2020届二轮复习圆锥曲线的几何性质学案（全国通用）
展开培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
例1：如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得
而，所以，故选B．
2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在直线上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设准线与轴交于点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以，
由抛物线定义知，，且，所以是以4为边长的正三角形，其面积为．故选C．
3．双曲线的几何性质
例3：已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为_________．
【答案】15
【解析】在双曲线中，，，，
，，，
，，．
一、单选题
1．抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，
很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：，．本题选择C选项．
2．设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意，，且，解得，．
又，在中由余弦定理，得．
从而，所以，故选B．
3．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆方程为，，，，取一个焦点，则直线方程为，
代入椭圆方程得，，，所以，故选C．
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】设的坐标分别为，，线段中点的横坐标为3，则，，由此解得．故选B．
5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的
等边三角形（为原点），可得，，即，，解得，，
双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线的方程为，故选B．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行．已知椭圆轨道和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆形轨道的半径为，，，，
由知，故选C．
7．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，
可得，即有，
由，可得，即，又，且，
解得，，，即有双曲线的实轴长为16．故选D．
8．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，
若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，
所以向量：，，
由向量线性关系可得：，，解得：，
代入抛物线方程可得：，则，
由两点之间的距离公式可得：．故选D．
9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，
点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
10．已知为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，当时，
称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【解析】抛物线方程为，，，为曲线上三点，
当时，为的重心，
用如下办法构造，连接并延长至，使，
当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，
设，，
则，，，
则，两式相减化为，
，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过点与双曲线交于，两点，若，且，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】
由题，，，
由双曲线的定义可得| ，
∵椭圆的离心率为：，∴，，，
在中，由余弦定理的，
在中，由余弦定理可得：，
∵，，即，
整理得，
设双曲线的离心率为，，解得或（舍）．
∴，，即．∴双曲线的渐近线方程为，
∴渐近线的倾斜角为，．故选C．
12．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题意设，则，
∴，
设，则，
当且仅当，即时等号成立，此时．
又当点在椭圆的右顶点时，，∴，
此时最大，且最大值．
∴的取值范围是，故选C．
二、填空题
13．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则__________．
【答案】
【解析】由知，由焦点弦性质，
而．
14．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，
则的周长为__________．
【答案】
【解析】设，，
关于直线的对称点坐标为，
点在椭圆上，则：，则，，则，
故的周长为：．
15．为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为__________．
【答案】2
【解析】∵，的内切圆半径为，
∴，∴，
∴，
∵由图形的对称性知：，∴．故答案为2．
16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．
【答案】
【解析】由题意，切线方程为，
直线与轴分别相交于点，，，，，
，，，当且仅当时，
（为坐标原点）的面积最小，
设，，
由余弦定理可得，，
，，
，，，
的内角平分线长度为，，
，，
，故答案为．
三、解答题
17．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点距离；
（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【解析】（1）方法一：由题意可知：设，
则，∴；
方法二：由题意可知：设，
由抛物线的性质可知：，∴；
（2），，，则，
∴，∴，设的中点，，
，则直线方程：，
联立，整理得：，
解得：，（舍去），∴的面积；
（3）存在，设，，则，，
直线方程为，∴，，
根据，则，
∴，解得：，
∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
18．与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，
则，又，得，，
，
解得，，所以椭圆方程为．
（2）设直线方程：，、，
由，得，所以，
由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，
由直线与线段相交于点，得，
，
而与，知，，
由，得，所以，
四边形面积的取值范围．
