2020届二轮复习直线、平面垂直问题课时作业（全国通用）
展开第十一讲 直线、平面垂直问题
A组
一、 选择题
1、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．
2、下列说法错误的是（ ）
A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线
B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面
C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面
D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面
【答案】C
3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（ ）
（A）若,,,则 (B)若,,,则
(C)若,,,则 (D)若,,则//
【答案】D
【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确；B中,由,,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确；C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,,则,,由线面垂直的判定定理知,正确；D 中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D．
4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】
由题意知，．故选C．
二、填空题
5、【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
【解析】
对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
6、三棱锥中, , △是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线与 所成的角为; ② 直线平面; ③ 面面 ; ④ 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是_______________ .
【答案】①．②．③．④
三、解答题
7、如图，在三棱柱中，已知，，，.
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积.
【解析】
（1）在中，∵
∴.
又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.
∴.
又，,
∴平面.
∵平面
∴
（2）易知.
在中，∵,
则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，∴.
又,∴平面.
∴为三棱锥的高.
∴
8、如图，是四棱柱，底面是菱形，
底面，，，是的中点．
⑴求证：平面平面；
⑵若四面体的体积，求棱柱的高．
【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，
且，所以……2分，
是的中点……3分，
连接、，因为底面，所以，，
是菱形，，且，所以面
，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，，所以平面平面（即平面），所以，面面．
⑵因为底面，所以是棱柱的高，
平面，平面底面
，在底面上作，垂足为，面面，所以面……10分，
所以，
其中，，
所以，解得，即棱柱的高为
9、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明:平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【解析】
(Ⅰ）证明：作的中点,连接,
分别是的中点
又在正方形中，是的中点,[来源:Zxxk.Com]
四边形是平行四边形
,又平面，平面
平面
（Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,
又侧棱底面,面
又
是等腰三角形， 是的中点,
同理
是等腰三角形， 是的中点,
[来源:..]
面
平面
（Ⅲ）解:侧棱底面,面
由（Ⅱ）知：平面
是三棱锥到平面的距离
分别是的中点
,
四边形是边长为的正方形，是的中点
三角形是等边三角形[来源:Zxxk.Com]
10、如图，在四棱锥中，平面，四边形中，，且，点为中点．
⑴求证：平面平面；
⑵求点到平面的距离．
【解析】⑴证明：取中点，连接．
∵是中点，∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，∴平面．
∴，∴．
∵，∴，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
⑵由⑴知，．
∴平面，即点到平面的距离为．
在中，由，得，∴．
∴点到平面的距离为．
B组
二、 选择题
1、已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A .若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，，则
【答案】C.
【解析】A：，可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C．
2、设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )
A. 当时，若，则
B. 当且是在内的射影时，若，则
C. 当时，若，则
D.当且时，若，则
【答案】C
【解析】
A 选项的逆命题为“当时，若，则”，正确；
B. 选项的逆命题为“当且是在内的射影时，若，则”,正确；
C. 选项的逆命题为“当时，若，则”，错误：
D. 选项的逆命题为“当且时，若，则 ”正确
3、如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是( )
图
A． B． C． D．
【解析】易于证明平面平面，所以直线在平面上的射影为线段所在直线，于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算，，利用余弦定理知，，于是.故选.
4、已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，
设，，则，由题意可知，，，∴
，由，
∴，由函数在上单调递减，
上单调递增，∴可知，故选B．
二、填空题
5、三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上，则该三棱柱的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，过点作直线交于点，则为中点.过点作交于点，连接.因为，所以，，所以.因为，且，所以，所以.所以.
6、一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，的余弦值为____.
【答案】
【解析】如下图所示，平面，平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由平面，∴平面，即为三棱锥中平面上的高，∵，∴，而，故是斜边为的直角三角形，故当时，的面积取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得，∴.
三、解答题
7、如图，长方体中，，，点是棱上的一点，．
（1）当时，求证：平面；
（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值．
【解析】
（1）连接,易得平面，
所以，① 当时，，，所以，
因此：，而平面，故所以平面，
所以，，② 由①②可得：平面．
（2）连接，，设，连接PM，
由于平面，所以平面平面，
所以在平面内的射影为，故直线与平面所成角即与所成的角，记为，在平面中，令，则，再令，，
则由题意得：，，
，
而，解得：．
8、如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
【解析】
(I) 在图1中，因为，是的中点，，所以四边形 是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；
(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.
