2020届二轮复习直线的一般式方程教案（全国通用）

2020届二轮复习  直线的一般式方程 教案（全国通用）

重点难点

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.

思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.

(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、=1、、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

推进新课

新知探究

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.

2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-x-，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-，在y轴上的截距为-的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-，表示一条与y轴平行或重合的直线.

结论2°：关于x,y的一次方程都表示一条直线.

综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.

注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.

③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.

图1

⑤列表说明如下：

应用示例

    例1  已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-，求直线的点斜式和一般式方程.

解：经过点A(6,-4)且斜率为-的直线方程的点斜式方程为y+4=-(x-6).

化成一般式，得4x+3y-12=0.

变式训练

1.已知直线Ax+By+C=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?

（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?

（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?

（4）系数满足什么条件时,是x轴?

（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,

证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.

答案：（1）C=0；

（2）A≠0且B≠0；

（3）B=0且C≠0；

（4）A=C=0且B≠0;

（5）证明：∵P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,

∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.

∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.

2.(2007上海高考,理2)若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=____________.

答案：-

例2  把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

解：由方程一般式x－2y＋6=0，                                        ①

移项，去系数得斜截式y=＋3.                                        ②

由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.

即直线在x轴上的截距是－6.

因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线l（图2）.

图2

点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.

变式训练

    直线l过点P(-6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程.

答案：x+3y-3=0或x+2y=0.

知能训练

课本本节练习1、２、３.

拓展提升

求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.

解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，

它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.

解方程组,得.

∴直线恒过(2,3)点.

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；

（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；

（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.

作业

习题3.2  A组11.

设计感想

    本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.