a的取值范围.
解析 (1)由三角形的面积公式,得absin C=.
因为C=,b=,所以a=2.
所以c==.
(2)由正弦定理,得===2,
故a=2sin A,c=2sin C.
因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.
于是2c-a=3sin C-cos C=2sin.
因为C∈,
所以C-∈,
所以sin∈,
故2c-a的取值范围为(-,2).
C组 2018—2018年模拟·方法题组
方法1 解三角形的常见题型及求解方法
1.(2018广东海珠调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=( )
A. B.
C. D.
答案 A
2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为 .
答案
3.(2018河北石家庄二中3月模拟,16)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA= .
答案 2
方法2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
4.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则这个三角形必含有( )
A.90°的内角 B.60°的内角
C.45°的内角 D.30°的内角
答案 B
5.(2018河南郑州质检,5)在△ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案 B
6.(2018宁夏育才中学月考,14)在△ABC中,若=,则△ABC的形状一定是 .
答案 等腰三角形或直角三角形
方法3 正、余弦定理的实际应用策略
7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,AB间距84米,则塔高为( )
A.24米 B.12 米
C.12 米 D.36米
答案 C
8.(2018山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6 km,AC=3 km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为( )
A.3 km B. km C. km D.3 km
答案 B
9.(2018河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.
(1)求船的航行速度;
(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?
解析 (1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=.
在Rt△PAC中,∠APC=30°,
∴AC=.
在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,
∴BC===.
则船的航行速度为÷=2(千米/时).
(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,
sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,
sin∠CDA=sin(ACB-30°)
=sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30°
=·-·
=.
由正弦定理得=.
∴AD===.
故此时船距岛A千米.
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