2020届二轮复习(文)数列求和与综合应用作业 练习
展开专题限时集训(四) 数列求和与综合应用
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
D [因为a1＝2，an＋1＝2an，所以{an}是首项和公比均为2的等比数列，所以Sn＝＝126，解得n＝6.]
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SnSn＋1＜0的正整数n的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
C [由S6＞S7＞S5，得S7＝S6＋a7＜S6，S7＝S5＋a6＋a7＞S5，所以a7＜0，a6＋a7＞0，所以S13＝＝13a7＜0，S12＝＝6(a6＋a7)＞0，所以S12S13＜0，即满足SnSn＋1＜0的正整数n的值为12，故选C.]
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
C [依题意知{an}的公比q≠1，否则9S3＝27a1≠S6＝6a1,9S3＝S6⇒9×＝⇒q3＝8⇒q＝2，∴数列是首项为＝1，公比为的等比数列，∴数列的前5项和为S5＝＝.]
4．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
B [由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.]
5．已知数列{an}满足an＝，则a1＋＋＋…＋的值为( )
A. B.
C. D.
A [由题意，因为数列{an}满足an＝，所以数列的通项公式为＝＝－，所以a1＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.]
6．(2019·太原模拟)已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4＝________.
11 [因为数列{an}满足＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是等比数列，公比为2，则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.]
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和点Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9＝________.
40 [因为过点P(n，Sn)和点Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，所以＝Sn＋1－Sn＝an＋1＝3n－2(n∈N*)，所以a2＝1，a4＝7，a5＝10，a9＝22，所以a2＋a4＋a5＋a9＝40.]
8．若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋＝________.
[由an＋1＝an＋n＋1，
得an＋1－an＝n＋1，
则a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2.
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n≥2，
把a1＝1代入上式得，an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，
＝＝2，
则＋＋…＋＋＝21－＋－＋…＋－＋－＝21－＝.]
[能力提升练]
(建议用时：15分钟)
9．(2019·泰安模拟)数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝( )
A．1 B．－2 C．3 D．－3
A [因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．
所以an＋3＝－an(n∈N*)，
所以an＋6＝－an＋3＝an，
故{an}是以6为周期的周期数列．
因为2 019＝336×6＋3，
所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.]
10．(2019·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1.当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
所以{an}是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式an＝2n－1(n∈N*)．
(2)bn＝＝＝2，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2×＋2×＋2×＋…＋2×＝.
11．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)设{an}的公比为q，
由题意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，
又an＞0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bb＋1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.
令cn＝，则cn＝.
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
题号 | 内容 | 押题依据 |
1 | 由an与Sn的关系求通项公式 | 由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现，有时也出现在解答题的第(1)问，难度中等．本题考查逻辑推理和数学运算等核心素养，综合性强，符合全国卷的命题趋势 |
2 | 等差数列、三个“二次”间的关系、分组求和 | 本题将等差数列的基本运算、三个“二次”的关系及数列分组求和有机组合且难度不大，符合全国卷的命题需求，主要考查通项公式的求解与分组求和，在运算过程中体现了数学运算及逻辑推理的核心素养 |
【押题1】 已知数列{an}的前n项和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
2－n [当n＝1时，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1＝2×1＋1，
即a1＋a1＝3，解得a1＝.
由an＋Sn＝2n＋1，①
知当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，②
①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2，
即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)，
故数列{an－2}是以a1－2＝－为首项，为公比的等比数列，
所以an－2＝－×n－1＝－n，即an＝2－n.]
【押题2】 已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3＜0的解集为(－1,3)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)由题意知，方程a1x2－dx－3＝0的两个根分别为－1和3.
则解得
故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.