9、如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.，，，，为上一点，且．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求三棱锥与三棱锥的体积之比．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，
连接．由
．
．
，
．
（Ⅱ）
10、如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）试确定点的位置，使得平面平面，并说明理由．
【解析】
（1）因为,点是的中点，所以．①
因为平面，所以．
因为四边形是正方形，所以．
又,所以，所以．②
由①②及，得平面．
（2）当点为的中点时，平面平面．
证明：取线段的中点，连接．
则,且，
因为是的中点，四边形为正方形,
所以,且．
所以，且．
所以四边形是平行四边形,所以．
由（1）知平面，所以平面,因为平面．
所以平面平面．
考点：1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质．
C组
一、选择题
1、如图，正方形中，，分别为，的中点，把，，折起成一个四面体，使，，三点重合，记为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】不妨设正方形的边长为，根据折叠过程，可知，，又∵，∴平面，∴，
，设点P 到平面的距离为，则，∴直线与平面所成角的正弦值是，故选A.
2、如图，在正方体中，给出以下结论：
① 平面；
② 直线与平面的交点为△的外心；
③ 若点在所在平面上运动，则三棱锥的体积为定值．
其中，正确结论的个数是
(A) 0个 (B) 1个
(C) 2个 (D) 3个
答案：D
3、棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4、.在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中线时，取得最小值
B．当为的角平分线线时，取得最小值
C．当为的高线时，取得最小值
D．当在的斜边上移动时，为定值
【答案】B
【解析】设，，，则()，过作的垂线，过作的延长线的垂线，，，则，
当，即当为的角平分线时，取得最小值.
由余弦定理得：,故选B.
二、填空题
5、已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球半径为 .
【答案】
【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为，则由等体积 可得
，∴．
6、已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】
因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱柱的高，
三、解答题
7、如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动．
（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点在边的何处，都有；
（3）求三棱锥体积的最大值．
【解析】
（1）解：当点为的中点时，与平面平行，
在中，∵分别为的中点，
∴．
又平面，而平面，
∴平面
（2）证明：∵平面平面，
∴，
又平面，
∴平面．
又平面，∴．
又，点是的中点，∴
又∵平面，
∴平面
∵平面，∴
（3）解：∵，而底面面积为定值
∴要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，
∴当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为
8、如图，在几何图形中，，，四边形为矩形，平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）在上确定一点，使得平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
【解析】
（1）由题知四边形为等腰梯形，，故,
又平面平面，所以平面，且平面,
故平面平面.
（2）因为，要使平面平面，只要让.
在等腰梯形中，当为的中点时，有.
所以当为的中点时，平面平面.
（3）因为，其中到到平面的距离.
由题知平面平面，所以到平面的距离即为到的距离.
在等腰三角形中，易知到的距离为，
所以.
9、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使平面平面？
若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.
【解析】
（Ⅰ）如图，设分别是和的中点，连接，，
∵，是的中点
∴
又在正方形中有
∴为二面角的平面角
∵，，是的中点
∴
同理可得，又
∴是等边三角形，故
∴二面角为
（Ⅱ）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下
如图，设,,分别为,和的中点，连接,,,
由（Ⅰ）知是等边三角形，故
∵，，
∴平面，故
又
∴平面
∵，分别为和的中点
∴
又为线段的中点
∴，故四边形为平行四边形
∴
∴平面
又平面
∴平面平面
10、如图，已知平面四边形中，为的中点，，，
且．将此平面四边形沿折成直二面角，
连接，设中点为．
（I）证明：平面平面；
（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（III）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
（I）直二面角的平面角为，又，
则平面，所以．
又在平面四边形中，由已知数据易得，而，
故平面，因为平面，所以平面平面
（II）解法一：由（I）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得，，，，
则中点，
平面，故可设，
则
平面，
又，
由此解得，即
易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点
解法二：（略解）如右图所示，
在中作，交于，
因为平面平面，则有平面．
在中，结合已知数据，利用三角形相似
等知识可以求得，
故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个
四等分点．……..（8分）
（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，
则得，
记直线与平面所成角为，则知，
故所求角的正弦值为
解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，
由此，在中作于，易证平面，
连接，则为直线与平面所成角，
结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为
