2020届二轮复习排列数组合数的计算与证明教案（全国通用）
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排列数组合数的简单计算
【例1】 对于满足的正整数，（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】C；
【例2】 计算______．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】210；
【例3】 计算，；
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】；；
【答案】720；720。
【例4】 计算______，_______．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】21,21
【例5】 计算，；
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】；；
【答案】120,28。
【例6】 计算，，，，．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】1星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】；；
；；．
【例7】 已知，求的值．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由排列数公式得，
即，解出
易知只有符合要求．
【答案】3；
【例8】 解不等式
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】用排列数公式得，
化简：，解得，
注意到，
综合可得．
【答案】8；
【例9】 证明：．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】，等式得证．
【例10】 解方程．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】原方程可化为
∵且，∴
解得，经检验是原方程的根．
【例11】 解不等式．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】原不等式化为，从而得，
解得，
又∵，∴，
综上得，故原不等式的解集为．
【例12】 解方程：
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】原方程可化为
整理得
解得或（不合题意舍去）．
经检验是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）
【例13】 解不等式：．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由题意得：，解得．
又，且，
∴，又，
∴或，
∴不等式的解集为．
【例14】 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】2018年，湖南高考
【解析】当时，；
当时，．
【答案】D；
【例15】 组合数恒等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，上海高考
【解析】略
【答案】D；
【例16】 已知，求、的值．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】依题意得
整理得，解得
排列数组合数公式的应用
【例17】 已知，求的值．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由已知有．根据组合数性质：
，．
∴原式化简为．
前半部分可得或．
后半不等式可得．
【例18】 若，则_______
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，得．
【答案】4；
【例19】 若，则
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】解出，则．
【例20】 证明：
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
．
【例21】 证明：．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】
∴
【例22】 求证： ．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】法一：
右边
左边
即原式得证．
法二：
个不同的小球中，有个是黑球，其余都是白球，从中选出个排成一排，共有种不同的取法；
再考虑要选出个球排成一排可以分成两类情况，第一类是取出的球都是白球，有种取法；第二类是取出的球中有一个黑球，先取出个白球排成一排，有种方法，再考虑将取出的黑球放入白球中，有个位置可选，根据分步计数原理知，共有种方法．
这两种思路得到的取法相等，即．
【例23】 证明：．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】容易证明，于是有
【例24】 证明：．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】容易证明，于是有
而．
【例25】 求证：；
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】法一：
∵，
∴左边
右边；
等式得证；
法二：
∵，∴
令分别代入上式得：，
，，，，
各式相加，注意到，得.
【例26】 计算：，
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】；
．
【例27】 证明：．（其中）
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设袋中有个球，其中红球个，白球个，
现从中任取个，共有种不同的取法；
另一方面，用分类的方法考虑这个问题，可分成类；第一类，个红球，个白球；第二类，个红球，个白球；第三类，个红球，个白球；；第类，个红球，个白球．于是取法总数为．
以上两种算法结果应是相等的，∴．
【例28】 解方程
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由组合数性质2，原方程变为．
∴．
即．
化简得，解出或（舍弃）．
【例29】 确定函数的单调区间．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】，先求导数，得．
令，解得或．
因此，当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数．
令，解得，
因此，当时，函数为减函数．
∴函数的增区间为；减区间为．
【例30】 规定，其中，为正整数，且，这是排列数（是正整数，且）的一种推广．
⑴求的值；
⑵排列数的两个性质：①，②（其中是正整数）．是否都能推广到（，是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．
【考点】排列数组合数的计算与证明
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴；
⑵性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①，②（，）．
下面证明①②式的推广式均成立：
事实上，在①中，当时，左边，右边，等式成立；
当时，
左边，
因此，①成立；
在②中，当时，左边右边，等式成立；
当时，左边
右边，
因此②（，）成立．
