2020届二轮复习圆锥曲线问题中同解思想问题学案（全国通用）

                              专题12  圆锥曲线问题中同解思想问题

同解思想简化运算的思路：构造方程，巧用韦达定理.

类型一  构造两个直线方程

典例1. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB的斜率．

【答案】（1）（2）－1.

【解析】（1）解：依题意，解得所求椭圆的方程为．

（2）解：设，则．

由，得．代入椭圆方程，

得．

整理，得，

即．                     ③

设，同理可得．  ④

由③④可得直线AB的方程为x＋y=，所以AB直线斜率为－1.

类型二  构造两个二次方程

典例2 设平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

（1）求实数的取值范围；

（2）求圆的方程；

（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请证明你的结论.

【答案】（1）且；（2）（3）(－2,1)和(0,1).

【解析】解：（1）由解得且；

  （2）设二次函数与x轴的两个交点分别为和，则和是关于的方程

的两个不同解，设圆方程为，将点，，(0,b)分别代入圆方程有

由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解，所以,代入第三个方程解得，

所以圆C方程为；

（3）由(2)圆C方程整理为，令

解得或，可知圆C经过两个定点(－2,1)和(0,1).

类型三  构造一个二次方程两根

典例3  已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

椭圆C的标准方程为

（2）若有切线斜率不存在，则

若两切线斜率都存在，设切线方程为

代入椭圆得，

由判别式为零得：，

两条切线相互垂直，所以，

点P的轨迹方程为

1. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

【答案】（1）＋＝1.（2）为定值

【解析】解： (1) 由题设，得＋＝1，①且＝，②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.

(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，

假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.

若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，

与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，

该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；

同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．

记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝＝＝＝＝1，因此直线PQ的斜率为定值．

2. 已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点的动圆记为圆,，已知动圆过定点和(异于点)，请求出定点的坐标.

【答案】（1）（2）见解析（3）(0,1).

【解析】解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).由题意得, ,   椭圆的标准方程为；

（2）证明：设点将带入椭圆，

化简得：①

,  ,                         

P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.

（3）法1：设圆的一般方程为:,则圆心为（）,

PQ中点M(),  PQ的垂直平分线的方程为:,

圆心（）满足，所以②

圆过定点(2,0)，所以③

圆过, 则 两式相加得：

,

,    ④

因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，

由②③④解得:

代入圆的方程为：,

整理得：,

所以：   解得：或(舍).

所以圆过定点(0,1).

法2：设圆的一般方程为:,联立消去y得到：⑤，由题可知方程①和⑤同解

所以整理得，又有圆过点，可得且，由上述三个方程联立可得

，余下同法一.

3. 设斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点（也不同于椭圆的右顶点），则过的圆恒过一个异于点的顶点

【答案】见解析

【解析】证明：设圆的一般方程为，直线的方程为：。将直线方程代入圆的方程得：     （1）

联立直线与椭圆方程得：              （2）

方程（1）与方程（2）为同解方程，所以

又圆过点A ，则

从而我们可得到关于的三元一次方程组

解得上述方程组的解为：

代入圆的方程为：

整理得：

所以

解得：

或（舍）

故得证

注：最后解得一元二次方程：