2020届二轮复习多变量表达式范围——放缩消元法教案（全国通用）

微专题47多变量表达式的范围——放缩消元法

一、基础知识：

    在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值

1、放缩法求最值的理论基础：

   不等式的传递性：若，则

2、常见的放缩消元手段：

（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元

（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果

（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果

（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。

3、放缩消元过程中要注意的地方：

（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致

（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于 的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到

（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去

二、典型例题：

例1：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________

思路：考虑分别求出的最大值与最小值，先求的最大值，只需取最小，取最大：即 ，再求的最小值，由可知利用进行放缩，从而消去，可得：，再利用均值不等式可得：，所以的最小值，从而

答案：

例2：已知是任意三点，，则的最小值是_______

思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以

答案：

例3：设实数满足，则的最大值为__________

思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为：

答案：

小炼有话说：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去 即可得到最值：

例4：已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为（      ）

A.                   B.                  C.              D.

思路：由不等式恒成立可得：，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去，即，所以，对于该其次分式可两边同时除以，可得：，令由可知从而将问题转化为求的最小值。，从而

答案：D

小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择，则因分式中含的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键

例5（2018，四川）设，则的最小值为（    ）

A.                 B.                C.               D. 

思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即，从而消去了，得，然后根据分母特征：构造，由均值不等式得：，验证等号成立条件：，从而最小值为

答案：D

小炼有话说：本题在处理的最值时还可以从分式入手：，从而对分母利用均值不等式：消去，所以

例6：已知正数满足，则的最小值是_______

思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的可与条件中的具备不等关系，而可用表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于的表达式求得最值

解：，因为

所以有  

（等号成立条件： ）

例7：设，且，则的最大值是____________ 

思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得。然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，即但本题要注意的取值范围与相关，即，通过配方（或求导）可知的最大值在边界处取得，即，，从而达到消去的效果，再求出中的最大值即可

解：   

设  

    为的极小值点

其中

设

若

   可得：

例8：已知函数

（1）求的解析式及单调区间

（2）若不等式恒成立，求的最大值

解：（1），代入可得：

，令可得：

，可知

在上单调递增    时，

时，

在单调递减，在单调递增

（2）恒成立的不等式为：即

设

，令，即解不等式

若，可解得

在单调递减，在单调递增

下面求的最大值

令，设

令，可解得

在单调递增，在单调递减

当时，可得

当时，   为增函数

且时， ，，与恒成立矛盾

综上所述：的最大值为

例9：已知函数，求的最小值

思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将视为自变量，视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去，从而得到关于的函数，然后求得最小值即可。

解：

设

设，可知   

在单调递减，在单调递增

    恒成立

令，即解不等式

在单调递减，在单调递增

即的最小值为

例10：已知函数

（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求

（2）设，若对恒成立，求的取值范围

解：（1）

① 当时，可得

   在单调递增

② 当时，

可得：在单调递减，在单调递增

由可知：

当时，

当时，

③ 当时，

可得在单调递减

综上所述：

（2）不妨设

由恒成立可知：恒成立

即对任意的恒成立

且即且

① 当时，由（1）可知

无解

② 当，

，即

即  

另一方面：

设恒成立

在单调递增

③当，

，即

解得：

设恒成立

在单调递增

④ 当时，

综上所述：