2020届二轮复习等差数列及其性质学案（全国通用）
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（一）等差数列通项公式的应用
例1. 数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选：D．
练习1. 在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，由等差数列的性质得，
所以.
故选C
练习2. 已知在等差数列中， 则项数为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得S918，
解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，
而Sn16n＝240，解得n＝15，
故选：D．
练习3. 已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A．16 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【解析】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，
则21；
则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；
当且仅当，即=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16；
故选：A．
（二）等差数列的性质
例2. ．在等差数列中，，则（ ）
A．72 B．60 C．48 D．36
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质可知：，
，故本题选B.
练习1. 已知1，，，9四个实数成等差数列，1，，，，9五个数成等比数列，则（ ）
A．8 B．-8 C．±8 D．
【答案】A
【解析】由1，，，9成等差数列得公差，由1，，，，9成等比数列得∴当时1，，-3成等比数列，此时无解，所以，∴.
故选A.
练习2. 在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为等差数列中，所以，
因为各项不为零，所以，
因为数列是等比数列，所以
所以，故选C.
练习3. 已知{an}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5•a6=-8，则公差d=（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【解析】∵{an}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5•a6=-8，
∴a5+a6=2，
∴a5，a6是方程的两个根，且a5＜a6，
∴a5=2，a6=4，
∴d=a6-a5=6，
故选：A．
（三）数组中的等差数列
例3．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（ ）
A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位
【答案】B
【解析】（673为质数），故或者，，
得，在所有数对中，两数之和不超过27的有个，
在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，
故选：B
练习1. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为（ ）
A．1973 B．1974 C．1975 D．1976
【答案】C
【解析】将数字从左只有以为分界进行分组
第一组为，数字和为；
第二组为，数字之和为；
第三组为，数字之和为；以此类推
数字共位，则，前组共有位
则前位数字之和为：
剩余数位为：
则所有数字之和为：
本题正确选项：
（四）数阵
例4. 已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第行、第列的数记为，如，.若，则（ ）
2
4 6
12 10 8
14 16 18 20
30 28 26 24 22
…
A．20 B．21 C．29 D．30
【答案】A
【解析】前行有个数，因为，所以从2开始算起，是第124个偶数，时，前15行，共有120个偶数，故第124个偶数，是在第16行，第4列，故20，故本题选A.
（五）含的解题方法
例5. 已知在数列中，，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由递推公式，可得：
当n为奇数时，，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列；
当n为偶数时，，数列的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，
故选C.
（六）构造等差数列
例6. 已知数列中，，，（且），则数列的最大项的值是（ ）
A．225 B．226 C．75 D．76
【答案】B
【解析】【分析】
首先将题中所给式子变形得到，从而确定数列是公差为的等差数列，且求得，得到数列是单调递减数列，且，，从而得到数列的最大项是第16项，利用累加，应用等差数列求和公式求得结果.
【详解】，，
数列是公差为的等差数列，
，，
，，
又数列是单调递减数列，
数列的前项和最大，
即最大，
数列的最大项是第16项，
又，，
数列的最大项的值是，故选B．
练习1. 定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，
是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
．
故选：A．
练习2. 设数列是首项为1，公比为的等比数列，若是等差数列，则
A．4036 B．4038 C．4030 D．4032
【答案】D
【解析】数列是首项为1，公比为的等比数列，
可得，，
则为公比为的等比数列，
又因为是等差数列，所以是常数列，可得，
故，
共4032项，故答案为4032 ,故选D．
练习3. 已知数列满足，，则
A．2n B． C． D．
【答案】D
【解析】
数列满足，，
可得：，所以数列是等差数列，可得：，
可得，
故选：D．
练习4. 设数列的前项和为，已知，且对任意正整数都有，则__________.
【答案】.
【解析】因为
所以，，即
等式两边同时除以，可得，
因为，所以是以1为首项，以为公差的等差数列
所以，所以，则根据可得
所以
（七）数学文化与等差数列
例7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被除余且被除余的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】被除余依次为：，被除余的数依次为，相同的数为，它们成以11为首项，15为公差的等差数列，其通项公式为，第10项为．故选C．
