2020届二轮复习“函数与导数、不等式”专题提能课课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（二十三） “函数与导数、不等式”专题提能课
A组——易错清零练
1．已知函数f(x)＝ln是奇函数，则实数a的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．－1
C．1或－1 D．4
解析：选B　由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，则ln＝－ln，即＋a＝，解得a＝－1.故选B.
2．已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝(　　)
A．－log2(4－x) B．log2(4－x)
C．－log2(3－x) D．log2(3－x)
解析：选C　依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，－(x－4)∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝
－log2(3－x)，选C.
3．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋e－x－mcos x，记a＝
－2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b C．c 解析：选D　因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝－m＝0，即m＝0.
设g(x)＝xf(x)，则g(x)为R上的偶函数．
当x≥0时，f(x)＝－ex＋e－x，g(x)＝x(－ex＋e－x)，
则g′(x)＝－x(ex＋e－x)－(ex－e－x)≤0，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减．
又a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)，
所以c 4．设函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2－2,2－2) B.
C. D．(2－2，＋∞)
解析：选B　由题意可知，当x≤0时，10时，f(x)≥0，f(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f(x)的图象如图所示．设t＝f(x)，则关于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有两个不同的实数根，且t∈(1,2]．令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，
则解得2－2 5．已知y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f ，f 的大小关系是__________．(用“<”连接)
解析：因为y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，所以f 答案：f B组——方法技巧练
1．已知函数f(x)＝e－x＋log3，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且x1>x0，则f(x1)的值(　　)
A．等于0 B．不大于0
C．恒为正值 D．恒为负值
解析：选D　由题意得f(x)＝e－x＋log3＝x－log3x，方程f(x)＝0，即f(x)＝x－log3x＝0.则x0为y1＝x与y2＝log3x图象的交点的横坐标，画出函数y1＝x与y2＝log3x的图象(图略)，可知当x1>x0时，y2>y1，f(x1)＝y1－y2<0，故选D.
2．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)

解析：选C　依题意，画出函数的大致图象如图所示，
实线部分为g(x)的草图，
则xg(x)≤0⇔
或
由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由f(x)＋xf′(x)＞0，得[xf(x)]′＞0，
设g(x)＝xf(x)＝ex(x2－bx)，
若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，
则函数g(x)在区间上存在子区间使得g′(x)＞0成立．
g′(x)＝ex(x2－bx)＋ex(2x－b)＝ex[x2＋(2－b)x－b]，
设h(x)＝x2＋(2－b)x－b，
则h(2)＞0或h＞0，
即8－3b＞0或－b＞0，得b＜.
4．已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－2e时，f′(x)＝2x－＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值


由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)，
极小值是f()＝0，无极大值．
(2)由g(x)＝x2＋aln x＋，得g′(x)＝2x＋－.
又函数g(x)＝x2＋aln x＋为[1,4]上是减函数，
则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立，
所以不等式2x－＋≤0在[1,4]上恒成立，
即a≤－2x2在[1,4]上恒成立．
又φ(x)＝－2x2在[1,4]为减函数，
所以φ(x)的最小值为φ(4)＝－，所以a≤－.
即实数a的取值范围为.
5．设函数f(x)＝x3－x2＋2x，g(x)＝ax2－(a－2)x.
(1)对于任意实数x∈[－1,2]，f′(x)≤m恒成立，求m的最小值；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，求a的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝x2－x＋2，对称轴x＝∈[－1,2]，
∴f′(x)max＝f′(－1)＝4≤m，即m的最小值为4.
(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax，
则h′(x)＝x2－(a＋1)x＋a.
由h′(x)＝0，得x＝1或x＝a.
①当a>1时，h′(x)，h(x)随x的变化如下表：
x
(－1,1)
1
(1，a)
a
(a，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)

极大值

极小值

若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，
则解得a>3.
②当－1 x
(－1，a)
a
(a,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)

极大值

极小值


若方程f(x)＝g(x)在区间(－1，＋∞)有三个不同的实根，
则
解得－ 又∵－1 ③当a＝1时，h′(x)＝(x－1)2≥0.
∴h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，不合题意．
④当a≤－1时，h(x)在区间(－1，＋∞)最多两个实根，不合题意．
综上，a的取值范围为∪∪.
C组——创新应用练
1．若a在[1,6]上随机取值，则函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵函数y＝＝x＋在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，而1≤a≤6，∴1≤≤.要使函数y＝在区间[2，＋∞)上单调递增，则≤2，得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)＝＝，故选C.
2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)表示为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：选B　法一：取特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，故选B.
法二：设x＝10m＋n(0≤n≤9)，当0≤n≤6时，＝＝m＝，当6 3．对于使f(x)≤M成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B．
C． D．－4
解析：选A　∵a＋b＝1，∴－－＝－－＝－－，∵a>0，b>0，∴＋≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－－≤－－2＝－，∴－－的上确界为－，故选A.
4．数学上称函数y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f(x)，
在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0)
(x－x0)．利用这一方法，m＝的近似代替值(　　)
A．大于m B．小于m
C．等于m D．与m的大小关系无法确定
解析：选A　依题意，取f(x)＝，则f′(x)＝，则有≈＋(x－x0)．
令x＝4.001，x0＝4，则有≈2＋×0.001，注意到2＝4＋0.001＋2>4.001，即m＝的近似代替值大于m，故选A.
5．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．
C． D．[2,3]

解析：选D　∵f′(x)＝ex－1＋1>0，∴f(x)＝ex－1＋x－2是增函数，又f(1)＝0，∴函数f(x)的零点为x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g(x)＝x2－ax－a＋3在区间[0,2]上有零点，由g(x)＝0得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，设x＋1＝t(1≤t≤3)，则a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故选D.
6．函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别为kA，kB，规定K(A，B)＝(|AB|为线段AB的长度)叫做曲线y＝f(x)在点A与点B之间的“近似曲率”．设曲线y＝上两点A，B(a>0且a≠1)，若m·K(A，B)>1恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为y′＝－ ，所以kA＝－，kB＝－a2，
又|AB|＝ ＝，
所以K(A，B)＝＝>，<，所以由m>得，m≥.
答案：
7．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a，均有f(x)≥0；
当x>0时，f(x)≥0等价于a≤.
令g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝，
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，
则h′(x)＝xex－ex＋1，h″(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
由洛必达法则知， ＝＝＝，故a≤.
综上，a的取值范围为.